2022年江西省九大名校高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（理科）（3月份）（學(xué)生版+解析版）

2022年江西省九大名校高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（理科）（3月份）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）若復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=1-23貝"z|=（）

A..52^2.B.372C.D.VlO

22

2.（5分）拋物線y=o?的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,則非零實(shí)數(shù)〃的值為（）

A.AB.4C.±4D.4-A

4一4

3.（5分）已知集合人={-J^N|xCN}，B={X|?-7X+10W0},則ACB=（）

x+1

A.{x[2<x<5}B.{x[2<xW5}C.{2,5}D.{2,3}

4.（5分）某班有100名學(xué)生，男女人數(shù)不相等.隨機(jī)詢問(wèn)了該班5名男生和5名女生的某

次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)，用莖葉圖記錄如圖所示（）

男生成績(jī)女牛.成績(jī)

4209333

86888

A.該班男生成績(jī)的平均數(shù)等于女生成績(jī)的平均數(shù)

B.這5名男生成績(jī)的中位數(shù)大于這5名女生成績(jī)的中位數(shù)

C.這5名男生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差大于這5名女生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差

D.這種抽樣方法是分層抽樣

3x+y-6》0

5.（5分）設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足<x-y+l>0，則z=|2x+y|的最小值為（）

x-2y-2<0

A.4B.0C.絲D.2

4

6.（5分）在正項(xiàng)等比數(shù)列{“”}中，01=1,前三項(xiàng)的和為7,若存在加*使得百/=4aJ

則上建的最小值為（）

mn

A.2B.3C.D.11

3234

7.（5分）已知/,機(jī)是兩條不同的直線，a,0為兩個(gè)不同的平面，/〃相，則是“a

邛”的（）

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

8.（5分）已知等差數(shù)列僅〃｝,S,是數(shù)列｛“八｝的前〃項(xiàng)和，對(duì)任意的"€N*,均有S6WS”成

立，則1LL的最小值為（）

a8

A.3B.2C.2D.4

22

9.（5分）已知f（x）是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，且當(dāng)0<xW2時(shí)，

x,O《x《l

（

Mx）1<X<2）

A.f（2022）=-1

B.V.tGR均有：f（x）=/（-2-x）

C.函數(shù)y=f（x）的最大值為反

2

D.函數(shù)y=/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（8,0）對(duì)稱

10.（5分）為排查新型冠狀病毒肺炎患者，需要進(jìn)行核酸檢測(cè).現(xiàn)有兩種檢測(cè)方式：（1）

逐份檢測(cè)；（2）,若檢測(cè)結(jié)果為陰性，則這月份核酸全為陰性，如果檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，為

了明確這&份核酸樣本究竟哪幾份為陽(yáng)性，此時(shí)，這k份核酸的檢測(cè)次數(shù)總共為4+1次.假

設(shè)在接受檢測(cè)的核酸樣本中，并且每份樣本是陽(yáng)性的概率都為p（0<pVl）,若％=10（參

考數(shù)據(jù)：/g0.794P-0.1）（）

A.0.1B.0.3C.0.4D.0.5

11.（5分）己知雙曲線C：。與=l（a>0,b>0），其左、右焦點(diǎn)分別為

O）,2（V7,o），點(diǎn)p是雙曲線右支上的一點(diǎn)i五2的內(nèi)心（內(nèi)切圓的圓

心），而二xPF；+yPF,若/尸1尸尸2=60°,y=3x,則△尸尸1尸2的內(nèi)切圓的半徑為（）

A.型1_2B.應(yīng)叵C.絲巨D(zhuǎn).2。

3333

12.（5分）已知實(shí)數(shù)m〃滿足a=log23+k）g86,5"+12。=13”，則下列判斷正確的是（）

A.a>2>bB.b>2>aC.b>a>2D.a>b>2

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）若（xT）n的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為512,則展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)

X

為

14.(5分)已知非零向量a，b滿足la1=2，1=(1,2)，向量ba方向上的投影為2,則

I2a_bI-?

15.(5分)已知函數(shù)f(x);(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，過(guò)點(diǎn)(0,作曲線/(x),則

ex

實(shí)數(shù)h=.

16.(5分)已知三棱錐尸-A8C三條側(cè)棱BA,PB,PC兩兩互相垂直，M,N分別為該三

棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則M.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必做題，

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選做題，考生根據(jù)要求作答.

17.(12分)在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,cV3bsinA=acosB+a.

(1)求角B的值；

(2)若c=8,△ABC的面積為2函，求邊上中線AO的長(zhǎng).

18.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCQ中，底面四邊形A8CQ為菱形，。為邊AB的中點(diǎn).

(I)求證：AE〃平面POC；

(2)若側(cè)面勿B(yǎng)J_底面ABCD,且NABC=NPAB吟，AB=2%=4,求PD與平面POC

所成角的正弦值.

19.(12分)2022年2月4日至2月20日，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在北京和張家口隆

重舉行.北京市各校大學(xué)生爭(zhēng)相出征服務(wù)冬奧會(huì)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)某校在校大學(xué)生有9000人，按

性別用分層抽樣的方法從該校大學(xué)生中抽取9名參加冬奧會(huì)比賽場(chǎng)館服務(wù)培訓(xùn)I,培訓(xùn)分4

天完成，累計(jì)獲2次或2次以上者可獲2022冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”一個(gè).

(1)若從這抽取的9名大學(xué)生中隨機(jī)選出3人服務(wù)“國(guó)家體育館”，求選出的3人中至

少有一位是女生的概率.

(2)設(shè)參加服務(wù)培訓(xùn)的大學(xué)生甲每天獲“優(yōu)秀學(xué)員”獎(jiǎng)勵(lì)的概率均為2,記同學(xué)甲獲得

3

“優(yōu)秀學(xué)員”的次數(shù)為X,試求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(X),試預(yù)測(cè)該同學(xué)甲能否

獲得冬奧會(huì)吉祥物？

20.(12分)如圖，橢圓M：=l(a>b>0)的兩頂點(diǎn)AC-2,0),5(2,0)

過(guò))，軸上的點(diǎn)尸(0,f)(M<4,fWO)的直線/與橢圓交于C,并與x軸交于點(diǎn)尸，直線

4C與直線80交于點(diǎn)Q.

(1)當(dāng)t=2料且C￡>=4時(shí)，求直線/的方程；

(2)當(dāng)點(diǎn)P異于A,B兩點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)。橫坐標(biāo)分別為xp,XQ,是否存在常數(shù)入

使XPXQ=A成立，若存在，求出入的值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)—x!n-mlnx+lr^x(znGR).

(1)當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若對(duì)于任意尤1,X2&［~,e］,都有|f(x,)-f(x)Ke2-2

e1/9

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第

一題記分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程|

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為(支為參數(shù))，以原

Iy=V2sinCl

點(diǎn)。為極點(diǎn)，直線/的極坐標(biāo)方程為Pcos(e-ky)疊.

(1)求曲線c的普通方程與直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)直線/與曲線C交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,0),求

|PA||PBI

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)f(x)=|x+2|+|x-a|.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，解不等式/(x)<5；

(2)若對(duì)VxCR,/(%)23-4恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

2022年江西省九大名校高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（理科）（3月份）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）若復(fù)數(shù)z滿足z（1+/）=1-2i,貝憫=（）

A.B.3V2C.D.A/10

22

【解答】解：(1+z)=1-3i,

：.z(l+i)(1-i)=(8-2z)(1-z),

2.（5分）拋物線y=ax2的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,則非零實(shí)數(shù)a的值為（）

A.AB.4C.±4D.+2

4一4

【解答】解：拋物線a/=y即

a

拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,

可得「17=2旦.

2laI4

故選：D.

3.（5分）已知集合A={_&T￡N|XEN}，B={x\x2-7x+10^0},則ACB=()

x+1

A.{x[2^x<5}B.{R24W5}C.{2,5}D.{2,3}

【解答】解：集合A={—|x€N}={2，2,3,

x+1

B={x*-7x+10<0}={x|64W5},

則An8={2,3}.

故選：D.

4.（5分）某班有100名學(xué)生，男女人數(shù)不相等.隨機(jī)詢問(wèn)了該班5名男生和5名女生的某

次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)，用莖葉圖記錄如圖所示（)

男生成績(jī)女生成績(jī)

4209-333

86888

A.該班男生成績(jī)的平均數(shù)等于女生成績(jī)的平均數(shù)

B.這5名男生成績(jī)的中位數(shù)大于這5名女生成績(jī)的中位數(shù)

C.這5名男生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差大于這5名女生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差

D.這種抽樣方法是分層抽樣

【解答】解：對(duì)于A,這5名男生成績(jī)的平均數(shù)為丁=工，

15

5名女生成績(jī)的平均數(shù)為丁=」X(88+88+93+93+93)=91,；

x55x7x2

對(duì)于8,這5位男生成績(jī)的中位數(shù)是90,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,這7名男生的方差為u2=工?+(88-90)8+(90-90)2+(92-90)2+(94

$15

-90)，=8,si=V^，

5名女生的方差為u6=」義[(88-91)6+(88-91)2+(93-91)2+(93-91)6+(93

S25

-91)2]=6,S7=企，

所以SI>S5,選項(xiàng)C正確;

對(duì)于。，若抽樣方法是分層抽樣，所以分別抽取的人數(shù)不等.

故選：C.

3x+y-6》0

5.（5分）設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足<x-y+l>0，則z=|2x+），|的最小值為（）

x-2y-240

A.4B.0C.aD.2

4

【解答】解：由約束條件作出可行域如圖,

令，=2x+y,化為y=-2x+r,當(dāng)直線y=-7x+r過(guò)A（2,

直線在y軸上的截距最小，r有最小值為4.

...z=|8x+y|的最小值為4.

故選：A.

6.（5分）在正項(xiàng)等比數(shù)列｛a”｝中，0=1,前三項(xiàng)的和為7,若存在信使得百豆=4a『

則工/的最小值為（）

mn

A.2B.3C.旦D.11

3234

【解答】解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛?｝的公比為q（q>0）,

由題意，53=。3+。2+。3=7,又41=1,

所以/+4-6=0,解得4=7或4=-3（舍去），

由粒a=4〃2,得5/2^7X4"一1=4'〃+〃7=]6,所以機(jī)+〃=6,

又加、"6N*,所以工+&=1（/n+n）（5+匹）

mn6mn

=1（5+Z+^lix（5+2、但.如旦,

7mn6Vmn8

當(dāng)且僅當(dāng)2=生，即加=2,

mn

所以3+名的最小值為旦.

mn3

故選：B.

7.（5分）已知/,，"是兩條不同的直線，a,0為兩個(gè)不同的平面，l//m,則“機(jī)，a”是“a

±P"的（）

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【解答】解：由/〃仇/〃機(jī)知機(jī)〃0或，”u0,所以aJ_B；

當(dāng)a_L0時(shí)，直線，"不一定a垂直.

故選：A.

8.（5分）已知等差數(shù)列｛“n｝,S”是數(shù)列｛珈｝的前"項(xiàng)和，對(duì)任意的“6N*,均有S6WS成

立，則1LL的最小值為（）

a8

A.3B.2C."D.4

22

【解答】解：???對(duì)任意的〃6N*,均有S6WS成立，

:?ai<7,J>0,a6=a2+5dW0,

?"6<-5d,

...aiia6+10d=2q3d3d=5

a8a]+7da?+8d-5d+6d2

.?.±LL的最小值為區(qū).

a82

故選：C.

9.(5分)已知f(x)是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，且當(dāng)0<xW2時(shí),

x,Odx《l

f(x)=\,冗x)

l<x<2

sinT

A.f(2022)=-1

B.VxeR均有：f(x)=f(-2-x)

C.函數(shù)(x)的最大值為3

2

D.函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(8,0)對(duì)稱

【解答】解：選項(xiàng)A：f(x)是定義在R上周期為4的函數(shù)，則/(2022)="2)=0；

選項(xiàng)&取x等則，(之)3，，I蔣)=f(得)=f(看)=^"，

則嗚)卉M-2擊，故8錯(cuò)誤;

選項(xiàng)C：當(dāng)0WxW6時(shí)，0W/(x)Wl,8W/(x)<1,

則f(x)在［0,8］上的值域?yàn)椋?,

由/(x)是奇函數(shù)，可知/(x)在［-2,4］,

由f(x)是定義在R上周期為4的函數(shù)，可知/(x)的值域?yàn)椋?1

則/(x)?uix=5t故C錯(cuò)誤;

選項(xiàng)D：f(x)=/(x+16)=-f(-x),則/(-x)+/(x+16)=0,

.V(x)的圖像關(guān)于(8,4)成中心對(duì)稱.

故選：D.

10.(5分)為排查新型冠狀病毒肺炎患者，需要進(jìn)行核酸檢測(cè).現(xiàn)有兩種檢測(cè)方式：(1)

逐份檢測(cè)；(2),若檢測(cè)結(jié)果為陰性，則這&份核酸全為陰性，如果檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，為

了明確這么份核酸樣本究竟哪幾份為陽(yáng)性，此時(shí)，這k份核酸的檢測(cè)次數(shù)總共為k+1次.假

設(shè)在接受檢測(cè)的核酸樣本中，并且每份樣本是陽(yáng)性的概率都為p(O<pVl),若k=10(參

考數(shù)據(jù)：四0.794Q-0.1)()

A.0.1B.0.3C.0.4D.0.5

【解答】解：設(shè)混合檢測(cè)方式，樣本需要檢測(cè)的總次數(shù)丫可能取值為1,

p(r=1)=(7-/?)"),

p(y=11)=i-(i-p)叱

E(D=7X(1-p)IO+11X[1-(4-p)10]=ll-10X(1-p)1°,

設(shè)逐份檢測(cè)，樣本需要檢測(cè)的總次數(shù)X,

若混合檢測(cè)方式優(yōu)于逐份檢測(cè)方式,需E(y)<E(X)10<10,即l-p>100,

Vfe0.794?=-8.1,

.?.1-0>10妒,794=0794,

.\0<p<6,206.

故選：A.

11.(5分)已知雙曲線c：Ai_xi=1(a>0,b>o)，其左、右焦點(diǎn)分別為

F](一正，0),F2(77,0)，點(diǎn)0是雙曲線右支上的一點(diǎn)聲2的內(nèi)心(內(nèi)切圓的圓

心)，而二xPF；+yPF；若/尸1尸尸2=60°,y=3x,則△PFm2的內(nèi)切圓的半徑為()

A.近2B.--屈c(diǎn).4WID.2正

3333

【解答】解：由市=XPF*+yPF；，結(jié)合點(diǎn)/是/為叢PF3F2的內(nèi)心(內(nèi)切圓的圓心)，

可知UxpF；PFj

1O

又有y=3x，.,?IPFJPF'I-又IPF；PF；I=7"呵l=3a,I所，

再根據(jù)NF1PF2=6O°,由余弦定理可得(377)2=(5a)2+/-7?34?acos60°,

解得4=2,則S=>^IPF；PFJsin/F1PF2="|_(|pppp^|+|FiF2I)r內(nèi)

即工X6X8XYI_=3J7)r內(nèi)，解得「內(nèi)=竺巨二返1.

3223

故選：B.

12.（5分）已知實(shí)數(shù)m匕滿足a=log23+log86,5。+12。=13"則下列判斷正確的是（）

A.a>2>bB.b>2>aC.b>a>2D.a>b>2

【解答】解：a=Iog23+log46=log22+-------=log28+，（4+log23）=-----------=

logg833

4

log23+llog232+l

36

由5"+12a=13%a>2,

.\5a+12a>52+122=132,：.h>3.

令x-2=f>0,f（x）=7'+12'-13。x>2等價(jià)于g（t）=25X5'+144X12,-169X13',

t>2,

'：g（f）=25X5'+144X12'-169X13'<169X12'-169X12'=0,t>5,

...當(dāng)x>2時(shí)、f（x）<（f+l2a=l3b<13a,：.a>b.

?\a>b>3,

故選：D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）若（x—g）n的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為512,則展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)為36

X

【解答】解：由（x-S）n的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為512,

X

則6〃=512,

解得：〃=9,

則（x-2_）9的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為（-1）『以/⑷，

xx

令9-6r=1,

解得：r=2,

則展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)為（-4）2緒=36,

故答案為：36.

14.（5分）已知非零向量之，E滿足|Z|=2，（1,2），向量方向上的投影為2，則

I2a-b|=_V5_.

【解答】解：設(shè)非零向量Z，E的夾角為。，

???^=(1,2)，向量荔方向上的投影為8,

***lbl=V5?lb，

I2a-b1=，—2—?—?—?7

6a-4a，b+b

=V4lal^-Slal*|b|wcos0+|b|2

=V5；

故答案為：V7.

15.(5分)已知函數(shù)f(x)*(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，過(guò)點(diǎn)(0,b)作曲線/(x),則

ex

實(shí)數(shù)b=土.

—2~

e

【解答】解：設(shè)切點(diǎn)為(〃力旦)，函數(shù)f(x)二xbx

m''X，xx

eee

可得切線的斜率為上更，

m

e

則切線的方程為旦=生更(X-m),

mm

ee

m(1-m)=m7

由切線過(guò)(0,h)旦

mmm

eee

2

設(shè)g(x),g

XX

ee

當(dāng)0VxV2時(shí),g'(x)>3；當(dāng)xVO或x>2時(shí)，g(x)遞減,

所以g(x)在x=7處極小值，且為0,且為吃，

e

當(dāng)工一+8時(shí)，g(x)-*0,

2

可得時(shí)A，方程

5m

即過(guò)點(diǎn)(0,b)作曲線/(x)的切線有且只有兩條,

故答案沏4-

16.（5分）已知三棱錐P-A8C三條側(cè)棱以，PB,PC兩兩互相垂直，M,N分別為該三

棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則例苴旦_4-.

【解答】解：由已知可將該三棱錐補(bǔ)成正方體，如圖所示］,外接球球心為02,

內(nèi)切球與平面ABC的切點(diǎn)為G,

易知。8,02,G三點(diǎn)均在PD\上，且PD8_L平面ABC,

設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,外接球的半徑為/?Ax732+45+42=-

由等體積法可得』（SAACP+S^ABP+S&ACP+S^ABC）r—^S^ABP,PC,

43

得r=4-2巨

4

由等體積法可得入PG=3-S^ABP'PC,

33

得PG=全應(yīng)，

3__

M,N兩點(diǎn)間的距離的最小值為PG-2廠=生③?近）=2巨.

333

故答案為：當(dāng)巨-5.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必做題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選做題，考生根據(jù)要求作答.

17.（12分）在aABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c百bsinA=acosB+a.

（1）求角B的值：

（2）若c=8,△ABC的面積為20\行，求BC邊上中線A。的長(zhǎng).

【解答】解（1）由正弦定理得V^sinBsinA=sinAcosB+sinAAe（0,

.1.V3sinB=cosB+l>則sin（B不）哈

62

jr

VBG（0,TC）,???R=--,

4

⑵?'S^"acsinB=2oV5,c=8,

由余弦定理人口2入7+令）2總a。

得AD2=49,

：.AD=5.

18.（12分）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面四邊形48C。為菱形，。為邊AB的中點(diǎn).

（1）求證：AE〃平面POC；

（2）若側(cè)面出3,底面ABCD,且NABC=NPAB吟，48=2朋=4,求PD與平面POC

所成角的正弦值.

【解答】（1）證明：取線段PC的中點(diǎn)F,連。凡

在△A?￡）中，E,尸分別為PC,...《/〃。。且岳卜,,。

又?.?底面ABCO是菱形，且O為AB的中點(diǎn)AO^CD，

.'.AO//EFS.AO^EF,：.四邊形AOFE為平行四邊形，

又「OFU平面尸。C,AEU平面尸OC,

.?.AE〃平面尸。C.........................（6分）

p

E

(2)在平面P84內(nèi)過(guò)點(diǎn)O作Oz_LA8,由已知可證得OCLAB且OzJ_平面48cO,

故分別以08、OC,y,z軸建立空間坐標(biāo)系。-xyz,

則P(-2,0,V3),C(3,2百，5),D(4,2?,0),

設(shè)平面POC的一個(gè)法向量1=(x,y,可得,上二^^產(chǎn)。?=(3,0,?)，

n?PC=x+2y-V3z=0

PD=(-5,2V3,

設(shè)直線PO與平面POC所成的角為0,則sin8=Icos<n,PD>I==企,

Icos、n，阮寫(xiě)2

所以直線產(chǎn)。與平面POC所成角的正弦值為退■.............(12分)

2

19.(12分)2022年2月4日至2月20日，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在北京和張家口隆

重舉行.北京市各校大學(xué)生爭(zhēng)相出征服務(wù)冬奧會(huì)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)某校在校大學(xué)生有9000人，按

性別用分層抽樣的方法從該校大學(xué)生中抽取9名參加冬奧會(huì)比賽場(chǎng)館服務(wù)培訓(xùn)I,培訓(xùn)分4

天完成，累計(jì)獲2次或2次以上者可獲2022冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”一個(gè).

(1)若從這抽取的9名大學(xué)生中隨機(jī)選出3人服務(wù)“國(guó)家體育館”，求選出的3人中至

少有一位是女生的概率.

(2)設(shè)參加服務(wù)培訓(xùn)的大學(xué)生甲每天獲“優(yōu)秀學(xué)員”獎(jiǎng)勵(lì)的概率均為2,記同學(xué)甲獲得

3

“優(yōu)秀學(xué)員”的次數(shù)為X,試求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(X),試預(yù)測(cè)該同學(xué)甲能否

獲得冬奧會(huì)吉祥物？

【解答】解：(1)由題可知，抽取的9名大學(xué)生中，3名女生，

c6

則選出的8名學(xué)生中至少有一名女生的概率P=1--=￥?.

21

(2)由題可知X所有可能取值為6,1,2,7,4,

P(X=0)=C；(f)44，P(X=4)=c；1電3哈，

P(X=8)=C4(y)2(1-)2m,P(X=6)=C：C!)3*=1|

P(X=4)=C^(f)4=||-

所以x的分布列：

X04233

P18243216

比皿■§1

所以E（X）=〃p=3xZq_>2.

33

20.（12分）如圖，橢圓M：與+^■=l（a>b>0）的兩頂點(diǎn)A（-2,0）,8（2,0）e岑?，

過(guò)y軸上的點(diǎn)尸（0,f）（|/|<4,r^O）的直線/與橢圓交于C,并與尤軸交于點(diǎn)P,直線

AC與直線交于點(diǎn)Q.

（1）當(dāng)七=蓊且C￡）=4時(shí)，求直線/的方程；

（2）當(dāng)點(diǎn)P異于A,8兩點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)。橫坐標(biāo)分別為XP,XQ,是否存在常數(shù)入

使切網(wǎng)=入成立，若存在，求出入的值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

【解答】解：（1）?.?橢圓的方程2片=i（a>b>2），由題可得匕=2;

由qX?,結(jié)合得。=4,

6a5

28

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，上=1；...........（7分）

164

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，CD=8,

故設(shè)直線/的方程為了=1^+2遙，代入橢圓方程yW=16,

整理得（k2+4）x5+4V3kx-3=0'設(shè)C（xi,泗），D（必”），x己+x2二一4^^卜

3'k2+4

-4

解得k二士我.

直線/的方程為&x-y+2也=0或&x^-8%=0.............（2分）

（2）當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/與y軸重合，

由橢圓的對(duì)稱性可知直線AC與直線BD平行，不符合題意；

，由題意可設(shè)直線的方程：（機(jī)#0,〃#0）代入橢圓方程,

得（2+4加2）/4+8”〃），+4/-16=0；設(shè)。（xby5）,D（必”）,

-8mn4n3-16-2-n2

①

丫5+丫2二°6+了2)'

直線AC的方程為yJ^（x+2），②

x2+2

則直線BD的方程為y^—

(x-7)③（9分）

x2-2

由②?得x-2'(X2-5)_yi(my2+n-6)二吧至巫宜，

x+6y2(xj+2)y2(myj+n+6)my1y7+y2(n+2)

由①代入，(2-n)[(n+4)y2+(2-n)y8]

x+2(2+n)[(n+2)y2+(2-n)yj](2+n)

解得hi即Xc2；且知XP=〃；xzxc=nX*=4(常數(shù))

xnXQ門(mén)xpXQn入n,

即點(diǎn)P與點(diǎn)。橫坐標(biāo)之積為定值8.故存在常數(shù)入=4............(12分)

21.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=x!n-mlnx+ln^x(mWR).

(1)當(dāng)初=-1時(shí)，討論/(x)的單調(diào)性；

2

(2)若對(duì)于任意加，X26[A,e],都有|f(Xl)-f(x9)|e-2

[5

【解答】解：(1)當(dāng)m=-1時(shí)，/(x)=x+lnx+lnxff，(x)=(一—-jA)+2lnx,

2

xxx

當(dāng)在(0,4)時(shí)，一L總<o,f(x)<0；

「x

當(dāng)xe(4,+8)時(shí)，一L送〉o,f(x)>0；

x2x

所以/(x)在(2,1)上單調(diào)遞減，+8)上單調(diào)遞增.

(2)因?yàn)椤?x)=mxmT』+^^Jlx111-。

XXXX

①當(dāng)〃2=7時(shí)，/(x)—1+/M2X,所以f，(x)=‘lnx_

X

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，所以f(x)在(5；

當(dāng)x6(1,+8)時(shí)，所以/(x)在(1；

②當(dāng)機(jī)>7時(shí)，/在(0,+8)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(0,3)時(shí)，如>o,/<1，21n^<；0，則/(x)<0,

XX

所以/(X)在(4,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(1,+°°)時(shí)，典>2，vM>1>..〉W則/(X)>o,

XX

所以/(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增；

③當(dāng)機(jī)<5時(shí)，V"在(0,+8)單調(diào)遞減，

當(dāng)在(0,3)時(shí)，典<0,0>1，圖些<o，則/(x)<0,6)上單調(diào)遞減；

XX

21nx

當(dāng)xe(1,+8)時(shí)，典<0,一<2,>0,則/(尤)>5,+8)上單調(diào)遞增，

XX

綜上，/(X)在(0,在(1,

所以『(X)min=f(1)=4且f(x)在［工，1］上單調(diào)遞減，e］上單調(diào)遞增，