2023年河南省十所名校高考數(shù)學(xué)段考試卷（理科）（六）及答案解析

2023年河南省十所名校高考數(shù)學(xué)段考試卷（理科）（六）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合4={一2,—1,0,4,6},B={刈2-2<旬，則ADB=（）

A.{-2,-1,0}B.{-2,-1,4}C.{-1,0,4}D.{-2,—1,0,4}

2.已知復(fù)數(shù)2=符，則￡在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1—Z4

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.在某次演講比賽中，由兩個評委小組（分別為專業(yè)人士（記為小組4）和觀眾代表（記為小組

B））給參賽選手打分，根據(jù)兩個評委小組給同一名選手打分的分值繪制成如圖所示的折線圖，

則下列結(jié)論錯誤的是（）

）分值11n

C---小組A

80-75

70-‘9/'、_芻8—'小組B

..'、6668'、乎

60

55/-n、58

50-

30-36

4...........................................A

0123456789評委序號

A.小組4打分的分值的平均數(shù)為48

B.小組B打分的分值的中位數(shù)為66

C.小組4打分的分值的極差大于小組B打分的分值的極差

D.小組4打分的分值的方差小于小組B打分的分值的方差

4.已知tan。=-3,則sin2。—cos26=（）

A.券B.|C.|D.i7

0

5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（）,t7-2—>|a

A.11+2>/~5

B.15+仁

C.15+2V5正視圖側(cè)視圖

D.16+2/Tr3

俯視圖

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S=()

A.-30B.-20C.-10D.0

7.已知電磁波在空間中自由傳播時的損耗公式為L=32.4+20(，gD+SF),其中。為傳輸

距離(單位：km),F為載波頻率(單位：MHz),L為傳輸損耗(單位：dB).若載波頻率變?yōu)樵?/p>

來的200倍，傳輸損耗增加90dB,則傳輸距離約為原來的參考數(shù)據(jù)：lg2?0.3.()

A.倍B.102.2倍C,10a5倍D.1。2.7倍

8.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(3)=0,若VX1，尤2G(0,+8)且X1*%2滿足

f(Xl)-f(X2)>0,則不等式"x)+2f(T)<0的解集為()

%1一%2X

A.(-00,-3)U(3,+00)B.(-3,0)U(0,3)

C.(-3,0)U(3,+00)D.(-00,-3)U(0,3)

9.將函數(shù)/(x)=sin(2x+6的圖象向右平移,個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)

九(無)=/(x)+|g(x)|的值域?yàn)?)

A.B.[-1,1]C.[-^,1]D.[-<7,<2]

10.已知拋物線C：>2=效的焦點(diǎn)為F,N(2,1),M為拋物線C上位于第一象限的一點(diǎn)，且點(diǎn)

M的橫坐標(biāo)小于2,則AMFN的面積()

A.有最大值|B.有最小值|C.有最大值1D.有最小值1

11.已知雙曲線C：冒一馬=l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)4為C的一條漸近線上的一點(diǎn),

且-~AF=0(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)M為C的左頂點(diǎn)，以AM為直徑的圓與工軸交于不同于點(diǎn)M的

點(diǎn)且4=則C的漸近線方程為()

A.y=±V~2xB.y=±V~~3xC.y=±2%D.y=±y/~~5x

12.已知四棱錐P—/BCD的底面ABC。是矩形，AB1PD,AB=PA=PD,Z.APD=

120。.若四棱錐P-/WCO的外接球的體積為竽，則該球上的點(diǎn)到平面PAB的距離的最大值為

()

A.6B.7C.8D.9

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.己知在平行四邊形4BCD中，點(diǎn)E滿足荏=2而，屁=；荏一,亦，則實(shí)數(shù);1=

14.若(2/一1)(》+專)n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為64,則展開式中爐的系數(shù)為.

15.已知在△力BC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足cosA(b-acosC)=y/~3ccosC—

asinAsinC,b2+a2=c2+6,則△48C的面積為.

16.若存在條直線與函數(shù)/(x)=/,g(x)=/ne/jn>0)的圖象都相切，則當(dāng)n取最大值

時，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,且4Sn=(2n+l)an+2.

(1)求｛冊｝的通項(xiàng)公式；

(2)記%=品，求數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和

18.(本小題12.0分)

如圖，在三棱柱4BC-48道］中，A4BC是邊長為2的等邊三角形，ArCLBC,平面_L

平面力BC.

(1)證明：44=4$；

(2)若E為41cl的中點(diǎn)，直線與平面4BC所成的角為45。，求直線與平面所成的角

的正弦值.

19.（本小題12.0分）

某體育頻道為了解某地電視觀眾對卡塔爾世界杯的收看情況，隨機(jī)抽取了該地200名觀眾進(jìn)

行調(diào)查，下表是根據(jù)所有調(diào)查結(jié)果制作的觀眾日均收看世界杯時間（單位：時）的頻率分布表:

日均收看世界杯時間（時）[0.5,1](1,1.5](1.5,2](2,2.5](2.5,3](3,3,5]

頻率0.10.180.220.250.20.05

如果把日均收看世界杯的時間高于2.5小時的觀眾稱為“足球迷”.

⑴根據(jù)已知條件完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該地的電視觀眾是

否為“足球迷”與性別有關(guān);

非足球迷足球迷合計(jì)

女70

男40

合計(jì)

（2）將樣本的頻率分布當(dāng)作總體的概率分布，現(xiàn)從該地的電視觀眾中隨機(jī)抽取4人，記這4人中

的''足球迷"人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

2

參考公式：代=砌黯篇砌，其中n=a+b+c+d.

參考數(shù)據(jù):

P(K2>ko)0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.（本小題12.0分）

已知橢圓C：3+￡：1（。>b>0）的上頂點(diǎn)為4右頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線4B的距離

為g,A/IOB的面積為2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若過點(diǎn)P(2,0)且不過點(diǎn)Q(3,l)的直線，與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，直線MQ與直線x=4交于

點(diǎn)E,證明：PQ//NE.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=x2lnx+x2.

(1)求/(*)的極值;

(2)若不等式竽>x2+mex在［；,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)ni的取值范圍.

22.(本小題10.0分)

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為仁二葭籌(a為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸

的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為pcos。+2psine-4=0.

(1)設(shè)曲線G與曲線C2交于A,B兩點(diǎn)，求|2B|；

(2)若M,N是曲線G上的兩個動點(diǎn)，且OMJLON,求|0M|?|0N|的取值范圍.

23.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=|x-2|4-\2x+1|.

(I)求不等式f(x)>6的解集；

(11)若/(乃的最小值為如a,b,c為正實(shí)數(shù)，且a+b=|t,證明：索+竽+五

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：由2-2<4,即4-2<22,所以工一2<2,解得x<4,

所以B={x|2z_2<4}={x\x<4},又4={-2,-1,0,4,6),

所以4DB=(-2,-1,0}.

故選：A.

首先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解出指數(shù)不等式，即可求出B,再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.

本題主要考查集合的相等，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閦=邕，則z=*l粉耕=等=2+0=2一，

所以￡在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(2,-1)位于第四象限.

故選：D.

利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z,再結(jié)合共軌復(fù)數(shù)的意義求解作答.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共規(guī)復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

-1

【解析】解：由圖可知，小組4打分的平均數(shù)為?43+47+46+48+50+47+54+50+47)=

48,故A正確；

將小組B打分從小到大排列為36、55、58、62、66、68、68、70、75,所以中位數(shù)為66,故B

正確；

小組4打分的分值的極差為54-43=11,小組B打分的分值的極差為75-36=39,故C錯誤；

小組4打分的分值相對更集中，所以小組4打分的分值的方差小于小組B打分的分值的方差，故。

正確；

故選：C.

根據(jù)平均數(shù)公式判斷4將小組B打分從小到大排列，即可求出中位數(shù)，從而判斷B,求出極差判

斷C,根據(jù)數(shù)據(jù)的分布情況判斷D.

本題主要考查了平均數(shù)、中位數(shù)和極差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：因?yàn)?-3,

2z

所以siM?！猚os20=2sin20—cos202stn0—cos0

sin20+cos20

2tcm2e_i_2X(-3)2-1_17

tan20+l-(_3)2+I-10

故選：D.

利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入計(jì)算可得.

本題主要考查了二倍角公式及同角基本關(guān)系在三角函數(shù)值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：根據(jù)幾何體的三視圖得該幾何體為如圖所示的多面體,

且4E=DF=1,BH=CG=AD=BC=AB=DC=HG=EF=2,

所以EH=GF=J22+(2-1)2=屋,

則其表面積為gx(l+2)x2x2+2x2x2+lx2+2xV-5=16+2口.

故選：D.

根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，從而求出幾何體的表面積.

本題主要考查三視圖，幾何體的表面積的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：由程序框圖知，第一次循環(huán)，判斷SW10不成立，5=40,n=2；

第二次循環(huán)，判斷SW10不成立，5=20,n=3；

第三次循環(huán)，判斷S410不成立，5=10,n=4；

第四次循環(huán)，判斷SS10成立，S=0,n=5；

第五次循環(huán)，判斷S<10成立，S=-10.71=6；

第六次循環(huán)，判斷SS10成立，S=—20,n=7,跳出循環(huán)，輸出S=—20.

故選：B.

根據(jù)給定的程序框圖，依次計(jì)算直到條件被滿足即可作答.

本題主要考查程序框圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：設(shè)原來的傳輸損耗、載波頻率、傳輸距離分別為3F,D,

變化后的傳輸損耗、載波頻率、傳輸距離分別為L',F',D',

則Z/=L+90,F'=200F,

因此90=L'-L=20(lgD'+IgF')-20(lgD+IgF)=20欣+20匈］,

Dr

于是lg4=4.5-1g。=4.5-lg200=4.5-(2+lg2)?2.2,解得與工IO22,

DrU

所以傳輸距離約為原來的1022倍.

故選:B.

設(shè)出變化前后的相關(guān)量，再結(jié)合已知列式，借助對數(shù)運(yùn)算求解作答.

本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閂Xi，x2G(0,+oo)且％］豐不滿足豈乎乎嚨>0,則f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

X1x2

因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(3)=0,則f(-3)=o,/(x)在(一8,0)上單調(diào)遞增，

由f(-x)<0,得W(x)>o,

當(dāng)x>0時，由/(%)>0=f(3),得x>3,當(dāng)x<0時，由/(%)<0=/(—3),得久<一3,

所以原不等式的解集為(—8,-3)U(3,+8).

故選：A.

根據(jù)給定條件，確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性，再變形不等式，利用單調(diào)性分段求解作答.

本題主要考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，屬于中檔題.

9【答案】A

【解析】解：將函數(shù)f(%)=sin(2x+力的圖象向右平移濘單位長度得到g(x)=sin[2(%-令+

自=sin2xf

所以八⑶=/(x)+|g(x)|=sin(2x+，)+\sin2x\=cos2x+\sin2x\f

cos2x+sin2x,kn<xkn

所以h(x)=cos2x+\sin2x\=7r,fcGZ,

cos2x—sin2x,kn-\--<x<n-\-kn

z

{>T~2s\x\(2x+7),fc;r<%<^4-fc/r

2

所以九(%)=\n,fcGZ,

[v2cos(2x+-),/C7T4--<X<7T+/C7T

當(dāng)knWx寸+kn,/c￡Z時，2k7r+gW2x+乎+2"，/cWZ時，

2444

則一三<sin(2x+^)<1?即一1</i(x)<V"2;

當(dāng)kn+^VxVn+kTi,/c￡Z時，2/CTT+等V2%+JV竺+2"，kEZ時，

2444

則一號<cos(2x+》S1，即一1</i(x)W

綜上可得hQ)的值域?yàn)閇—1,Cl.

故選：A.

根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到g(x)的解析式，即可得到h(x)的解析式，再將函數(shù)寫成分段函數(shù),

利用輔助角公式化簡，最后結(jié)合正、余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

10.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意可知拋物線C：y2=軌的焦點(diǎn)FQ0),

則|FN|=C，直線FN的方程為y=%-1,

過點(diǎn)N作N41x軸交拋物線C于點(diǎn)4

則點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為2,

因此點(diǎn)M是拋物線C上在原點(diǎn)。與點(diǎn)4之間的點(diǎn)(不含點(diǎn)0,4),

設(shè)與直線FN平行且與拋物線C相切的直線的方程為y=x+m,

(V=X+TYl

由］2_力消去y得：x2+(2m—4)x4-m2=0,由4=(2m-4)2—4m2=0,解得TH=1,

因此當(dāng)M點(diǎn)為直線y=x+1與拋物線C相切的切點(diǎn)時，M點(diǎn)到直線FN的距離最大，

當(dāng)m=1時，］:二L即M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2),符合題意，此時點(diǎn)M到直線FN的距離為白>=<2,

所以AMFN的面積的最大值為：xCx，N=1,A錯誤，C正確，

顯然點(diǎn)M到直線FN的距離無最小值，即△MFN的面積無最小值，8。錯誤.

故選：C.

根據(jù)給定條件，作出圖形，結(jié)合圖形確定點(diǎn)M的位置，再判斷點(diǎn)M到直線FN的距離情況即可計(jì)算

作答.

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

11.【答案】B

【解析】解：設(shè)雙曲線C的焦距為2c(c>0),如圖，不妨設(shè)點(diǎn)4在雙曲線的漸近線y=5”上,

由函?荏=0，得4FJLO4直線AF的斜率為一*則直線AF：y=—黃萬一c)

(%=4

由解得”一舒即4%，

因?yàn)橐訟M為直徑的圓與x軸交于不同于點(diǎn)M的點(diǎn)B,則4B1MB,

又NMAB=〃OB,于是△M4B-ZM0B,有需=需，^\AB\2=\0B\■\MB\,

又M(—a,0),因此(g)2=合6+a),

化簡整理得c2—ac—2a2=0,

解得c=2a,即b=-\Z-3a，

所以C的漸近線方程為y=+V1x.

故選：B.

求出雙曲線C的漸近線方程，由給定數(shù)量積求出直線4F的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)4的坐標(biāo)，再借助相似

三角形性質(zhì)列式計(jì)算作答.

本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)，考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

12.【答案】C

【解析】解：如圖，在矩形中，連接對角線AC,BD,記4CCB0=F,

則點(diǎn)F為矩形/BCD外接圓圓心,

設(shè)PA=PA=a,在△PAD中，

由余弦定理得：AD2=PA2+PD2-2PD-PAcos^A=a2+a2-2a-a-(-^)=3a2,

AD=Oa>△PAD的外接圓圓心為G,則DP=a,取AD的中點(diǎn)E,PE,EF,

顯然E/7/4B,EF=\AB=yT13,

PELAD,且P,E,G共線，

???ABPD,ABA.AD,ADCPD=D,

.??AB1平面PAD,EF1,平面PAD,PEu平面PAD,

PE1EF,又EFCl4。=E,EF,ADu平面4BCD,

過G作G。1平面PAD,使GO=EF,連接尸0,

于是GO//EF,貝II四邊形EFOG為矩形，

有尸O〃PG,則尸。1平面ABCD,

根據(jù)球的性質(zhì)，得點(diǎn)。為四棱錐P-ABCD外接球的球心，

???四棱錐P-ABCD的外接球的體積為竽，則《兀、「03=竽，

解得P。=5,而4B=2y/~l3,

在Rt△PG。中，PG=a=VPO2-GO2=2/3，

因此△P4B外接圓直徑PB=VAB2+PA2=J(2「衛(wèi)尸+(2AT3)Z=8，

取PB的中點(diǎn)H,連接0”，顯然H為△P4B的外接圓的圓心，則OH平面PAB,

且。"=752-42=3，

??.該球上的點(diǎn)到平面P4B的距離的最大值為8.

故選：C.

根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定，性質(zhì)，結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)探求球心位置，再求出球心

到平面PAB的距離即可.

本題考查空間幾何體的內(nèi)切球與外接球的問題，確定球心是關(guān)鍵，屬中檔題.

13.【答案】1

【解析】解：如圖所示:

則HE=AAC，DE=DA+AE=DA+AAC=-AD+A(AB+AD)=AAB+(A-1)AD=^AB-

3

4-

1

年A--

4

1

九

才-

4

利用向量的四則運(yùn)算化簡求值.

本題主要考查了平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】15

【解析】解：依題意，令x=l,得2n=64,解得n=6,（x+白］展開式的通項(xiàng)為圖+i=

6

。門6-『（堤）『=^x-T,rG/V,r<6，

令6-苒=0,即r=4,得0+三）6展開式的常數(shù)項(xiàng)，令6-4=3,即r=2,得（工+三產(chǎn)展開

式的項(xiàng)，

所以展開式中N的系數(shù)為2盤-Cl=15.

故答案為：15.

根據(jù)給定條件，利用賦值法求出n,再結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)求解作答.

本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】號

【解析】解：vcosA^b—acosC)=yT^ccosC-asinAsinC,

?，?在4ABC中，由正弦定理得cosA(s譏8—sinAcosC)=y/~~3sinCcosC—siM/sinC①，

又在△ABC^B=兀一(力+C),sinC>0,

:.sinB=sin(n+C)=sinAcosC+sinCcosA,

代入①式得si^Ccos2A=\T~3sinCcosC-sin2AsinC9

???sin2A+cos27l=y[~3cosC=1,解得cosC=一，sinC=—，

又b?+a2=c2+6,

則由余弦定理得ab=號si"=含=3/3,

~T~

SA.BC=^absinC=之x3A/-3x=-y—?

故答案為：浮.

由cos4(b—acosC')=y/~3ccosC—as譏AsinC利用正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換可得

cosC=?，代入余弦定理可得ab=3，？，再根據(jù)三角形的面積公式求解，即可得出答案.

本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16.【答案】(0,第

【解析】解：設(shè)公切線與/(x)=短的圖象的切點(diǎn)為(孫婢)，與g0)=mex(m>0)的圖象的切點(diǎn)

為(%2，me*2),

則=3后,。'(%2)=me%

X2X2

對應(yīng)的切線分別為y—xf=3xf(x—%i),y—me=me(%—x2)>

X2X2

即y=3xlx—2xf，y—mex+me(1—x2)?

所產(chǎn)父；=3資易知x-0,小M1，所以3優(yōu)=3,即XL打2—1)，

%22

(-2xf=me(l-x2)if2

則meM=3x區(qū)(無2—DE即=紗營，

乙27e2

設(shè)似乃=如其，則旗x)20,Y(x)=

v7ex鏟

令/i'(x)>0得1VxV3,令"(%)<0得X<1或%>3,

所以/i(x)在(1,3)上單調(diào)遞增，在(-8,1)和(3,+8)上單調(diào)遞減，

所以八(%)族不值=八(1)=0,九(X)極大值=九⑶=去,

又當(dāng)％T+8時無(%)T0,當(dāng)％T-8時%(無)T+CO,

所以九(%)的圖象大致如下所示：

即m€(0,^y).

故答案為：(o,|?).

設(shè)公切線與/'(X)的圖象的切點(diǎn)為(X[,好)，與g(x)的圖象的切點(diǎn)為。2，血/2),求出切線方程，依

題意可得[管；=3后即可得到"m=再令九(幻=絲苴，利用導(dǎo)數(shù)說明函

數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值，從而求出n的最大值，即可求出參數(shù)m的取值范圍.

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)4Sn=(2九+l)an+2①，

當(dāng)n>2時，有4s71T=(2n-l)an_x+2②，

則①-②，得4(^=(2n+l)an-(2n-1)。耳-1，

???(2n-1)冊_1=(2n—3)an,(n>2),

.??郁_2/一1

f

**0n_]2n-3

上…”"x"x…xjxa]③,

1

“an_ian_22n-32n-51

當(dāng)n=1時，4sl=4al=3al+2,解得a1=2,

把%=2代入③式得：an=2(2n—l)(n>2),

當(dāng)ri=1時，an==2x1=2,滿足上式，

???an=2(2n—1),(n6/V+).

(2)由題意得：以=d匕=等”=得,(71€7+)，

則%=by+b2+…+bn=T+卷+…+與J④，

工T=工+與+…+2rt-1⑤

ln

222十/十十2-1

...④一⑤,得:^Tn=|+2(p+p+---+^f)=1+2XpX^-^,---

—1+1*1-砂T2n-l_212n-l

-2+2X~■J稈一/1一產(chǎn)-萍

342n—132zi+3..

=2一歷1—產(chǎn)？=/一產(chǎn)。z(九eN+),

???7；=3-竽5叫).

【解析】(1)由4Sn=(2n+l)an+2可得，當(dāng)n>2時，有4S-1=(2n-l)an_i+2,兩式相減可

得#-=號|,利用累乘法得，an再把n=1代入4Sn=(2n+1)即+2,

得的=2,即可求解;

(2)先把斯=2(2n—1),(幾WN+)代入bn=美方得bn=與則+---與」，再利用

錯位相減法求和得=a+*+…+芳，兩式相減即可得出結(jié)果.

本題主要考查數(shù)列遞推式，數(shù)列的求和，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

18.【答案】證明：⑴如圖，在三棱柱力BC-&B1C1

中，取AC的中點(diǎn)D,連接BD,

因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，則B0J.4C,又BDu平

平面4&GC1平面ABC,平面A4CCn平面ABC=A《--工

AC,則BD1平面MGC,7i以0k

而41cu平面/MQC,于是BD1BC,

BDCBC=B,BCu平面ABC,因此&C_L平面ABC,

2222

又4cu平面ABC,貝iJ^iC1AC,于是441=AXC+AC=VA^+BC=ArB，

所以4通=48.

解：(2)取AB的中點(diǎn)F,連接CF.由(1)得&CJ?平面ABC,

又B[B〃A\A,所以乙4遇C是直線勺8與平面4BC所成的角，即乙4遇C=45。，AVC=AC=2,

由(1)知&C,CF,4B兩兩互相垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線C尸為%軸，

過點(diǎn)C且平行于4B的直線為y軸，直線C4為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,0,0),24(V-3,—1,0))4(0,0,2),(0,2,2),Cx(—>/-3,1,2),2)1

于是福=(-C,3,2)，西=(號弓，°)'西=(0,2,2)，

設(shè)平面的法向量為元=(x“i，zi),貝竺廣°，

即[3丫371+2Z1=°,令亞=<3,Wn=(口-1,3),

(V3%i+3yl=0

設(shè)直線Bi。與平面4B]E所成的角為仇則sin。=|cos(五,CB；)|=/

即直線&C與平面力B】E所成的角的正弦值為譽(yù).

【解析】(1)取4C的中點(diǎn)D，連接BD,利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)判定證明41cl平面

4BC即可推理作答；

(2)由給定的線面角求出&C,再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線面的正弦作答.

本題主要考查了利用空間向量求直線與平面所成的角，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)由頻率分布表可知，“足球迷”對應(yīng)的頻率為0.2+0.05=0.25,

則在抽取的200人中，“足球迷”有200x0.25=50人，

所以2x2列聯(lián)表如下：

非足球迷足球迷合計(jì)

女701080

男8040120

合計(jì)15050200

7

所以*2_200x(70x40-80x10)

K=-150x50x80x120-=學(xué)W11.111>10.828>

所以有99.9%的把握認(rèn)為該地的電視觀眾是否為“足球迷”與性別有關(guān).

(2)由頻率分布表可知，“足球迷”對應(yīng)的頻率為0.25,

所以從該地的電視觀眾中隨機(jī)抽取1人，其為''足球迷”的概率P=；,所以X?8(4,》,

即X的可能取值為0、1、2、3、4,

所以P(X=0)=C°(i)°-(1-1)4=黑,P(X=1)=叩(扔.(1一扔=.

P(X=2)=C泊2.(1-1)2=嶄，p(x=3)=盤(護(hù).(1-l)i=急

P(X=4)=Cf(；)4.(l_5o=*,

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X01234

81272731

P

2566412864256

所以E(X)=4xJ=1.

【解析】(1)由頻率分布表求出“足球迷”對應(yīng)的頻率即可得到樣本中“足球迷”的人數(shù)，從而完

善列聯(lián)表，計(jì)算出卡方，即可判斷；

(2)由(1)從該地的電視觀眾中隨機(jī)抽取1人，其為“足球迷”的概率P=則X?B(4,；),求出相

應(yīng)的概率，從而得到分布列與數(shù)學(xué)期望.

本題考查離散型隨機(jī)變量以及獨(dú)立性檢驗(yàn)思想相關(guān)知識，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)依題意，4(0”)，B(a,0),有|4B|=7(^+爐,

因?yàn)锳AOB的面積為2,貝IJS-OB=；帥=2,

又點(diǎn)。到直線AB的距離為F，則有SMOB=1\AB\x?=滔工法=2,

于是而解得憶胃

所以橢圓C的方程為《+<=1；

o2

證明：(2)直線PQ的斜率kpQ=罷=1，

當(dāng)直線I的斜率不存在時，直線，的方程為x=2,代入橢圓方程得

y=±1-

不妨設(shè)此時M(2,l),N(2,-l),則E(4,l),直線NE的斜率ANE=與等=1=既<?，因此PQ〃NE；

當(dāng)直線1的斜率存在時，設(shè)其方程為y=k(x-2)(fc*1),

設(shè)/V(x2,y2),則直線MQ的方程為y—1=空。-3),令x=4,得E(4,9『),

X]-D%]—3

由-k{x二2；消去y得：(1+4/4)％2一16k2x+16/c2-8=0,由于點(diǎn)P在橢圓C內(nèi),

16"T，J._1="盯」3一乃_:二+勺-4一丫2(勺-3)_

必有4>0,則+%2=~~~21%1%2

1+4必KNE1-4-X21—(4-肛)(％1一3)1

48k2

16/C2-8Q、

(1)(-

k(X]勺-)打—1)[3QI+%2)—無1+4〃----2~^

-2)+4—k(%2—2)(%i—3)—(4-X2(3)(k—￥12-8]1+4/c'=O'

(4-X2)(%I-3)(4一到)(工1-3)(4-Z2)(XI-3)

因此ANE=kpQ=1,即PQ〃NE,

所以PQ〃NE.

【解析】(1)根據(jù)給定條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離、三角形面積列出關(guān)于Q,b的方程組，求解作答；

(2)直線I的斜率存在時，設(shè)出其方程并與橢圓方程聯(lián)立，求出直線MQ的方程，求出點(diǎn)￡的坐標(biāo)，

利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率坐標(biāo)公式求出直線NE的斜率即可判斷，再驗(yàn)證直線/的斜率不存在的情況

作答.

本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

Z

21.【答案】解:(1)函數(shù)/(%)=/2nx+爐的定義域?yàn)?o,+8),X/(x)=2xlnx4-x4-2x=

x(2lnx+3),

令/'(X)<。得0<X<e~2'令/'(x)>。得X>e-2>

所以f(x)在(0,e+)上單調(diào)遞減，在(e+,+8)上單調(diào)遞增，

所以f(x)在久=處取得極小值/(e+)=-暴也無極大值.

(2)由華^>x2+mex^xlnx-x2+x>mex,

即對任意的％GE，+8),m<恒成立,

令九⑴=YuJ+x,XC&+8),則"(%)=(1T)(櫻r+2),

令0(%)="X-%4-2,則“(%)=

所以當(dāng);<x<1時”(%)>0,當(dāng)%>1時伊'(%)<0,

所以亞工)在g1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

又"(})=1—^>0,0(1)=1>0,(p(e2)=4—e2<0,

所以當(dāng)％eg+8)時w(x)在(Le?)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)々J,

所以當(dāng)x￡(51)時9(x)>0,/i'(x)>0,九(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)％￡(1,&)時W(%)>0,九'(%)<0,九(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)%€(&,+8)時0(%)<0,//(%)>0,九(%)單調(diào)遞增,

所以h(x)m譏={h(%),九(；)}，九《)=-e-2-?>

因?yàn)?(Xo)=IMX()—殉+2=0，所以，nx()—X。+1=—1，xo=ex°~2,

EF?l?U/?、_xlnx-xl+x_(lnxo-x+^_-%o_-exo-2_1

所以做與)---o---o函----o--x-o---西--o--一聲一下1一一前'

因?yàn)椤猠-2-：>_e-2,所以八(3>九(&),

所以九(EUm=hOo)=T'

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(一8,一3

【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；

(2)參變分離可得對任意的xG[|,+oo),zn<包裝出恒成立，令h(x)=,xe己,+8),

利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可得解.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.

22.【答案】解：(1)因?yàn)榍?/p>