高數(shù)10期中武漢數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)f(1+sinx)?3f(1?sinx)武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)f(1+sinx)?3f(1?sinx)=8x+α(x)其中α(x是當(dāng)x→0時比xf(x在x1處可導(dǎo)，求曲線y=f(x在點(diǎn)(6f(6))處的切線方f(x+hx)1exffxh1、試確定常數(shù)a,b，使極限lim1+acos2x+bcos4xxx12、lim(xe2x)sinxxfi0x<x?e2（10）f(x)，bx+1、確定af(xx02、再確定bf(xx03yf(x在點(diǎn)(0,a處的切線與法線方程。（28分）求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)：sinx)lnxx確定,則曲線y=y(x向上凸的x2、設(shè)函數(shù)y(x)?y=3t?3t+3yx2cos2xy(n4y1ln(1exx（2|Rxfi02f七、（15分）f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f￠(a0.f(x)xa處的一階泰勒公式為：2 21試證：當(dāng)hfi0時，q 31上學(xué)期）期中試題參考解（10）解f(x5，故函數(shù)y=f(x在x1與x=6兩邊對x0取極限易f(1)0。因limf(1sinx)3f(1?sinxlim?8α(x?8x→0 xx另一方面，有l(wèi)imf(1sinx)3f(1?sinxlimf(1sinx)3f(1?sinxsinx4fxxxxf′(1)=2，故在點(diǎn)(6,f(6))處的切線方程為y=2(x6)f(x+hx) f上學(xué)期）期中試題參考解（10）解f(x5，故函數(shù)y=f(x在x1與x=6兩邊對x0取極限易f(1)0。因limf(1sinx)3f(1?sinxlim?8α(x?8x→0 xx另一方面，有l(wèi)imf(1sinx)3f(1?sinxlimf(1sinx)3f(1?sinxsinx4fxxxxf′(1)=2，故在點(diǎn)(6,f(6))處的切線方程為y=2(x6)f(x+hx) f(x+]h，則lny h二、（6）解設(shè)y]ff因?yàn)閘imlny=1lnf(x=limx[lnf(x+hx)?lnf(x)]=x[lnf(x)]′]hfhhf(x+hx)11x′e，因此x[lnf(x)]′′故h=ex[lnf(x)]，由已知條件得ex[lnf(xxfx1從而[lnf(x)]′ ，解之得f(x)=Cex，由limf(x)=1得f(x)=xx1、解：因上式極限存在，故分子的極限必須為零，即lim(1+acos2x+bcos4x1+a+bxlim1+acos2x+bcos4xlim?2asin2x?4bsin4xlim?2sin2xa4bcosx4xx4xxxx故lim(a4bcos2xa4b0，解得a=?4b=133xlim1+acos2x+bcos4x=lim4?4cos2x=x3x3xx1)sin1=limesinln(x+e2x2ln(x+e 232、lim(x=exfi=2=xxfixfixfi（10）1limf(x)limabx)alimf(x)lime2x1f(xxxfixfie2e2f(x)-f(1+bx)-f(x)-f--==2===x-x-x-x-xfixfif(xx0點(diǎn)處可導(dǎo)，故b23y2x1y1x12sin1lnln五、1、解y [(lnsinx-lnx)-cotxlnxx?=1=3t2?3=t22 ,dd?dy?21==1==1? 3(t2+,t2+ dx ?x3t2+t+tddx30可得t0.又xt3t1單調(diào)增t0時,x(?∞1)。因t=0時令x1x(?∞1時，曲線凸3、解：由cos2x1cos2x(cos2xk)2k-122y(n)=x2(cos2x)(n)+n2x(cos2x)(n-1)+n(n-1)(cos2x)(n-=2n-1x2cos(2x+np)+2n-1nxcos(2x+(n-1)p)+2n-3n(n-1)cos(2x+(n-2)p22224、解：由limylim[1ln(1ex)]￥，所x0是一條鉛直漸近線，xxfi xfilimylim1ln(1ex￥xfi+￥方向沒有水平漸近線。xxfi xfi =lim[1+1ln(1+ex)]=1，lim(y-x)=lim[1+ln(1+ex)-x]=yxxxxfixfixfixfi所以xfi￥方向有4、解：由limylim[1ln(1ex)]￥，所x0是一條鉛直漸近線，xxfi xfilimylim1ln(1ex￥xfi+￥方向沒有水平漸近線。xxfi xfi =lim[1+1ln(1+ex)]=1，lim(y-x)=lim[1+ln(1+ex)-x]=yxxxxfixfixfixfi所以xfi￥方向有斜漸近yxxfi-￥方向limylim1ln(1ex0，所以xfi-￥方向該曲線有水平漸近xxfi- xfi-y031=(qx)（2）將f(x)在原點(diǎn)展開為一階泰勒公式=111,=xfi==2ffq)f2七（15分）注意到 (0<q<1)223以 f<1)263h622ff￠(a+q1h)，即（＊）和（＊＊）=13)