聚合物的粘彈性行為

PAGE62—PAGE61—第13章聚合物的粘彈性行為13－1對(duì)于麥克斯韋模型，保持初始應(yīng)力為時(shí)的應(yīng)變不變，試證明經(jīng)過時(shí)間t后其應(yīng)力由下式給出：并說明其中的含義。解：麥克斯韋模型的本構(gòu)方程是式中k為彈簧剛度，為粘度，令，得方程分離變量積分得由t=0時(shí)，求得于是或式中是粘度與剛度之比。13－2承受軸向拉伸的橡皮帶，當(dāng)橫截面上應(yīng)力=10MPa時(shí)，其縱向正應(yīng)變?yōu)?.5，然后保持應(yīng)變不變，50天后應(yīng)力減小為5MPa。試計(jì)算若保持同樣應(yīng)變，再經(jīng)過50天后應(yīng)力減少到什么數(shù)值。解：此問題為串聯(lián)模型，適用麥克斯韋模型方程利用上題結(jié)果，求得由題給條件，當(dāng)t=50（天）時(shí)，應(yīng)力由10MPa下降至5MPa。于是有，由此可知因而（MPa），t以天為單位再令t=100（天），可求得（MPa）再經(jīng)過50天（一共經(jīng)過100天），應(yīng)力減小到2.5MPa.13－3對(duì)于開爾文模型，若粘彈性材料的彈性模量為E，則在保持應(yīng)力不變的情形下，經(jīng)過時(shí)間t后，其應(yīng)變值由下式給出：并說明其中的含義。解：開爾文模型的本構(gòu)方程是對(duì)t求導(dǎo)，并令有此乃二階線性齊次常系數(shù)微分方程，其特證方程為對(duì)應(yīng)特征根為，于是通解為利用初始條件，當(dāng)t=0時(shí)，=0（因來不及發(fā)生應(yīng)變）和代入通解有求得，，于是或式中k=E為彈性模量，是粘度與彈性模量之比。13－4圖示線性粘彈性模型，包括一個(gè)剛度系數(shù)為k的彈簧和一個(gè)粘度為的粘性元件，如圖所示。試用拉普拉斯變換方法描述蠕變響應(yīng)，其中應(yīng)力為常數(shù)。解：（常數(shù)）引入拉普拉斯變換導(dǎo)數(shù)變換及變換公式，已知對(duì)上述微分方程引入拉普拉斯變換后有習(xí)題13-4圖由于，于是有習(xí)題13-4圖于是13－5試證明習(xí)題13－4給出的并聯(lián)模型不能用來描述應(yīng)力松弛問題。證：應(yīng)力松弛問題是保持應(yīng)變不變，即，如果仍應(yīng)用習(xí)題13－4的并聯(lián)模型將導(dǎo)致是常數(shù)的結(jié)論，這顯然是不對(duì)的，只有應(yīng)用串聯(lián)模型才能分析應(yīng)力松弛現(xiàn)象。13－6圖示麥克斯韋標(biāo)準(zhǔn)線性固體模型的彈簧剛度系數(shù)分別為k1和k2，粘度為。試證明其本構(gòu)方程為式中，。證：對(duì)于右半部屬于串聯(lián)模型，其應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系為 （1）左半部應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系為（） （2）習(xí)題13-6圖再利用 （3）習(xí)題13-6圖由（3）式，代入（1）式得再將（2）式代入上式得移項(xiàng)得或式中13－7試證明麥克斯韋標(biāo)準(zhǔn)線性固體模型的蠕變?nèi)崃勘磉_(dá)式為式中，。證：蠕變?nèi)崃慷x為由上題已經(jīng)證明應(yīng)變與應(yīng)力關(guān)系為式中討論蠕變問題時(shí)，控制應(yīng)力為常數(shù)，而。于是方程化為此方程的通解是式中利用初始條件t=0時(shí)，且，及給出或代入解中得∴于是求得

第14章材料的非線性粘彈性行為14－1低碳奧氏體合金鍛件在816℃時(shí)的應(yīng)力—變形—時(shí)間關(guān)系試驗(yàn)曲線如圖所示。試求其在應(yīng)力=105MPa時(shí)的最小蠕變率。習(xí)題14-2圖習(xí)題14-1圖習(xí)題14-2圖習(xí)題14-1圖解：查圖14－1可知，當(dāng)固定應(yīng)力為=105MPa時(shí)，應(yīng)變與時(shí)間關(guān)系如下表示（%）0.10.20.51.0t（h）1.5815.85100251（%/h）0.0130.00350.0033可見最小蠕變率14－2176℃時(shí)鋁合金在兩種應(yīng)力水平下的蠕變曲線如圖所示。試求其在應(yīng)力=59MPa時(shí)的最小蠕變率。解：當(dāng)=55MPa時(shí)，當(dāng)=62MPa時(shí)，利用線性插值公式，可求得。當(dāng)應(yīng)力=59MPa的最小蠕變率是14－3奧氏體鋼制連桿750℃下工作，由蠕變?cè)囼?yàn)測(cè)得這種材料在750℃下的數(shù)據(jù)列于表中。假定連桿所承受的軸向載荷F=35kN，在10000h內(nèi)允許的蠕變總應(yīng)變?yōu)?%，并要求安全因數(shù)。試求連桿的橫截面面積。應(yīng)力/MPa最小蠕變率/h-1708×10-510026×10-414025×10-320522753345320解：利用公式其中，，由限制性條件確定。查表知，當(dāng)=70MPa時(shí)，當(dāng)=100MPa時(shí)，利用線性插值易求得，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力MPa于是MPa（mm2）14－4長(zhǎng)l=1m、橫截面面積mm2的拉桿由酰胺塑料制成。假定酰胺塑料的蠕變應(yīng)力—應(yīng)變—時(shí)間關(guān)系可近似地由下式描述：（注：為湊書后答案，此式對(duì)原書已知作了改動(dòng)）其中，和分別為正應(yīng)力和正應(yīng)變，t為時(shí)間，單位為d（天）?，F(xiàn)已知：E=1.7GPa（注：原書為MPa），m2/N，m=1.16，m2/（N·d），n=0.75。若要求拉桿在1年內(nèi)的總伸長(zhǎng)不超過6.94mm，試確定許可軸向載荷。解：剛度條件應(yīng)寫作無量鋼形式如下：式中E=1.7GPa，（1/Pa）（1/MPa），/（MPa·d），n=0.75，m=1.16，若應(yīng)力用MPa作單位，則上式給出或這是一個(gè)關(guān)于的非線性方程（或不等式），利用迭代法可求出其近似值。但考慮到左式的第三項(xiàng)占主要部分，不妨選初始值，使之滿足求得（MPa）簡(jiǎn)單迭代程序?yàn)檫x于是（MPa）（MPa）可取迭代值（MPa）于是求得作用載荷（N）許可軸向載荷[P]=1.37N14－5某種材料的=100MPa下的蠕變率可由下述方程確定：其中，A、B均為材料常數(shù)，T為熱力學(xué)溫度，單位為K。今由試驗(yàn)測(cè)得材料在900K和750K時(shí)的最小蠕變率分別為和。若要求最小蠕變率，試求材料的最高工作溫度。解：由，將T=900、750代入分別得從而求得（K）再將代入上式可求得（K）14－6聚合物的應(yīng)力松馳可由下式描述：其中，A、B均為材料常數(shù)，t為時(shí)間，單位為s，為應(yīng)力，單位為MPa。屬于聚合物的牙科壓痕材料——硫化橡膠，要求其在=14MPa作用下、15s內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變?yōu)?0.02。假定上述方程中MPa，若5h后仍能保持同樣的應(yīng)變，試求所需施加的應(yīng)力值。解：由將=14MPa，t=15s，MPa代入求得常數(shù)（MPa），這時(shí)產(chǎn)生應(yīng)變?yōu)?0.02，當(dāng)然應(yīng)力就會(huì)松馳。若要求t=5（h）=18000（s），產(chǎn)生相同的應(yīng)變，可求得所需施加的應(yīng)力值為（MPa）14－7某種合金的蠕變?cè)囼?yàn)給出的有關(guān)數(shù)據(jù)如下：溫度/℃650675第II階段蠕變量4×10-61.03×10-2時(shí)間t/s1.0×1031.0×106摩爾氣體常數(shù)R/[J/(mol·K)]8.314假定第II階段蠕變率可由描述，試根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定常數(shù)Q和A。習(xí)題14-8解圖解：由表中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)T=923（K）時(shí)，蠕變率可取習(xí)題14-8解圖（1/s）當(dāng)T=948（K）時(shí)，（1/s）代入公式建立兩個(gè)方程解之，得（J/mol）（1/s）14－8長(zhǎng)度l=500m的直桿，上端固定，鉛垂懸掛。桿材料的確定溫度下的蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)如下：應(yīng)力/MPa706356494235蠕變率5.202.481.090.430.150.04材料的密度kg/m3。試求5年內(nèi)桿由于自重引起的蠕變總伸長(zhǎng)量。解：由自重作用引起的桿內(nèi)應(yīng)力知，當(dāng)x=l=500m時(shí)，A端應(yīng)力（最大）為MPa查表知其應(yīng)變率（1/d），經(jīng)過1826（d）后（即5年后）累積應(yīng)變?yōu)閺谋碇袛?shù)據(jù)知與為非線性關(guān)系，從而知應(yīng)變與應(yīng)力也為非線性關(guān)系，不妨設(shè)為利用表中以42MPa為最大值的唯一兩組數(shù)據(jù)來定k1、n之值：由時(shí)，，知，于是，再由=35MPa時(shí)，從而求出n=7.25總的伸長(zhǎng)由，而，于是令，將上述積分化為（m）總伸長(zhǎng)為0.166m。14－9兩端封閉的圓柱薄壁容器由乙二醇塑料制成。已知容器平均直徑D=300mm，壁厚=10mm，容器承受內(nèi)壓作用。乙二醇塑料的蠕變曲線族如圖14－8a所示，相當(dāng)泊松比可取為常量，即=0.4。若規(guī)定容器的環(huán)向應(yīng)變?cè)?年內(nèi)不得超過1%。試求容器所能承受的最大內(nèi)壓p。解：由（s），允許環(huán)向應(yīng)變由軸向應(yīng)力，環(huán)向應(yīng)力，知，設(shè)則由廣義胡克定律有，有利用圖14－8（b）可求得過一年期的割線彈性模量MPa，代入得最大應(yīng)力不超過（MPa）從而求出容器的最大內(nèi)壓（MPa）14－10塑料制成的插座與插頭結(jié)構(gòu)如圖所示。當(dāng)施加在插座一側(cè)臂上的橫向力降低到33N時(shí)，插頭將從插座中滑出。若材料的彈性模量E=3.35GPa，材料在20℃時(shí)的蠕變曲線族如圖14－8a所示。試求：1．插頭第一次插入插座后，插座一側(cè)臂上所受的橫向力；2．插入后需經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間插頭將從插座中