清華智能控制課件2-5

IntelligentControlTheoryandItsApplications

智能控制理論與應(yīng)用ZhidongDENGDepartmentofComputerScienceTsinghuaUniversity鄧志東清華大學(xué)計算機系2.7模糊控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計第二章模糊邏輯與模糊控制

2.7.1模糊模型表示

控制對象的模糊模型凡采用模糊控制器的系統(tǒng)稱為模糊控制系統(tǒng)。通過定義模糊語言變量、模糊子集及相應(yīng)的隸屬函數(shù)，采用一組模糊條件句(模糊規(guī)那么)，來描述輸入與輸出之間映射關(guān)系的模型稱為模糊模型。1.輸入輸出模型a.連續(xù)控制對象

：如果是and…and是and

u是and…and

是,則是,i=1,

2,

…,N

相應(yīng)的向量形式為：如果是and是，則是,i=1,

2,

…,

N其中上述模糊模型也可寫成或?qū)懗稍撃：Ｐ拖喈斢诔Ｒ?guī)的高階微分方程模型。

：如果是and

是，則是其中

b.離散的控制對象和的意義同上。它也可寫成該模糊模型相當于常規(guī)的高階差分方程模型。連續(xù)的被控對象相應(yīng)的離散狀態(tài)空間模型可表示為也可寫成如下形式狀態(tài)：如果是andu是，則是輸出：如果是,則是其中2．狀態(tài)空間模型1．穩(wěn)定性分析〔BIBO〕給定開環(huán)被控對象的離散模糊模型為其中上面的模型可以進一步增廣為如下的向量形式其中是的增廣2.7.2模糊系統(tǒng)分析對于上述模糊模型，相應(yīng)的隸屬函數(shù)具有如下關(guān)系：上式說明有如下的關(guān)系成立為了驗證在某一輸入情況下的穩(wěn)定性，令為常量，令則上式變?yōu)槿粢阎到y(tǒng)的初始條件為，則

由此可見，若為常量，則可判定系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，若當k->∞時有,則可判定系統(tǒng)是振蕩的，且振蕩周期,為采樣周期。

它也是增廣了的模型，其中其中模糊控制器的模糊模型為下面考慮如以下圖所示的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性:被控對象的模糊模型為代入控制器模型可得閉環(huán)系統(tǒng)的模糊模型為令則上式變?yōu)?/p>

這里為了檢驗系統(tǒng)在某有界輸入下的穩(wěn)定性，可令為常數(shù)，從而C也為常數(shù)。設(shè)系統(tǒng)的初始條件為，則由上式可依次推得

由此可見，如果取為常量，則可判定閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則，若當時有，則可判定系統(tǒng)是振蕩的，且振蕩周期，為采樣周期。

以上所進行的穩(wěn)定性分析均是針對純粹的全模糊控制系統(tǒng)。對于混合的模糊系統(tǒng)，可有以下兩種方法來分析穩(wěn)定性。(1)利用模糊系統(tǒng)辨識的方法，將被控對象變換為模糊模型表示，然后利用上述方法進行穩(wěn)定性分析。(2)將控制器的模糊模型變?yōu)榇_定性的模型，從而混合模糊系統(tǒng)變?yōu)槌Ｒ?guī)的控制系統(tǒng)，進而采用常規(guī)的方法來對系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析。2．模糊相平面分析

相平面分析法是分析非線性二階系統(tǒng)的一種直觀的圖解方法。該方法也可以推廣到模糊系統(tǒng)，但這種方法只適用于SISO二階非線性系統(tǒng)。

設(shè)單輸入單輸出二階系統(tǒng)的模糊模型用如下的模糊條件句來描述：:如果是and是and是那么是。它也可表示為定義該模糊條件句在相平面上的作用中心區(qū)域為該模糊條件句的總的影響區(qū)域為

對于模糊系統(tǒng)，在模糊條件句的作用中心區(qū)域的相點運動方向角可以通過清晰化方法求得一般情況下，在點處的相點運動方向角為 考慮如下的一條模糊條件句::如果是NS

and

是PM

and

是PM,則是PS,其中各模糊語言變量取值的隸屬函數(shù)如下圖所示。試畫出對應(yīng)該模糊條件句的相點運動方向。[例]

畫出該模糊條件句的作用中心區(qū)域、總的影響區(qū)域以及相點的運動方向如下圖。按照同樣的方法可以畫出當u為常數(shù)(在上例中u=PM)時的所有模糊規(guī)那么的相平面圖，如以下圖所示，利用該相平面圖可以大致勾畫出對給定的初始條件的相軌跡。

當u取不同值時可以畫出不同的相平面圖，將這些相平圖重疊在一起可以獲得三維相平面圖組。模糊系統(tǒng)的相平面圖的用途(1)

檢驗?zāi)：５恼_性；(2)檢驗?zāi)：?guī)那么的一致性(consistency)、完備性(completeness)以及相互影響(interaction)；模糊規(guī)那么一致性要求在相平面圖上同一區(qū)域或非?？拷膮^(qū)域不存在相點運動方向的不一致；完備性要求在相平面的每個區(qū)域至少屬于一條規(guī)那么的影響區(qū)域，相互影響是指每條規(guī)那么的影響區(qū)域與鄰近規(guī)那么的影響區(qū)域具有一定程度的互相覆蓋。(3)幫助設(shè)計控制規(guī)那么。三維圖可用來確定在不同的狀態(tài)時應(yīng)采用怎樣的控制才能獲得滿意的相軌跡。從而可從圖形上直觀地確定出模糊控制規(guī)那么；(4)檢驗系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分析系統(tǒng)的性能；(5)假設(shè)期望的閉環(huán)特性是用模糊語言模型來描述的，那么可以通過畫出它的相平面圖來校核所給閉環(huán)特性的正確性。例2.14〔pp.61-62〕2.7.3模糊系統(tǒng)設(shè)計1.模糊PID控制

常規(guī)的PID控制是一種線性控制

模糊PID控制是一種非線性控制

這種非線性控制器的設(shè)計過程，從模糊邏輯的角度賦予了其明確的物理意義！(a)為常規(guī)的模糊PID控制(b)為增量模糊PID控制兩種典型模糊PID控制的結(jié)構(gòu)圖：一種改進的模糊控制器結(jié)構(gòu)方案:它減少了規(guī)那么數(shù)，同時實現(xiàn)了模糊PID控制的功能。2.基于語言模型求逆的模糊控制器設(shè)計

常規(guī)控制系統(tǒng)，根據(jù)期望的閉環(huán)特性及開環(huán)對象特性的逆可求得:對于全模糊系統(tǒng)，可按同樣的思路設(shè)計模糊控制器，即

〔模糊開環(huán)對象的逆〕〔期望的模糊閉環(huán)特性〕→〔模糊控制器〕其中也須求模糊開環(huán)對象的逆特性。由于模糊開環(huán)特性是用模糊語言模型來描述的，因此這種設(shè)計方法需要對模糊語言模型求逆。【例】下面我們通過對如圖所示的自動小車側(cè)向模糊控制的設(shè)計為例來說明這種方法。圖中s表示小車的側(cè)向偏移，控制的目標是要求，即要求小車盡量沿著通道的中心線行進。描述小車語言動力學(xué)模型的模糊規(guī)那么表〔小車模糊模型〕描述期望閉環(huán)語言動力學(xué)模型的模糊規(guī)那么表〔期望的模糊閉環(huán)特性〕各模糊語言變量取值〔模糊子集〕的隸屬函數(shù)：

下面根據(jù)小車模糊模型及期望的模糊閉環(huán)特性求取模糊控制器的規(guī)則庫，即。（小車模糊模型的逆）

（期望的模糊閉環(huán)特性）→（模糊控制器）由于每個變量均分為5個模糊等級，因而最多需求25條模糊控制規(guī)則，具體步驟如下：(1)選定對，在期望的閉環(huán)特性規(guī)則表中找到相應(yīng)的；(2)取,在小車模型的規(guī)則表中根據(jù)求取相應(yīng)的，這是語言模型求逆過程，即已知小車模型求取它的逆模型。在進行這一步中可能出現(xiàn)以下三種情況：

根據(jù)找到一個，這個便是要求的解；根據(jù)可以找到多個，這時通常取最小的u

作為要求的解以盡量減小控制能量；根據(jù)找不到合適的，這時取最近的解來代替，若有多個最近解，則取其中的最小解。下面舉例說明具體的求解過程:1、取，查期望的模糊閉環(huán)特性規(guī)則表，可得：；

2、取，再由，查小車模糊模型規(guī)則表，可得：，這時出現(xiàn)了多解的情況，故可取最小解。按照上面步驟，最后設(shè)計出該系統(tǒng)的模糊控制規(guī)那么表如下表所示。設(shè)計的模糊控制規(guī)那么表仿真舉例：

2.7.4基于T-S模型的穩(wěn)定性分析和設(shè)計1.Takagi-Sugeno模糊模型T.Takagi和M.Sugeno提出了另外一種模糊規(guī)那么的表示方式(以下簡稱T-S模糊模型)。a.離散時間系統(tǒng)模型(ARMA模型)：：若是and…and

是and是and…and

是，則

表示第i

條模糊蘊含條件句(規(guī)則)，綜合l

條模糊蘊含條件句的輸出為其中是第i

條模糊規(guī)則的適用度，即若令則上面的模糊蘊含條件句可以寫成如下簡潔形式:

：若是and

是，則b.連續(xù)時間系統(tǒng)模型(n階常微分方程)：

：若是and…and

是and是and…and

是，則由所描述的模糊模型的輸出為的意義同前。則連續(xù)系統(tǒng)模糊模型也可寫成如下簡潔形式：若是and

是，則

若令2．基于T-S模糊模型的穩(wěn)定性分析其中該模糊模型也可進一步表示成如下的矩陣形式:離散模糊模型(AR模型)：：若是，則：若是，則其中模糊系統(tǒng)的輸出為〔第i個子系統(tǒng)〕連續(xù)模糊模型(齊次方程)：：若是，則其中模糊系統(tǒng)的輸出為〔第i個子系統(tǒng)〕系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個充分條件定理:對于上面描述的離散模糊模型，如果存在一個共同的正定矩陣P,對于所有的子系統(tǒng)均有()，那么該模糊系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是全局漸近穩(wěn)定的。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，該模糊系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。

證明：考慮如下的標量函數(shù)：

還有一點值得注意：若每個子系統(tǒng)均穩(wěn)定，即對每個子系統(tǒng)均能找到正定陣使，并不能保證整個系統(tǒng)一定穩(wěn)定。而必須找到一個共同的P

，使得()才能保證整個系統(tǒng)穩(wěn)定。

上述定理只是判斷穩(wěn)定性的充分條件。當找不到共同的P

滿足上述定理條件時，并不能利用該定理來判定系統(tǒng)是否是全局漸近穩(wěn)定的。定理:

對于上面描述的連續(xù)模糊模型,如果存在一個共同的正定矩陣P，對于所有的子系統(tǒng)均有

()，則該模糊系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是全局漸近穩(wěn)定的。證明：考慮如下的標量函數(shù)根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，該模糊系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。P存在的必要條件定理：對于離散模糊模型，如果是穩(wěn)定且非奇異矩陣，若存在共同的正定矩陣P，使得，則對于任意，一定為穩(wěn)定矩陣。這里穩(wěn)定矩陣是指其特征值均在單位圓內(nèi)。證明：根據(jù)定理條件有：，即對任意均成立。進而根據(jù)定理條件有，即有,它說明為穩(wěn)定矩陣對任意均成立，從而定理得證。定理:

對于連續(xù)模糊模型，如果是穩(wěn)定且非奇異矩陣，若存在一個共同的正定矩陣P，使對所有i

均有，則對于任意，一定為穩(wěn)定矩陣。這里穩(wěn)定矩陣是指其特征值均在左半平面。根據(jù)定理條件，對所有i和j證明：即為穩(wěn)定矩陣對任意均成立。將以上兩式相加得

對于一個具體問題，若能找到一個（離散）或（連續(xù)）是不穩(wěn)定的，則說明一定不存在共同的正定陣P，因而可不必再徒勞地繼續(xù)尋找P。例如，已知離散模型的兩個子系統(tǒng)矩陣分別為但對于

可以求得其兩個特征值為-0.135和-1.865。

因而它是不穩(wěn)定的，從而根據(jù)上面的定理可以斷定不存在共同的正定陣P，使得不難驗證它們均是穩(wěn)定的。為了判斷模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要尋找共同的正定陣P。目前尚無非常有效的方法來尋找P。一個通常的步驟是〔以離散模型為例〕：(1)對求正定陣以使