空間幾何體的表面積與體積（第二課時）

1.3簡單幾何體的表面積和體積(第二課時）公理1、長方體的體積等于它的長、寬、高的積。V長方體=abc推論1、長方體的體積等于它的底面積s和高h的積。V長方體=sh推論2、正方體的體積等于它的棱長a的立方。V正方體=a3幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積一、體積的概念與公理:定理1：柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積s和高h的積。V柱體=sh二：柱體的體積推論：底面半徑為r，高為h圓柱的體積是V圓柱=r2h三:錐體體積例2：

如圖：三棱柱AD1C1-BDC,底面積為S,高為h.ABD

C

D1C1CDABCD1ADCC1D1A答:可分成棱錐A-D1DC,

棱錐A-D1C1C,

棱錐A-BCD.

問：（1）從A點出發(fā)棱柱能分割成幾個三棱錐？3.1．錐體（棱錐、圓錐）的體積（底面積S，高h）

注意：三棱錐的頂點和底面可以根據(jù)需要變換，四面體的每一個面都可以作為底面，可以用來求點到面的距離問題:錐體(棱錐、圓錐）的體積定理︰如果一個錐體（棱錐、圓錐）的底面積是Ｓ，高是ｈ，那么它的體積是：推論：如果圓錐的底面半徑是ｒ，高是ｈ，那么它的體積是：

hSSＶ錐體＝ＳｈＶ圓錐＝πｒ２ｈShss/ss/hx四.臺體的體積V臺體=上下底面積分別是s/,s,高是h，則推論：如果圓臺的上,下底面半徑是r1.r2,高是ｈ，那么它的體積是：

Ｖ圓臺＝πh五.柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關(guān)系？S為底面面積，h為柱體高S分別為上、下底面面積，h為臺體高S為底面面積，h為錐體高上底擴大上底縮小例從一個正方體中，如圖那樣截去4個三棱錐后，得到一個正三棱錐A－BCD，求它的體積是正方體體積的幾分之幾？球的表面積和體積:球的表面積球的體積:例3.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,它的各個頂點都在球O的球面上，問球O的表面積。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。略解：變題1.如果球O和這個正方體的六個面都相切，則有S=——。變題2.如果球O和這個正方體的各條棱都相切，則有S=——。關(guān)鍵：找正方體的棱長a與球半徑R之間的關(guān)系OABC例4已知過球面上三點A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的體積，表面積．解：如圖，設球O半徑為R，截面⊙O′的半徑為r，下略例5、有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的各頂點,求這三個球的體積之比.作軸截面題型一幾何體的展開與折疊有一根長為3πcm，底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端,

則鐵絲的最短長度為多少？

把圓柱沿這條母線展開，將問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的最短距離.題型分類深度剖析解把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD（如圖所示），由題意知BC=3πcm，AB=4πcm，點A與點C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度.故鐵絲的最短長度為5πcm.題型二旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積如圖所示,半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸,旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,求該幾何體的表面積(其中∠BAC=30°)及其體積.

先分析陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成幾何體的形狀,再求表面積.解如圖所示,過C作CO1⊥AB于O1,在半圓中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,∴AC=

,BC=R,∴S球=4πR2,

解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所形成的圖形的形狀，再將圖形進行合理的分割，然后利用有關(guān)公式進行計算.知能遷移2已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個內(nèi)接圓柱，這個圓柱底面半徑與高為何值時，它的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？解如圖為軸截面.

設圓柱的高為h，底面半徑為r，側(cè)面積為S，則題型三多面體的表面積及其體積一個正三棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長為，求這個三棱錐的體積.

本題為求棱錐的體積問題.已知底面邊長和側(cè)棱長，可先求出三棱錐的底面面積和高，再根據(jù)體積公式求出其體積.

解如圖所示，正三