最優(yōu)化問題舉例

3.4生活中的優(yōu)化問題舉例第三章導數(shù)及其應用1精選ppt知識回顧一、如何判斷函數(shù)的單調性？f(x)為增函數(shù)f(x)為減函數(shù)

設函數(shù)y=f(x)在

某個區(qū)間內可導，二、如何求函數(shù)的極值與最值？求函數(shù)極值的一般步驟（1）確定定義域（2）求導數(shù)f’(x)（3）求f’(x)=0的根（4）列表（5）判斷求f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值的步驟：(1)求f(x)在區(qū)間(a,b)內極值；(2)將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b）比較,從而確定函數(shù)的最值。2精選ppt知識背景：生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.通過前面的學習，我們知道，導數(shù)是求函數(shù)最大〔小〕值的有力工具，本節(jié)我們運用導數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題.3精選ppt例1：海報版面尺寸的設計

學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳?，F(xiàn)讓你設計一張如圖3.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128cm2，上、下兩邊各空2cm，左、右兩邊各空1cm，如何設計海報的尺寸，才能使四周空白面積最小？圖3.4-1

分析：已知版心的面積，你能否設計出版心的高，求出版心的寬，從而列出海報四周的面積來？4精選ppt

你還有其他解法嗎？例如用基本不等式行不？因此，x=16是函數(shù)S(x)的極小值，也是最小值點。所以，當版心高為16cm，寬為8cm時，能使四周空白面積最小。5精選ppt2、在實際應用題目中，若函數(shù)f(x)在定義域內只有一個極值點x0

，則不需與端點比較，f(x0)即是所求的最大值或最小值.說明1、設出變量找出函數(shù)關系式；(所說區(qū)間的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間)確定出定義域；所得結果符合問題的實際意義。6精選ppt練習1：將一段長為12cm的鐵絲圍成一個矩形，那么這個矩形面積的最大值為多少？解：結論：周長為定值的矩形中，正方形的面積最大。7精選ppt練習2、一條長為l的鐵絲截成兩段，分別彎成兩個正方形，要使兩個正方形的面積和最小，兩段鐵絲的長度分別是多少？那么兩個正方形面積和為解：設兩段鐵絲的長度分別為x,l-x,其中0<x<l由問題的實際意義可知：8精選ppt問題2:

飲料瓶大小對飲料公司利潤有影響嗎?你是否注意過,市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些?你想從數(shù)學上知道它的道理嗎?是不是飲料瓶越大,飲料公司的利潤越大?9精選ppt規(guī)格（L）21.250.6價格（元）5.14.52.5例2：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產品，假設它們的價格如下表所示，那么〔1〕對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？〔2〕對制造商而言，哪一種的利潤更大？10精選ppt某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造本錢是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，(１)瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？(２〕瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最小？r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+減函數(shù)↘增函數(shù)↗-1.07p∴每瓶飲料的利潤：背景知識解：由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤是11精選ppt當半徑r＞２時，f’(r)>0它表示f(r)單調遞增，即半徑越大，利潤越高；當半徑r＜２時，f’(r)<0它表示f(r)單調遞減，

即半徑越大，利潤越低．1.半徑為２cm時，利潤最小，這時表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的本錢，此時利潤是負值２．半徑為６cm時，利潤最大12精選ppt13精選ppt問題3、磁盤的最大存儲量問題(1)你知道計算機是如何存儲、檢索信息的嗎？(2)你知道磁盤的結構嗎？(3)如何使一個圓環(huán)狀的磁盤存儲盡可能多的信息？14精選pptRr例3：現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于r與R的環(huán)行區(qū)域。是不是r越小，磁盤的存儲量越大？(2)r為多少時，磁盤具有最大存儲量〔最外面的磁道不存儲任何信息〕？15精選ppt解：存儲量=磁道數(shù)×每磁道的比特數(shù)設存儲區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必須大于m，且最外面的磁道不存儲任何信息，所以磁道最多可達又由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大的存儲量，最內一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可到達所以，磁道總存儲量〔1〕它是一個關于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式上可以判斷，不是r越小，磁盤的存儲量越大.16精選ppt(2)為求的最大值，計算令解得因此，當時，磁道具有最大的存儲量，最大存儲量為17精選ppt由上述例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，解決優(yōu)化問題的根本思路是：優(yōu)化問題用函數(shù)表示的數(shù)學問題用導數(shù)解決數(shù)學問題優(yōu)化問題的答案上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的數(shù)學建模過程。18精選ppt練習1：在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？19精選ppt解:設箱底邊長為x,那么箱高h=(60-x)/2.箱子容積V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由題意可知,當x過小(接近0)或過大(接近60)時,箱子的容積很小,因此,16000是最大值.答:當x=40cm時,箱子容積最大,最大容積是16000cm3.20精選ppt練習2:某種圓柱形的飲料罐的容積一定時,如何確定它的高與底半徑,使得所用材料最省?Rh解設圓柱的高為h,底面半徑為R.那么外表積為S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),即h=2R.可以判斷S(R)只有一個極值點,且是最小值點.答罐高與底的直徑相等時,所用材料最省.21精選pptxy練習3如圖,在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成的圖形中有一個內接矩形ABCD,求這個矩形的最大面積.解:設B(x,0)(0<x<2),那么A(x,4x-x2).從而|AB|=4x-x2,|BC|=