第四章電磁波的傳播

第四章重點(diǎn)（1）均勻平面電磁波及其特點(diǎn)；（2）導(dǎo)電介質(zhì)中平面電磁波及其特點(diǎn)；（3）電磁場(chǎng)邊值關(guān)系在介質(zhì)分界面上的應(yīng)用；（4）理想導(dǎo)體邊界條件；（5）諧振腔的諧振頻率；（6）矩形波導(dǎo)中的截止頻率，傳輸特性。1

我們知道，時(shí)變電場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生時(shí)變磁場(chǎng)，反過(guò)來(lái)，時(shí)變磁場(chǎng)又產(chǎn)生時(shí)變電場(chǎng)。在這一章中，我們將說(shuō)明時(shí)變電磁場(chǎng)在空間形成電磁波，及主要討論無(wú)源介質(zhì)中電磁波的傳播。由于電磁場(chǎng)滿足麥克斯韋方程組，方程組中包含了電場(chǎng)與磁場(chǎng)的關(guān)系，因此我們主要討論電場(chǎng)，然后通過(guò)關(guān)系式得出磁場(chǎng)。由于時(shí)變電磁場(chǎng)會(huì)導(dǎo)致電磁波，在這一章中，我們首先導(dǎo)出電磁場(chǎng)所滿足的波動(dòng)方程。因均勻平面電磁波有著重要意義，我們分別討論均勻平面電磁波在理想介質(zhì)、導(dǎo)電介質(zhì)中的傳播規(guī)律以及均勻平面波在不同介質(zhì)分界面的斜入射規(guī)律。最后，我們討論有界情況電磁波的傳播規(guī)律。21.電磁場(chǎng)波動(dòng)方程

§1平面電磁波

在無(wú)源（

=0，J=0）的均勻介質(zhì)中，麥克斯韋方程組為：

我們先討論真空中的情況，D=

0E、B=

0H。3取第一個(gè)方程的旋度，得：利用

?E=0，上式左邊給出：將第二式帶入右邊得：

這樣我們得到電場(chǎng)波動(dòng)方程：4同樣的方法，我們可以得到磁場(chǎng)的波動(dòng)方程。最后，我們得到真空中電磁場(chǎng)所滿足的波動(dòng)方程為：式中

為真空中的光速。由于介質(zhì)極化和磁化的物理機(jī)制，介質(zhì)的電容率和磁導(dǎo)率與頻率有關(guān)，下面我們討論單一頻率的電磁波問(wèn)題。52.時(shí)諧電磁波

以單一頻率隨時(shí)間作正弦或余弦振蕩的波叫時(shí)諧波（單色波）。為方便運(yùn)算，我們采用復(fù)數(shù)形式，而實(shí)際測(cè)量值是它的實(shí)數(shù)部分。因此，時(shí)諧波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)復(fù)數(shù)形式為：

式中E(x)和B(x)僅是坐標(biāo)的函數(shù)，并且也是復(fù)數(shù)。對(duì)于電荷以及電流密度等場(chǎng)量也有同樣的形式。實(shí)際的值是它們的實(shí)數(shù)部分。我們之所以采用復(fù)數(shù)形式，是因此大部分方程及場(chǎng)量運(yùn)算都是線性的。對(duì)于非線性的運(yùn)算，例如能量，我們將另加考慮。6

對(duì)時(shí)諧場(chǎng)，無(wú)源的麥克斯韋方程組的形式成為：

以上方程組中的場(chǎng)可以認(rèn)為含時(shí)間因子也可以認(rèn)為不含時(shí)間因子。7相應(yīng)的電場(chǎng)波動(dòng)方程成為：令上方程稱為其次亥姆霍茲方程。對(duì)于給定頻率，k是一個(gè)常數(shù)。則有：8這樣我們得到：從上看出，由第一個(gè)方程求出了電場(chǎng)，就可通過(guò)第三個(gè)方程求出磁場(chǎng)。同樣，我們也可得到另一組方程：93.平面電磁波

亥姆霍茲方程的解有多種形式，我們僅對(duì)行波解感興趣，對(duì)于前行波，場(chǎng)的相位隨坐標(biāo)變量的增加而延遲。因此，我們得到電場(chǎng)的前行波解為（見(jiàn)插頁(yè)）：

或：

同樣，我們可以得到：式中E0和B0為常矢量，也是振幅，由初始條件確定。下面我們將說(shuō)明，上面的解是平面電磁波解。10

經(jīng)討論知：k的方向表示了波相位傳播的方向，也即為波的傳播方向，因此通常稱k為電磁波波矢量，也稱傳播矢量。

波矢量k的意義為：其方向表示了電磁波的傳播方向；其大小為傳播方向上2

范圍內(nèi)波的數(shù)目，波矢量的大小簡(jiǎn)稱為波數(shù)。

平面電磁波的特性歸納如下：1）電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H垂直于波的傳播方向，是橫電磁波；2）電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H在空間各點(diǎn)彼此相互垂直；3）E

H的方向沿電磁波傳播方向；4）E和B的比值等于波速，114.電磁波的能量和能流

因?yàn)殡姶艌?chǎng)能量密度為：

又：即：因此平面電磁波的電磁能量密度又可表達(dá)為：12

而電磁場(chǎng)能流密度為：

以上的表達(dá)式中電場(chǎng)和磁場(chǎng)均為瞬時(shí)值，而不是復(fù)數(shù)。實(shí)際應(yīng)用中，我們更關(guān)心的是平均值，下面我們給出用復(fù)數(shù)表達(dá)的計(jì)算公式。13平均能量和能流的計(jì)算是非線性計(jì)算（二次項(xiàng)）。

設(shè)兩矢量場(chǎng)：式中

為常數(shù)，也是這兩矢量場(chǎng)的相位差。則電磁場(chǎng)平均能量密度為：

14電磁場(chǎng)平均能流密度為：

或：

15對(duì)于我們這里討論的均勻平面電磁波有：

及：

16例4-1-1

在真空中，電場(chǎng)為

求：(a)波矢量及角頻率

；(b)電場(chǎng)和磁場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)數(shù)形式；(c)平均能流密度。解：見(jiàn)例4-1-117§2電磁波在介質(zhì)界面上的反射和折射

電磁波在傳播過(guò)程中會(huì)遇到不同介質(zhì)的分界面，并進(jìn)入到另一介質(zhì)中?，F(xiàn)在我們討論單一頻率均勻平面波由介質(zhì)1進(jìn)入介質(zhì)2的情況。當(dāng)入射電磁波(incidentwave)遇到介質(zhì)分界面時(shí)，一部分波穿透介質(zhì)分界面形成透射波(transmittedwave)繼續(xù)傳播，一部分波被分界面反射形成反射波(reflectedwave)。這一現(xiàn)象稱為波的反射和折射。通過(guò)本節(jié)的討論，我們將再一次看到邊值關(guān)系在解決電磁場(chǎng)問(wèn)題中的重要性。我們假定兩介質(zhì)分界面在z=0處。z

0的區(qū)域?yàn)榻橘|(zhì)1，z

0的區(qū)域?yàn)榻橘|(zhì)2。我們僅討論兩絕緣介質(zhì)分界面的反射和折射問(wèn)題。

181.反射和折射定律

在這一節(jié)中，我們將利用邊值關(guān)系得出電磁波在介質(zhì)分界面的反射和折射規(guī)律。

我們知道，一般情況下電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系為：

我們也知道，上面的式子中只有兩個(gè)是獨(dú)立的。在絕緣介質(zhì)分界面無(wú)電荷密度和電流密度。因此我們只用前兩式有：19

介質(zhì)1中的入射波和反射波、介質(zhì)2中的折射波如圖所示。xz平面稱為入射面。

入射波、反射波、透射波與界面法線的夾角分別稱為入射角θi、反射角θr、折射角θt。入射波矢量、反射波矢量、透射波矢量與界面法線構(gòu)成得平面分別稱為入射面、反射面、折射面。θiμ2

ε2θtki電磁波在平面界面的斜入射xzkrktθrμ1

ε120假設(shè)入射波、反射波、折射波的電場(chǎng)分別為：利用電場(chǎng)的邊值關(guān)系，得：若上式在z=0處對(duì)任何x、y、t變量成立，則必有：

我們將頻率統(tǒng)記為

。21同樣，我們有：由此得出：我們選擇xz平面為入射面。因ki在y方向沒(méi)有分量，上式對(duì)變量x和y成立，必有：

又：及：22我們得到：即入射角等于反射角，統(tǒng)記為θ，這就是斯耐爾反射定律。另外，我們還可得出：

及：上式稱為斯耐爾折射定律。

232.振幅關(guān)系菲涅耳公式

（1）入射電場(chǎng)垂直入射面情況：（2）入射電場(chǎng)平行入射面情況：24（2）入射電場(chǎng)平行入射面情況：以上推導(dǎo)及全反射、無(wú)反射見(jiàn)4-2附頁(yè)25§3有導(dǎo)體存在時(shí)電磁波的傳播

在前一節(jié)中，我們得到了介質(zhì)中波動(dòng)方程的穩(wěn)態(tài)解，并且電磁波在介質(zhì)中無(wú)能量損耗傳播?，F(xiàn)在，我們考慮電磁波在導(dǎo)體中傳播的一般情況。261.導(dǎo)體中的自由電荷分布

導(dǎo)體在時(shí)變電磁場(chǎng)中是否還保持與靜電場(chǎng)一樣內(nèi)部電荷為零呢？下面我們來(lái)討論這一問(wèn)題。

我們得出：對(duì)于變化頻率f

1019Hz的時(shí)變電場(chǎng)，在導(dǎo)體內(nèi)的電荷密度仍可認(rèn)為零。討論見(jiàn)附4-3-1272.導(dǎo)體中的電磁波

在導(dǎo)體內(nèi)部沒(méi)有自由電荷，而傳導(dǎo)電流由歐姆定律J=σE給出。在這種情況下，麥克斯韋方程組為：28對(duì)于時(shí)諧場(chǎng)，麥克斯韋方程組又可寫(xiě)成為：與第一節(jié)中無(wú)源情況相比，在于第二個(gè)方程的差別。若令：則方程形式一樣，只是原來(lái)的電容率

現(xiàn)在改為了復(fù)電容率

c。這樣，我們前面所得公式形式不變，只是原來(lái)的電容率

現(xiàn)在改為了復(fù)電容率

c。29波矢量k也成為復(fù)波矢量kc。其大小為：若令：由上兩式可得到：30對(duì)于良導(dǎo)體σ/ωε

1：31

下面我們討論一下

和

的意義。為簡(jiǎn)單，我們考慮電磁波沿z方向傳播。則：此時(shí)電場(chǎng)可寫(xiě)為：

即導(dǎo)體中的電磁波是一衰減波。

稱為衰減系數(shù)。而

稱為相位常數(shù)。我們引入趨膚深度的概念來(lái)描述電磁波的衰減。它定義為電磁波振幅衰減到表面處振幅的e-1時(shí)電磁波所傳播的距離，以δ表示。

3.趨膚效應(yīng)和穿透深度

32對(duì)于良導(dǎo)體：實(shí)際上，電磁波在導(dǎo)電介質(zhì)中傳播5δ的距離后，即消失在導(dǎo)電介質(zhì)中了。例如，在1MHz頻率下，銅的趨膚深度δ約為0.066mm，電磁波在傳播了0.33mm后振幅已小到無(wú)意義了。也就是說(shuō)，在良導(dǎo)體中，電磁波衰減很快，電磁場(chǎng)集中在導(dǎo)體表面附近區(qū)域，這種現(xiàn)象稱為趨膚效應(yīng)。33又對(duì)于良導(dǎo)體：從上面可以看出，

、

、

隨頻率而變。因此，不同頻率的電磁波在介質(zhì)中傳播速度是不一樣的。即對(duì)于包含有各種頻率的信號(hào)在傳播時(shí)，信號(hào)到達(dá)目的地時(shí)，會(huì)發(fā)生畸變。信號(hào)在其中會(huì)發(fā)生畸變的介質(zhì)稱為色散介質(zhì)。導(dǎo)電介質(zhì)一般是色散介質(zhì)。我們得到：導(dǎo)體中電場(chǎng)的相位超前磁場(chǎng)

/4。34面電阻

在良導(dǎo)體中，由于電磁場(chǎng)集中在導(dǎo)體表面附近，我們引入趨膚電阻(或表面電阻率)概念。平面導(dǎo)體趨膚電阻定義為單位長(zhǎng)度、單位寬度、厚度為趨膚深度的平板電阻，趨膚電阻記為Rs。詳見(jiàn)附4-3-2。

35§4諧振腔

諧振腔是中空的由良導(dǎo)體構(gòu)成的金屬腔，它用于產(chǎn)生微波振蕩和用于微波測(cè)量。我們知道，當(dāng)給出邊界條件及電荷分布后，我們就可以唯一地求出電場(chǎng)。電場(chǎng)的邊界條件可由邊值關(guān)系得到。但由知，

En

=

s。但一般情況下，理想導(dǎo)體表面的電荷密度并不知道，而是通過(guò)電場(chǎng)求出面電荷分布，但電場(chǎng)又恰是我們現(xiàn)在要求解的。因此，我們要另辟蹊徑找出有關(guān)電場(chǎng)法向方向的邊界條件。36

對(duì)于理想導(dǎo)體σ=

,由此得穿透深度

=0。即在理想導(dǎo)體中，電磁場(chǎng)量為零。另一方面，在下面的討論中，我們考慮空間中

=0。設(shè)理想導(dǎo)體面為z=0平面，z

0區(qū)域?yàn)槔硐雽?dǎo)體，電磁場(chǎng)存在于z

0區(qū)域，如圖所示1.理想導(dǎo)體邊界條件位于z=0的理想導(dǎo)體平面xz介質(zhì)理想導(dǎo)體37

由圖，利用邊值關(guān)系en

(E2–E1)=ez

E=0，我們得到在理想導(dǎo)體面有：上式表明，在理想導(dǎo)體表面，不存在電場(chǎng)的切向分量。

我們知道，若空間不存在電荷密度，則

?E=0。對(duì)于理想導(dǎo)體表面附近，有：將其寫(xiě)成一般形式式中n為理想導(dǎo)體表面法向方向。此式說(shuō)明，電場(chǎng)法向分量的法向偏導(dǎo)數(shù)為零。這樣我們得到了電場(chǎng)在理想導(dǎo)體面上所滿足的邊界條件。38設(shè)矩形諧振腔尺寸為L(zhǎng)1、L2、L3。經(jīng)推導(dǎo)，我們得出諧振腔中電場(chǎng)分布為（見(jiàn)附頁(yè)）：2.諧振腔中的場(chǎng)分布式中：式中m、n、和p=0，1，2，3，…。由電場(chǎng)我們完全可以得到磁場(chǎng)的分布。以上方程表明每一組m，n，p值相應(yīng)于一個(gè)模式，且不能有兩個(gè)同時(shí)為零，它們分別代表了三個(gè)矩形邊半波的數(shù)目。

39上式表明對(duì)于給定m、n、和p值，在諧振腔中只有兩個(gè)場(chǎng)的獨(dú)立模式。由

?E=0得：40因3.諧振頻率式中μ和ε是諧振腔中的介質(zhì)參數(shù)。由此得到諧振腔的諧振頻率和諧振波長(zhǎng)分別為：

41如果L1

L2

L3，最低諧振頻率為：42§5波導(dǎo)電磁波在以導(dǎo)體為邊界限制空間的傳播，即在導(dǎo)體限制區(qū)域內(nèi)存在的波，我們稱為導(dǎo)行電磁波，簡(jiǎn)稱導(dǎo)波。傳播導(dǎo)行電磁波的系統(tǒng)稱為導(dǎo)波系統(tǒng)。導(dǎo)波的存在，需要導(dǎo)體，導(dǎo)波沿導(dǎo)體長(zhǎng)度方向傳播。事實(shí)上，雙導(dǎo)線(或平行板)、同軸線、矩形波導(dǎo)、園波導(dǎo)、帶狀線、微帶線、介質(zhì)波導(dǎo)都屬于導(dǎo)波系統(tǒng)。這里我們只討論矩形波導(dǎo)。43矩形波導(dǎo)管是一個(gè)寬a高為b，a≥b，的中空矩形金屬導(dǎo)管。一般我們?nèi)【匦尾▽?dǎo)管橫斷面為平面，如圖所示。1.矩形波導(dǎo)管中的電磁波zo寬為a、高為b

的矩形波導(dǎo)管xx=ayy=b44在我們這里的討論中，我們假定波導(dǎo)管的四壁為理想導(dǎo)體，其中的介質(zhì)為理想介質(zhì)(

=0,

=0)，電磁波沿z軸方向傳播。波導(dǎo)管中，電磁場(chǎng)的解屬于時(shí)變電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題。因此根據(jù)前面知識(shí)波導(dǎo)管中有：

45

根據(jù)邊界條件通過(guò)求解電場(chǎng)方程，我們得到：

式中m、n=0,1,2,…。根據(jù)以上結(jié)果我們看出，m和n不能同時(shí)為零，否則所有場(chǎng)量為零。由于m和n的多值性，因此波導(dǎo)管中場(chǎng)的結(jié)構(gòu)有多種形式，每一種形式我們稱為一種模式，或一種波模。每一組m、n值給出對(duì)應(yīng)的波模。這種多模結(jié)構(gòu)是波導(dǎo)管的一個(gè)重要特性。46上式表明對(duì)于給定m、n值，波導(dǎo)管中只有兩個(gè)場(chǎng)的獨(dú)立模式。如果波中電場(chǎng)在傳播方向上沒(méi)有分量，這樣的波稱為橫電波(TE波)。如果波中磁場(chǎng)在傳播方向上沒(méi)有分量，這樣的波稱為橫磁波(TM波)。如果波中在傳播方向上既沒(méi)有電場(chǎng)分量也沒(méi)有磁場(chǎng)分量，這樣的波稱為橫電磁波(TEM波)。我們可以得出矩形波導(dǎo)管中：若Ez=0，則Hz≠0；若Hz=0，則Ez≠0。即矩形波導(dǎo)管中不存在TEM波。另外，我們還可論證：波導(dǎo)管中不存在TM0n和TMm0波。由

?E=0得：47

由于m和n的多值性，因此波導(dǎo)中的場(chǎng)模式有多種形式。每一組m和n值給出對(duì)應(yīng)的波模。對(duì)于橫電波，記為T(mén)Emn；對(duì)于橫磁波，記為T(mén)Mmn。m和n值大的模式稱為高次模，數(shù)值小的稱為低次模。另外，我們還可論證：波導(dǎo)管中不存在TM0n和TMm0波。48因?yàn)椋?/p>