第五章 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專題

小學(xué)數(shù)學(xué)課程標準與教材研究

之小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專題

知識不是某種完備無缺、純凈無瑕、僵化不變的東西。它永遠在創(chuàng)新，永遠在前進。

——[俄羅斯]普良尼施尼柯夫第五章小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專題

這一章將較為詳細地分析小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常涉及到的一些專有名詞，如“表內(nèi)乘法”、“算理”、“算法”、“名數(shù)”、“數(shù)級”等，對這些核心名詞的理解有助于教科書的分析和教學(xué)。提綱第五章小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專題之

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的專有名詞

表內(nèi)乘法；名數(shù)、單名數(shù)和復(fù)名數(shù)；

等分除和包含除；算理與算法；逆運算與估算；與數(shù)有關(guān)的概念小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的專有名詞

在對小學(xué)數(shù)學(xué)教材開展文本分析或進行教學(xué)研究時，常常會遇到一些專有名詞，正確理解這些名詞既有助于教材文本分析，又有助于教學(xué)的實施。下面對一些重要的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常常涉及到的專有名詞進行必要的解釋。

表內(nèi)乘法：指九九乘法表里可以直接用乘法口訣計算的乘法。在我國的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，“九九乘法表”又分為“小九九乘法表”和“大九九乘法表”。一、表內(nèi)乘法

“小九九乘法表”的特點是，在每句口訣里表示相乘的兩個數(shù)，第一個數(shù)總是不大于第二個數(shù)，遇到相乘的兩個數(shù)相同時，該數(shù)的口訣就結(jié)束了。例如：5的乘法口訣：一五得五，二五一十，三五一十五，四五二十，五五二十五．這五句都是在5的乘法口訣里。至于五六三十，五七三十五呢？則分別在6和7的口訣里，口訣一共45句。人們把它簡稱為“小九九”。一、表內(nèi)乘法一、表內(nèi)乘法

“大九九乘法表的特點是，不管哪個數(shù)的乘法口訣，都是從l到9．例如：5的乘法口訣，一五得五，二五一十，三五一十五，四五二十，五五二十五，六五三十，七五三十五，八五四十，九五四十五.這種乘法表的口訣一共81句，人們把這種口訣稱為“大九九”。

“小九九”只有45句，便于記憶；而“大九九”呢，共有81句，便于試商．下面根據(jù)試商過程中應(yīng)用乘法口訣的情況作簡要說明。（1）商大于除數(shù)的情況。例如：15÷3=5，24÷4=6，35÷5=7，48÷6=8，63÷7=9，……。當(dāng)學(xué)生遇到48÷6=？的時候，他們總是先想6的口訣，可是在6的乘法口訣里，最大是“六六三十六”，找不到六八四十八。為了彌補“小九九”的這種缺陷，在指導(dǎo)學(xué)生讀乘法口訣表時，除可以橫著讀、豎著讀之外，還應(yīng)該拐彎讀。一、表內(nèi)乘法

所以，學(xué)生掌握了科學(xué)讀口訣的方法之后，當(dāng)遇到“45÷5”的時候，如果只用5的口訣，最多是五五二十五。按照拐彎讀的方法，繼續(xù)讀出：五六三十，五七三十五，五八四十，五九四十五！得數(shù)是9.

（2）商小于除數(shù)的情況。例如：63÷9=7，48÷8=6，35÷7=5，24÷6=4，15÷5=3，……。實踐表明，學(xué)生見到除數(shù)是9，難免要先想到9的口訣，九幾六十三呢？在“小九九”里，沒有九幾六十三.

名數(shù)：數(shù)+單位名稱=名數(shù)

只帶有一個單位名稱的叫做單名數(shù)。如：5小時，3千克（只有一個單位）

帶有兩個或兩個以上單位名稱的叫做復(fù)名數(shù)。如：5小時6分，3千克500克（有兩個單位）在具體運算時，常需要進行單名數(shù)和復(fù)名數(shù)的互化。這是教學(xué)中的難點。二、名數(shù)、單名數(shù)和復(fù)名數(shù)

有些復(fù)名數(shù)其實是有兩個不是同一級的名數(shù)，一個高級名數(shù)，一個低級名數(shù)，并且把數(shù)據(jù)分成了兩部分，高級名數(shù)是前一個，低級名數(shù)是后一個。例如，復(fù)名數(shù)1噸300千克中，噸是高級名數(shù)，千克是低級名數(shù)。教學(xué)在常需要根據(jù)具體的情境，把復(fù)名數(shù)1噸300千克改為單名數(shù)1.3千克，或把單名數(shù)1.3千克改為復(fù)名數(shù)1噸300千克。二、名數(shù)、單名數(shù)和復(fù)名數(shù)

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中還常常進行名數(shù)的互化。

高級名數(shù)化低級名數(shù)：如，0.45米＝45厘米（進率是100，100×0.45＝45

）；

0．36千克＝360克（進率是1000，1000×0．36＝360

）

低級名數(shù)化高級名數(shù)：如,400千克=0.4噸；

5米=0.005千米。（進率是1000

，

400÷1000=0.4；5÷1000=0.005）二、名數(shù)、單名數(shù)和復(fù)名數(shù)

小學(xué)教學(xué)中還有個教學(xué)難點是：學(xué)會把較大的數(shù)改寫成用“億”或“萬”作單位的數(shù)，有時還需根據(jù)要求求它的近似數(shù)。例如，（1）1991年我國棉花產(chǎn)量達到5663000噸?？蓪懽鳌?991年我國棉花產(chǎn)量達到566．3萬噸。”

（2）1991年我國石油產(chǎn)量達到139680000噸。可寫作“1991年我國石油產(chǎn)量約達到1.39億噸

?！薄咀ⅰ?/p>

除法有兩方面的意義，把一個數(shù)（被分的總數(shù)，叫做被除數(shù)）平均分成若干份，求一份是多少，叫做等分除，求一個數(shù)里面包含幾個另一個數(shù)，叫做包含除。三、等分除和包含除：

進一步說，“等分除”是將整體平均分成幾份，求每一份的數(shù)量；“包含除”即告訴每一份的數(shù)量，求能將整體平均分成幾份。

例：8個桃子分給4個猴子，每只猴子平均分幾個？這是“等分除”；8個桃子，每個猴子分2個，可以分給幾只猴子？這是“包含除”。仿此，12個西瓜，3個籃子，平均每個籃子分幾個西瓜？是“等分除”；8個蘋果，每個籃子里放2只，可以放幾個籃子？是“包含除”。三、等分除和包含除

由此可見，“等分除”是由整體求部分，“包含除”是由部分求整體。

傳統(tǒng)教科書把除法分成“等分除”與“包含除”兩種類型，新課改的教科書沒有人為地把除法分為“等分除”與“包含除”，這是因為教科書的編者認為，不論是“等分除”還是“包含除”，其實質(zhì)都是將整體分為若干相等的部分。取消這兩種除法類型的劃分將更有利于把握除法的本質(zhì)意義。三、等分除和包含除

對是否需要區(qū)分“等分除”、“包含除”？有些一線教師認為：三、等分除和包含除

“多年教六年級，感覺六年級學(xué)生對除法的問題都是稀里糊涂做出來的，根本就不知道除法的道理，如果低年級老師能夠解釋一下，學(xué)生頭腦中可能會形成恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，對除法意義的理解也可能會更深刻些?！?/p>

分數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點之一。難在哪里?其實并不在等分蛋糕之類的語言表述上。細細想來，原來是“包含除”的數(shù)學(xué)思想方法沒有很好掌握之故。

等分除的問題是從整體到部分，問的是部分“有多大”；包含除的問題則是從部分到整體,即已知部分的大小，問其整體含有幾個部分，部分在整體里“占多少”?！暗确殖笔欠謹?shù)的幾何模型，“包含除”是分數(shù)的算術(shù)模型。

幾何模型理解起來方便一些，算術(shù)模型缺少幾何背景，理解起來相對困難一些，但是它在數(shù)學(xué)里也更為深刻一些。三、等分除和包含除

除法常常問整體包含了多少個部分，當(dāng)然也可以問部分包含了多少個整體，答案一般會是分數(shù)。實際上，這種一個量占另一個量多大份額的問題乃是分數(shù)單元最核心的本質(zhì)問題。

“比”的概念是把一個部分作為新的整體來看，研究彼此之間的包含除關(guān)系。三、等分除和包含除

算理：是計算過程中的道理，是指計算過程中思維方式，是解決為什么這樣算的問題。

算法：由基本運算及規(guī)定的運算順序所構(gòu)成的完整的解題步驟。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，準確理解“算理”、“算法”的關(guān)系是提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率的關(guān)鍵。四、算理與算法1.算理與算法的關(guān)系

當(dāng)學(xué)生進行了一定量的練習(xí)以后，發(fā)現(xiàn)了計算的規(guī)律：個位數(shù)只能與個位數(shù)直接相加、十位數(shù)只能與十位數(shù)直接相加、百位數(shù)只能與百位數(shù)直接相加，也就是相同數(shù)位上的數(shù)才能直接相加，最后再把幾個得數(shù)合并，這是學(xué)生感悟算理的過程；最后進行優(yōu)化計算過程，為了便于計算一般寫成豎式形式，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出普遍適用的計算法則：把相同數(shù)位對齊列出豎式，再從個位加起，滿十向前一位進一，這就是算法。

從上面的分析可以看出算理與算法有這些關(guān)系：算理是客觀存在的規(guī)律，算法卻是人為規(guī)定的操作方法；算理為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性和正確性，算法為計算提供了快捷的操作方法，提高了計算的速度；算理是算法的理論依據(jù)，算法是算理的提煉和概括，算法必須以算理為前提，算理必須經(jīng)過算法實現(xiàn)優(yōu)化，它們是相輔相成的。1.算理與算法的關(guān)系

2.如何處理算理和算法的關(guān)系

怎樣處理好算理與算法教學(xué)統(tǒng)一，使學(xué)生既理解算理，又能牢固掌握算法、提高計算的速度和正確率呢？下面就以人教版二年級數(shù)學(xué)下冊70頁的兩位數(shù)乘一位數(shù)為例，說說如實現(xiàn)算理與算法的教學(xué)統(tǒng)一。（1）引導(dǎo)研究，理解算理

學(xué)生只有理解了計算的道理，才能“創(chuàng)造”出計算的方法，才能理解和掌握計算方法，才能正確迅速地計算，所以計算教學(xué)必須從算理開始。教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生對計算的道理進行深入的研究，幫助學(xué)生應(yīng)用已有的知識領(lǐng)悟計算的道理。（1）引導(dǎo)研究，理解算理

例如，首先引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么可以用14×2計算？使學(xué)生明白14×2表示求2個14是多少；其次，讓學(xué)生思考：你打算怎么計算14×2？使學(xué)生明白14是由1個十和4個一組成的，可以把14×2轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的乘法計算：先算2個10是多少，再算2個4是多少，最后，把兩次算的得數(shù)合并，計算的過程有三個算式：4×2=8，10×2=20，20+8=28。通過這樣的研究學(xué)生就理解兩位數(shù)乘一位數(shù)計算的道理，學(xué)生就能應(yīng)用這樣的道理解決其他兩位數(shù)乘一位數(shù)的計算問題。

（2）及時練習(xí)，鞏固內(nèi)化通過上面的計算研究，學(xué)生雖然初步理解了兩位數(shù)乘一位數(shù)的道理，但是此時學(xué)生對算理的理解還處于似懂非懂的狀態(tài)，學(xué)生是否真正掌握了算理還要經(jīng)過實際計算才能得到檢驗和鞏固，此時及時組織學(xué)生進行相應(yīng)的練習(xí)是很有必要的，只有在練習(xí)中才能把算理內(nèi)化為自己的理解，才能使學(xué)生理解和掌握算理。

（2）及時練習(xí)，鞏固內(nèi)化

所以在學(xué)生初步理解了算理后，應(yīng)當(dāng)及時組織學(xué)生用兩、三個算式進行兩位數(shù)乘一位數(shù)的練習(xí)，使學(xué)生在練習(xí)中加深對算理的理解，在練習(xí)中牢固掌握算理，為后面的抽象、概括計算方法奠定堅實的基礎(chǔ)。

（3）應(yīng)用算理，進行創(chuàng)造

算理是計算的思維本質(zhì)，如果都這樣思考著算理進行計算，不但思維強度太大，而且計算的速度很慢。為了提高計算的速度，使計算更方便、快捷，就必須尋找到計算的普遍規(guī)律，抽象、概括出計算法則。計算法則是算理的外在表達形式，是避開了復(fù)雜思維過程的程式化的操作步驟，它使計算變得簡便易行，它不但提高了計算的速度，還大大提高計算的正確率。

（3）應(yīng)用算理，進行創(chuàng)造所以當(dāng)學(xué)生理解和掌握了算理之后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對計算過程進行反思，啟發(fā)學(xué)生再思考：計算14×2要寫出三個算式，你的感覺怎樣？可以簡化一下嗎？怎么簡化？學(xué)生通過獨立思考、同伴交流、創(chuàng)造方便、快捷的計算方法：可以像計算加減法那樣用豎式計算，根據(jù)算理：先算4×2=8，在個位上寫上8，再算10×2=20，在十位上寫2、個位上寫0，最后再把8和20加起來等于28，得出豎式。接著再啟發(fā)學(xué)生思考：還能再簡化嗎？通過師生共同研究，最終得出豎式計算的算法。

（4）觀察比較，歸納方法

當(dāng)學(xué)生比較熟練地繼續(xù)豎式計算后，再引導(dǎo)學(xué)生對豎式計算過程進行觀察反思：這些乘法的豎式計算都是怎么算的？分幾個步驟？從而歸納出兩位數(shù)乘一位數(shù)的計算法則：先用一位乘數(shù)乘兩位數(shù)的個位數(shù)，積的末尾寫在個位上，再用一位乘數(shù)乘兩位的十位數(shù)，積的末尾寫在十位上。

（4）觀察比較，歸納方法

這樣的計算就不再思考每一步的計算道理，只要按照這樣的操作步驟進行演算就能得到計算的結(jié)果，由于避開了復(fù)雜的思維過程，縮短計算的思維路徑，把計算演變成一種機械的、程式化的操作方法，所以計算的速度大大加快，計算的效率大大提高。

這樣的教學(xué)是以思維為主線、以算理為先導(dǎo)、以創(chuàng)造為契機，學(xué)生不但理解了算理，而且創(chuàng)造出了簡便的計算方法，并發(fā)現(xiàn)計算的規(guī)律，歸納出計算的法則，可以實現(xiàn)算理與算法的統(tǒng)一。課改前：忽視算理，套用算法，只管對快；課改初：計算教學(xué)轉(zhuǎn)到了另一個極端，十分重視你是怎么算的，還可以怎樣算，而缺少計算方法的提煉，導(dǎo)致算理很突出，算法不扎實，學(xué)生計算技能不夠熟練。當(dāng)前：尋求算理與算法的平衡點成了計算教學(xué)的關(guān)鍵?！八憷砼c算法”的現(xiàn)狀分析

逆運算：兩種運算中，第一種運算的條件是第二種運算的結(jié)果，第二種運算的結(jié)果是第一種運算的條件。這兩種運算叫做互為逆運算。

加法和減法互為逆運算；乘法和除法互為逆運算。由此可以得到計算的策略：“想加法做減法；想乘法做除法”五、逆運算與估算【注】

乘法是加法的簡便運算。如,5+5+5=5×3，那么，除法和減法的關(guān)系是什么？

除法可以看作連續(xù)減去相同數(shù)的簡便運算，被除數(shù)就是被減數(shù)，除數(shù)就是相同的減數(shù)，連減的最多次數(shù)就是商。如，20÷5=20-5-5-5--5-5=4.如果連續(xù)減去若干次后，剛好減完，說明余數(shù)為0；如果連續(xù)減去若干次后最后的差不是0，但比除數(shù)小，那么最后的差是余數(shù)。

估算：估算是根據(jù)具體條件及有關(guān)知識對事物的數(shù)量或算式的結(jié)果作出的大概推斷或估計。估算是計算能力的重要組成部分。五、逆運算與估算

一學(xué)段：能用多種方法進行估算。（估算意識的培養(yǎng)）

二學(xué)段：能根據(jù)實際情況對估算方法進行評估。（估算技能的培養(yǎng)）《數(shù)學(xué)課程標準》對“估算”教學(xué)的要求

估算是在計算、測量時無法也沒有必要進行精確計算或測量，對數(shù)量關(guān)系做合理的大概推斷。在小學(xué)課堂教學(xué)中，何時“估算”、何時“精確計算”？可以參考下面的建議。五、逆運算與估算用計算器問題情境用筆算需要計算需要近似答案估算需要精確答案用心算精算與估算“估算”教學(xué)的策略——教學(xué)生估算的方法1.湊整。

取整十?dāng)?shù)、四舍五入

3.利用特殊數(shù)據(jù)特點估數(shù)。127×26×7×3=127×26×21≈130×625=812502.取中間數(shù)。

672+678+673+679≈675×4=27004.尋找區(qū)間，看首位。首位-1：至少；首位都+1：最多。例如，4.3×3.7

至少：4×3=12最多：5×4=205.都往大估，或都往小估；一個估大，一個估小；或一個估，一個不估（視具體情境而定）先估后調(diào)?！肮浪恪苯虒W(xué)的策略——教學(xué)生估算的方法例：媽媽用100元錢買下列物品，夠嗎？24元33元44元6.利用乘法口訣估算。

“兩位數(shù)除以一位數(shù)的估算”（三下）教科書中設(shè)計了如下一些估算題目：

59÷388÷391÷241÷462÷4……7.利用估算進行判斷。612÷3≈24128×83=7994292×29=10128“估算”教學(xué)的策略——教學(xué)生估算的方法

總之，估算的方法有多種，要讓學(xué)生在日常生活中多觀察，鼓勵學(xué)生用不同的方法解決問題，通過不失時機的估算訓(xùn)練，使學(xué)生感受到估算是解決問題的一種策略。用它可以簡潔并迅速地解決某些問題，從而在培養(yǎng)學(xué)生估算技能的同時逐步向?qū)W生滲透估算的意識和理念。五、逆運算與估算

基數(shù)和序數(shù)：當(dāng)一個自然數(shù)被用來表示事物數(shù)量多少的時候，通常稱為基數(shù)，當(dāng)一個自然數(shù)被用來表示事物次序的時候，通常稱為序數(shù)。

數(shù)字值：數(shù)字本身所表示的值叫做數(shù)字值。

位置值：數(shù)字本身與其位置結(jié)合起來所表示的值叫做位置值。六、與數(shù)有關(guān)的概念

在自然數(shù)集中，對大于1的自然數(shù)，如果其因數(shù)除了1和它本身之外，不能被其他數(shù)整除，稱這樣的自然數(shù)為質(zhì)數(shù)，又稱素數(shù)。除1、0以外不是質(zhì)數(shù)的正整數(shù)稱為合數(shù)?！?”、“1”既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。

互質(zhì)數(shù)：幾個數(shù)的最大公約數(shù)是1的時候，這幾個數(shù)就叫做互質(zhì)數(shù)。六、與數(shù)有關(guān)的概念

數(shù)級：我國習(xí)慣上把多位數(shù)按四位分級，即從個位起，每四個數(shù)位算作一級。個、十、百、千位是個級，萬、十萬、百萬、千萬是萬級，億、十億、百億、千億位是億級。個級，萬級，億級等叫做數(shù)級。

準確數(shù)：在實際生活中有些量需要用和實際情況完全符合的數(shù)來表示，這些數(shù)叫做準確數(shù)。六、與數(shù)有關(guān)的概念

純小數(shù)：一個整數(shù)部分是零的小數(shù)。

循環(huán)小數(shù)：從小數(shù)點后某一位開始不斷地出重復(fù)現(xiàn)前一個或一節(jié)數(shù)碼的十進制無限小數(shù)，如2.1666…；35.232323…等，叫做循環(huán)小數(shù)，被重復(fù)的一個或一節(jié)數(shù)碼稱為循環(huán)節(jié)。循環(huán)小數(shù)的縮寫法是將第一個循環(huán)節(jié)以后的數(shù)碼全部略去，而在保留的循環(huán)節(jié)首末兩位上方各添一個小點。例如：六、與數(shù)有關(guān)的概念2.166…6…縮寫為2.16（讀作“二點一六，六循環(huán)”）

0.34103103…103…縮寫為0.34103（讀作“零點三四一零三，一零三循環(huán)”）六、與數(shù)有關(guān)的概念...

循環(huán)小數(shù)中，如果小數(shù)部分從十分位開始出現(xiàn)循環(huán)的循環(huán)小數(shù)叫做純循環(huán)小數(shù)；從十分位后開始循環(huán)的小數(shù)叫做混循環(huán)小數(shù)。

脫式：對于四則混合運算的式子題，按照運算的順序（有括號要先算括號內(nèi)的式子；其次計算乘、除，后算加、減；同級運算按從左至右的順序計算），一步一步地運算的式子，叫做脫式，或脫式計算。例如：六、與數(shù)有關(guān)的概念408－12×24；(108＋47)×52;420×(327－238)；(46＋28)×6042×50－1715÷532＋105÷5.有趣的數(shù)：

在古希臘，數(shù)有各種各樣的意思。如有下列一些情況：

1意味著創(chuàng)造；

2像征女性；

3像征男性；

2加3等于5，所以5就表示結(jié)婚。

案例完整數(shù)：

在自然數(shù)n的約數(shù)中，把除了n以外的約數(shù)全部相加，結(jié)果正好是n時，則把這個n稱為完整數(shù)。

例如:第一個完整數(shù)是6，它有約數(shù)1、2、3、6，除去它本身6外，其余3個數(shù)相加，1＋2＋3＝6。第二個完整數(shù)是28，它有約數(shù)1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5個數(shù)相加，1＋2＋4+7+14＝28。后面的完整數(shù)是496、8128.友愛數(shù)和婚約數(shù)：

有兩個正整數(shù)a、b，a除了自身以外的約數(shù)之和等于b，b除了自身以外的約數(shù)之和等于a，把這樣的一組數(shù)稱為“友愛數(shù)”。比如220和284.a除了1和自身以外的約數(shù)之和等于b，b除了1和自身以外的約數(shù)之和等于a，把這樣的一組數(shù)稱為“婚約數(shù)”。比如48和75

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遙遠的古代，人們發(fā)現(xiàn)某些自然數(shù)之間有特殊的關(guān)系：如果兩個數(shù)a和b，a的所有真因數(shù)之和等于b,b的所有真因數(shù)之和等于a,則稱a,b是一對友愛數(shù)。據(jù)說，畢達哥拉斯(Pythagoras,約前580年—前500年)的一個門徒向他提出這樣一個問題：“我結(jié)交朋友時，存在著數(shù)的作用嗎？”畢達哥拉斯毫不猶豫地回答：“朋友是你的靈魂的倩影，要象220和284一樣親密?！?20和284是人類最早發(fā)現(xiàn)，又是最小的一對友愛數(shù)。

在以后的1500年間，世界上有很多數(shù)學(xué)家致力于探尋友愛數(shù)，面對茫茫數(shù)海，無疑是大海撈針，雖經(jīng)一代又一代人的窮思苦想，有些人甚至為此耗盡畢生心血，卻始終沒有收獲。直到費爾馬(P