大二電磁場與電磁波期末復(fù)習(xí)公式總結(jié)

電磁場與電磁波復(fù)習(xí)第一局部知識(shí)點(diǎn)歸納第一章矢量分析1、三種常用的坐標(biāo)系〔1〕直角坐標(biāo)系微分線元：面積元：，體積元：〔2〕柱坐標(biāo)系長度元：，面積元，體積元：〔3〕球坐標(biāo)系長度元：，面積元：，體積元：2、三種坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的關(guān)系〔1〕直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系的關(guān)系〔2〕直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系〔3〕柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系3、梯度〔1〕直角坐標(biāo)系中：〔2〕柱坐標(biāo)系中：〔3〕球坐標(biāo)系中：4.散度〔1〕直角坐標(biāo)系中：〔2〕柱坐標(biāo)系中：〔3〕球坐標(biāo)系中：5、高斯散度定理：，意義為：任意矢量場的散度在場中任意體積內(nèi)的體積分等于矢量場在限定該體積的閉合面上的通量。6，旋度直角坐標(biāo)系中：柱坐標(biāo)系中：球坐標(biāo)系中：兩個(gè)重要性質(zhì)：=1\*GB3①矢量場旋度的散度恒為零，=2\*GB3②標(biāo)量場梯度的旋度恒為零，7、斯托克斯公式：第二章靜電場和恒定電場1、靜電場是由空間靜止電荷產(chǎn)生的一種發(fā)散場。描述靜電場的根本變量是電場強(qiáng)度、電位移矢量和電位。電場強(qiáng)度與電位的關(guān)系為：。2、電場分布有點(diǎn)電荷分布、體電荷分布、面電荷分布和線電荷分布。其電場強(qiáng)度和電位的計(jì)算公式如下：〔1〕點(diǎn)電荷分布〔2〕體電荷分布〔3〕面電荷分布線電荷分布3、介質(zhì)中和真空中靜電場的根本方程分別為在線性、各向同性介質(zhì)中，本構(gòu)方程為：4、電介質(zhì)的極化〔1〕極化介質(zhì)體積內(nèi)的極化體電荷密度為：?！?〕介質(zhì)外表的極化面電荷密度為：5、在均勻介質(zhì)中，電位滿足的微分方程為泊松方程和拉普拉斯方程，即6、介質(zhì)分界面上的邊界條件〔1〕分界面上的邊界條件〔為分界面上的自由電荷面密度〕，當(dāng)分界面上沒有自由電荷時(shí)，那么有：，它給出了的法向分量在介質(zhì)分界面兩側(cè)的關(guān)系：〔=1\*ROMANI〕如果介質(zhì)分界面上無自由電荷，那么分界面兩側(cè)的法向分量連續(xù)；〔=2\*ROMANII〕如果介質(zhì)分界面上分布電荷密度，的法向分量從介質(zhì)1跨過分界面進(jìn)入介質(zhì)2時(shí)將有一增量，這個(gè)增量等于分界面上的面電荷密度。用電位表示：〔2〕分界面上的邊界條件〔切向分量〕,電場強(qiáng)度的切向分量在不同的分界面上總是連續(xù)的。由于電場的切向分量在分界面上總連續(xù)，法向分量有限，故在分界面上的電位函數(shù)連續(xù)，即。電力線折射定律：。7、靜電場能量〔1〕靜電荷系統(tǒng)的總能量=1\*GB3①體電荷：；=2\*GB3②面電荷：；=3\*GB3③線電荷：。〔2〕導(dǎo)體系統(tǒng)的總能量為：。〔3〕能量密度靜電能是以電場的形式存在于空間，而不是以電荷或電位的形式存在于空間中的。場中任意一點(diǎn)的能量密度為：在任何情況下，總靜電能可由來計(jì)算。8、恒定電場存在于導(dǎo)電媒質(zhì)中由外加電源維持。描述恒定電場特性的根本變量為電場強(qiáng)度和電流密度，且。為媒質(zhì)的電導(dǎo)率?！?〕恒定電場的根本方程電流連續(xù)性方程：恒定電流場中的電荷分布和電流分布是恒定的。場中任一點(diǎn)和任一閉合面內(nèi)都不能有電荷的增減，即。因此，電流連續(xù)性方程變?yōu)椋?，再加上，這變分別是恒定電場根本方程的積分形式和微分形式?！?〕恒定電場的邊界條件應(yīng)用歐姆定律可得：。此外，恒定電場的焦耳損耗功率密度為，儲(chǔ)能密度為。第四章恒定磁場1、磁場的特性由磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度來描述，真空中磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算公式為：〔真空磁導(dǎo)率：〕〔1〕線電流：〔2〕面電流：〔3〕體電流：2、恒定磁場的根本方程〔1〕真空中恒定磁場的根本方程為：A、磁通連續(xù)性方程：，B、真空中安培環(huán)路定理：〔2〕磁介質(zhì)中恒定磁場的根本方程為：A、磁通連續(xù)性方程仍然滿足：，B、磁介質(zhì)中安培環(huán)路定理：C、磁性媒質(zhì)的本構(gòu)方程：。恒定磁場是一種漩渦場，因此一般不能用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來描述。3、磁介質(zhì)的磁化磁介質(zhì)在磁場中被磁化，其結(jié)果是磁介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)凈磁矩或宏觀磁化電流。磁介質(zhì)的磁化程度用磁化強(qiáng)度表示?！?〕磁介質(zhì)中的束縛體電流密度為：；〔2〕磁介質(zhì)外表上的束縛面電流密度為：4、恒定磁場的矢量磁位為：，矢量為矢量磁位。在庫侖標(biāo)準(zhǔn)條件〔〕下，場與源的關(guān)系方程為：對于分布型的矢量磁位計(jì)算公式：線電流：〔2〕面電流：〔3〕體電流：5、恒定磁場的邊界條件〔1〕分界面上的邊界條件在兩種磁介質(zhì)的分界面上，取一個(gè)跨過分界面兩側(cè)的小扁狀閉合柱面〔高為無窮小量〕，如右圖所示，應(yīng)用磁通連續(xù)性方程可得：于是有：分界面上〔切向分量〕的邊界條件：，如果分界面上無源外表電流〔即〕，那么即磁力線折射定律：用矢量磁位表示的邊界條件為：6、電感的計(jì)算〔1〕外自感：，〔2〕互感：〔3〕內(nèi)自感：單位長度的圓截面導(dǎo)線的內(nèi)自感為：〔長度為的一段圓截面導(dǎo)線的內(nèi)自感為〕。7、磁場的能量和能量密度〔1〕磁場的總能量磁介質(zhì)中，載流回路系統(tǒng)的總磁場能量為：磁場能量密度任意磁介質(zhì)中：，此時(shí)磁場總能量可以由計(jì)算出；B、在各向同性，線性磁介質(zhì)中：，此時(shí)磁場總能量可以由時(shí)變電磁場法拉第電磁感應(yīng)定律〔1〕感應(yīng)電動(dòng)勢為：；〔2〕法拉第電磁感應(yīng)定律它說明時(shí)變的磁場將鼓勵(lì)電場，而且這種感應(yīng)電場是一種旋渦場，即感應(yīng)電場不再是保守場，感應(yīng)電場在時(shí)變磁場中的閉合曲線上的線積分等于閉合曲線圍成的面上磁通的負(fù)變化率。麥克斯韋位移電流假說按照麥克斯韋提出的位移電流假說，電位移矢量對時(shí)間的變化率可視為一種廣義的電流密度，稱為位移電流密度，即。位移電流一樣可以鼓勵(lì)磁場，從而可以得出時(shí)變場中的安培環(huán)路定律：麥克斯韋方程組微分形式〔2〕積分形式〔3〕非限定形式的麥克斯韋方程組在線性和各向同性的介質(zhì)中，有媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系：，由此可得非限定形式的麥克斯韋方程組：〔4〕麥克斯韋方程組的實(shí)質(zhì)A、第一方程：時(shí)變電磁場中的安培環(huán)路定律。物理意義：磁場是由電流和時(shí)變的電場鼓勵(lì)的。B、第二方程：法拉第電磁感應(yīng)定律。物理意義：說明了時(shí)變的磁場鼓勵(lì)電場的這一事實(shí)。C、第三方程：時(shí)變電場的磁通連續(xù)性方程。物理意義：說明了磁場是一個(gè)旋渦場。D、第四方程：高斯定律。物理意義：時(shí)變電磁場中的發(fā)散電場分量是由電荷鼓勵(lì)的。思考題：麥克斯韋方程中為什么沒有寫進(jìn)電流連續(xù)性方程？答：因?yàn)樗梢杂晌⒎中问降姆匠探M中=1\*GB3①、=4\*GB3④式兩式導(dǎo)出。把=1\*GB3①式兩邊同時(shí)取散度得由于矢量的旋度的散度恒等于零，故得，再把=4\*GB3④式代入上式，即得，這便是電流連續(xù)性方程。分界面上的邊界條件〔1〕法向分量的邊界條件A、，假設(shè)分界面上，那么B、的邊界條件〔2〕切向分量的邊界條件A、的邊界條件B、的邊界條件，假設(shè)分界面上，那么〔3〕理想導(dǎo)體〔〕外表的邊界條件，式中是導(dǎo)體外表法線方向的單位矢量。上述邊界條件說明：在理想導(dǎo)體與空氣的分界面上，如果導(dǎo)體外表上分布有電荷，那么在導(dǎo)體外表上有電場的法向分量，那么由上式中的=4\*GB3④式?jīng)Q定，導(dǎo)體外表上電場的切向分量總為零；導(dǎo)體外表上磁場的法向分量總為零，如果導(dǎo)體外表上分布有電流，那么在導(dǎo)體外表上有磁場的切向分量，那么由上式中的=1\*GB3①?zèng)Q定。波動(dòng)方程無源區(qū)域內(nèi)，、的波動(dòng)方程分別為：、；此兩式為三維空間中的矢量齊次波動(dòng)方程。由此可以看出：時(shí)變電磁場在無源空間中是以波動(dòng)的方式在運(yùn)動(dòng)，故稱時(shí)變電磁場為電磁波，且電磁波的傳播速度為。坡印廷定理和坡印廷矢量數(shù)學(xué)表達(dá)式：由于為體積內(nèi)的總電場儲(chǔ)能，為體積內(nèi)的總磁場儲(chǔ)能，為體積內(nèi)的總焦耳損耗功率。于是上式可以改寫成：，式中的為限定體積的閉合面。物理意義：對空間中任意閉合面限定的體積，矢量流入該體積邊界面的流量等于該體積內(nèi)電磁能量的增加率和焦耳損耗功率，它給出了電磁波在空間中的能量守恒和能量轉(zhuǎn)換關(guān)系。坡印廷矢量〔能流矢量〕表示沿能量流動(dòng)方向單位面積上傳過的功率。7、動(dòng)態(tài)矢量磁位和動(dòng)態(tài)標(biāo)量為與電磁場的關(guān)系為：，達(dá)朗貝爾方程〔或稱與的非齊次波動(dòng)方程〕為，正弦平面電磁波正弦電磁場正弦電場、磁場強(qiáng)度的復(fù)數(shù)表示方法〔以電場強(qiáng)度為例〕在直角坐標(biāo)系中，正弦電磁場的電場分量可以寫成：運(yùn)用歐拉公式將其表示成復(fù)數(shù)矢量形式：其中，分別稱為各分量振幅的相量，它的模和相位角都是空間坐標(biāo)的函數(shù)，因此其中，，稱為電場強(qiáng)度復(fù)矢量，它含有各分量的振幅和初相兩大要素。電場強(qiáng)度復(fù)矢量是一個(gè)為簡化正弦場計(jì)算的表示符號(hào)，一般不能用三維空間中一個(gè)矢量來表示，也不能寫成指數(shù)形式。例題1將以下場矢量的瞬時(shí)值改寫為復(fù)數(shù)；將場得復(fù)矢量寫為瞬時(shí)值〔1〕〔2〕解：〔1〕因?yàn)槭桥己瘮?shù)，那么而，故因?yàn)楣省?〕麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式，此方程組沒有時(shí)間因子，注意：式中的場量仍代表復(fù)矢量，標(biāo)量仍代表復(fù)數(shù)。對于正弦電磁場的求解，我們可根據(jù)給出的源寫出其復(fù)矢量和復(fù)數(shù)，然后利用麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式求出場得復(fù)矢量，再由電磁場的復(fù)矢量寫出電磁場的正弦表達(dá)式。例題2在真空中，正弦電磁波的電場分量為，求波的磁場分量解：先將波的電場分量寫出復(fù)矢量，即，將其代入矢量的麥克斯韋方程組：可得：，將代入上式可得，將上式展開取實(shí)部得：正弦場中的坡印廷定理其中為磁場能量密度的平均值，為電場能量密度的平均值。這里場量分別為正弦電場和磁場的幅值。正弦電磁場的坡印廷定理說明：流進(jìn)閉合面內(nèi)的有功功率供閉合面包圍的區(qū)域內(nèi)媒質(zhì)的各種功率損耗；而流進(jìn)〔或流出〕的無功功率代表著電磁波與該區(qū)域功率交換的尺度。亥姆霍茲方程〔正弦電磁場波動(dòng)方程的復(fù)數(shù)形式〕，式中稱為正弦電磁波的波數(shù)。理想介質(zhì)中的均勻平面波〔1〕均勻平面波的波動(dòng)方程及其解平面波是指波陣面為平面的電磁波。均勻平面波是指波的電場和磁場只沿波的傳播方向變化，而在波陣面內(nèi)和的方向、振幅和相位不變的平面波。一般說來，大多數(shù)源輻射的電磁波為球面波。，通常稱為波的相速度?！?〕均勻平面波的傳播特性波在一個(gè)周期中傳播的距離稱為波長，用表示。波長與頻率、相速的關(guān)系為，周期是波在時(shí)間上的重復(fù)量，波長是波在空間上的重復(fù)量。電場與磁場的振幅比為：稱為媒質(zhì)的本征阻抗，在自由空間中，，電場能量密度：，磁場能量密度：，且二者滿足關(guān)系：。結(jié)論：沿方向傳播的均勻平面波，假設(shè)電場在方向，那么磁場在方向，電場與磁場總是相互垂直，并垂直于波的傳播方向，電場、磁場、波的傳播方向三者滿足右手螺旋關(guān)系。電磁波的極化電磁波的極化表征在空間給定點(diǎn)上電場強(qiáng)度矢量的取向隨時(shí)間變化的特性。當(dāng)電場的水平分量與垂直分量相位相同或相差異時(shí)為直線極化；當(dāng)兩分量的振幅相等，但相位差為或時(shí)為圓極化〔圓極化波分為左旋極化波和右旋極化波。如果我們面向電磁波傳去的方向，電場矢量是順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的，這樣極化的波稱右旋極化波。如果電場矢量是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的，這樣的極化的波稱左旋極化波〕；當(dāng)兩分量的振幅和相位均為任意關(guān)系時(shí)為橢圓極化。4、媒質(zhì)的損耗及分類工程上通