新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)專題8.6空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系(講)原卷版_第1頁(yè)
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專題8.6空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系新課程考試要求1.了解空間直角坐標(biāo)系,會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置2.了解空間向量的概念,了解空間向量的基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積的定義、坐標(biāo)表示的運(yùn)算.4.掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式,會(huì)求向量的長(zhǎng)度、兩向量夾角,并會(huì)解決簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等.考向預(yù)測(cè)(1)空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.(2)運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.(3)應(yīng)用空間向量解決立體幾何問(wèn)題.(4)一般不獨(dú)立命題.預(yù)測(cè)2022年高考會(huì)以簡(jiǎn)單幾何體為載體,利用空間向量解決與平行、垂直有關(guān)的證明及空間角的計(jì)算問(wèn)題.解題時(shí)要求有較強(qiáng)的運(yùn)算能力.【知識(shí)清單】知識(shí)點(diǎn)1.空間向量的線性運(yùn)算1.空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量:在空間中,具有大小和方向的量叫做空間向量,其大小叫做向量的模或長(zhǎng)度.(2)幾種常用特殊向量①單位向量:長(zhǎng)度或模為1的向量.②零向量:長(zhǎng)度為0的向量.③相等向量:方向相同且模相等的向量.④相反向量:方向相反而模相等的向量.⑤共線向量:如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合,則這些向量叫作共線向量或平行向量.⑥共面向量:平行于同一個(gè)平面的向量.2.空間向量的線性運(yùn)算(1)空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的推廣.設(shè)a,b是空間任意兩向量,若,P∈OC,則,,.(2)向量加法與數(shù)乘向量運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律①加法交換律:a+b=b+a.②加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c).③數(shù)乘分配律:λ(a+b)=λa+λb.④數(shù)乘結(jié)合律:λ(μa)=(λμ)a.(λ∈R,μ∈R).知識(shí)點(diǎn)2.共線向量定理、共面向量定理的應(yīng)用(1)共線向量定理:對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb.(2)共面向量定理:如果兩個(gè)向量a、b不共線,則向量p與向量a、b共面的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)x、y,使.(3)空間向量基本定理如果三個(gè)向量a、b、c不共面,那么對(duì)空間任一向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使.把{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底.推論:設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn),則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x、y、z,使.其中x+y+z=1.知識(shí)點(diǎn)3.空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用1.兩個(gè)向量的數(shù)量積(1)a·b=|a||b|cos〈a,b〉;(2)a⊥b?a·b=0(a,b為非零向量);(3)|a|2=a2,|a|=eq\r(x2+y2+z2).2.向量的坐標(biāo)運(yùn)算a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)向量和a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)向量差a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)數(shù)量積a·b=a1b1+a2b2+a3b3共線a∥b?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)垂直a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0夾角公式cos〈a,b〉=eq\f(a1b1+a2b2+a3b3,\r(a\o\al(2,1)+a\o\al(2,2)+a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)+b\o\al(2,2)+b\o\al(2,3)))知識(shí)點(diǎn)4.空間直角坐標(biāo)系以及空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念(1)空間直角坐標(biāo)系:以空間一點(diǎn)O為原點(diǎn),建立三條兩兩垂直的數(shù)軸:x軸,y軸,z軸.這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz,其中點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn),x軸,y軸,z軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸.由每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸確定的平面叫做坐標(biāo)平面.(2)右手直角坐標(biāo)系的含義:當(dāng)右手拇指指向x軸的正方向,食指指出y軸的正方向時(shí),中指指向z軸的正方向.(3)空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來(lái)表示,記作M(x,y,z),其中x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo).2.空間兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)點(diǎn)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則=eq\r((x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2).【考點(diǎn)分類剖析】考點(diǎn)一:空間向量的線性運(yùn)算【典例1】(2020·全國(guó))如圖,在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【典例2】如圖,在空間四邊形中,,,.點(diǎn)在上,且,是的中點(diǎn),則=()A.B.C.D.【規(guī)律方法】用已知向量表示某一向量的方法(1)用已知向量來(lái)表示未知向量,一定要結(jié)合圖形,以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量,我們可把這個(gè)法則稱為向量加法的多邊形法則.(3)在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則,向量加法的平行四邊形法則在空間中仍然成立.【變式探究】1.如圖,在平行六面體中,為的交點(diǎn).若,,則下列向量中與相等的向量是()A.B.C.D.2.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè),E,F(xiàn)分別是AD1,BD的中點(diǎn).(1)用向量表示,;(2)若,求實(shí)數(shù)x,y,z的值.【總結(jié)提升】1.選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量,并用它們表示出指定的向量,是用向量解決立體幾何問(wèn)題的基本要求.解題時(shí)應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形,聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等,就近表示所需向量.2.首尾相接的若干個(gè)向量的和,等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量,求若干個(gè)向量的和,可以通過(guò)平移將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和問(wèn)題解決.考點(diǎn)二:共線向量定理、共面向量定理的應(yīng)用【典例3】(2020·全國(guó))如圖所示,已知斜三棱柱SKIPIF1<0,點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上,且滿足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,判斷向量SKIPIF1<0是否與向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0共面.【典例4】(2021·全國(guó))如圖,在四面體ABCD中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).(1)求證:E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面;(2)求證:SKIPIF1<0平面EFGH;(3)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn),求證:對(duì)空間任意一點(diǎn)O,有SKIPIF1<0.【規(guī)律方法】1.在空間適當(dāng)選取三個(gè)不共面向量作為基向量,其它任意一向量都可用這一組基向量表示.2.中點(diǎn)向量公式,在解題時(shí)可以直接使用.3.證明空間任意三點(diǎn)共線的方法對(duì)空間三點(diǎn)P,A,B可通過(guò)證明下列結(jié)論成立來(lái)證明三點(diǎn)共線.(1);(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O,;(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O,.4.證明空間四點(diǎn)共面的方法對(duì)空間四點(diǎn)P,M,A,B可通過(guò)證明下列結(jié)論成立來(lái)證明四點(diǎn)共面(1);(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O,;(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O,;(4)∥(或∥或∥).【變式探究】1.若,,不共線,對(duì)于空間任意一點(diǎn)都有,則,,,四點(diǎn)()A.不共面B.共面C.共線D.不共線2.(2021·全國(guó))已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0三點(diǎn)不共線,對(duì)平面SKIPIF1<0外的任一點(diǎn)SKIPIF1<0,若點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)判斷SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0三個(gè)向量是否共面;(2)判斷點(diǎn)SKIPIF1<0是否在平面SKIPIF1<0內(nèi).考點(diǎn)三:空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用【典例5】(2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))在棱長(zhǎng)為1的正四面體SKIPIF1<0中,點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0最短時(shí),SKIPIF1<0()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【典例6】【多選題】(2021·江蘇省板浦高級(jí)中學(xué)高二期末)如圖,在平行六面體SKIPIF1<0中,以頂點(diǎn)SKIPIF1<0為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是SKIPIF1<0,且它們彼此的夾角都是SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn).若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.則下列正確的是()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0的長(zhǎng)為SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0SKIPIF1<0【總結(jié)提升】1.空間向量數(shù)量積計(jì)算的兩種方法(1)基向量法:a·b=|a||b|cos〈a,b〉.(2)坐標(biāo)法:設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則a·b=x1x2+y1y2+z1z2.2.空間向量數(shù)量積的三個(gè)應(yīng)用求夾角設(shè)向量a,b所成的角為θ,則cosθ=eq\f(a·b,|a||b|),進(jìn)而可求兩異面直線所成的角求長(zhǎng)度(距離)運(yùn)用公式|a|2=a·a,可使線段長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題解決垂直問(wèn)題利用a⊥b?a·b=0(a≠0,b≠0),可將垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題【變式探究】1.已知向量,,且與互相垂直,則的值為()A.2B.0C.-1D.12.【多選題】(2021·福建高二期末)已知四棱柱SKIPIF1<0為正方體.則下列結(jié)論正確的是()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0的夾角是SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【總結(jié)提升】1.當(dāng)題目條件有垂直關(guān)系時(shí),常轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為零進(jìn)行應(yīng)用;2.當(dāng)異面直線所成的角為時(shí),常利用它們所在的向量轉(zhuǎn)化為向量的夾角θ來(lái)進(jìn)行計(jì)算.應(yīng)該注意的是,,所以3.立體幾何中求線段的長(zhǎng)度可以通過(guò)解三角形,也可依據(jù)|a|=eq\r(a2)轉(zhuǎn)化為向量求解.考點(diǎn)四:空間直角坐標(biāo)系以及空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【典例7】(2020·福建廈門一中高二期中)已知SKIPIF1<0,1,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,3,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,7,SKIPIF1<0,點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi),則SKIPIF1<0的值為()A.SKIPIF1<0 B.1 C.10 D.11【典例8】(2021·全國(guó))正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為1,SKIPIF1<0?SKIPIF1<0分別在線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0上,SKIPIF1<0的最小值為_(kāi)_____.【

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