等比數(shù)列的性質(zhì) 市賽獲獎

第2課時等比數(shù)列的性質(zhì)1.理解并掌握等比數(shù)列的性質(zhì)及其初步應(yīng)用；2.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)觀察、類比、猜測等推理方法，提高學(xué)生分析、綜合、抽象、概括等邏輯思維能力．重點：等比數(shù)列的性質(zhì)．

難點：等比數(shù)列性質(zhì)的初步應(yīng)用．

定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示.如果一個數(shù)列是等比數(shù)列，它的公比是q，那么…，…，由此可知，等比數(shù)列的通項公式為(1)1，2，4，8，16，…觀察數(shù)列(3)4，4，4，4，4，4，4，…(4)1，-1，1，-1，1，-1，1，…公比q=2公比q=公比q=1公比q=-1以上4個數(shù)列的公比分別為：通過圖象觀察性質(zhì)等比數(shù)列的圖象1數(shù)列：1，2，4，8，16，…1234567891024681012141618200●●●●●遞增數(shù)列等比數(shù)列的圖象2123456789100數(shù)列：●●●●●●●12345678910遞減數(shù)列等比數(shù)列的圖象31234567891024681012141618200數(shù)列：4，4，4，4，4，4，4，…●●●●●●●●●●常數(shù)列等比數(shù)列的圖象412345678910012345678910●●●●●●●●●●數(shù)列：1，-1，1，-1，1，-1，1，擺動數(shù)列類比等差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列有哪些性質(zhì)呢？an-an-1=d（n≥2）

等差數(shù)列

等比數(shù)列

常數(shù)減—除加—乘加-乘乘—乘方迭加法迭乘法等比數(shù)列用“比”代替了等差數(shù)列中的“差”定義數(shù)學(xué)表達式通項公式證明通項公式由等差數(shù)列的性質(zhì)，猜想等比數(shù)列的性質(zhì){an}是公差為d的等差數(shù)列{bn}是公比為q的等比數(shù)列性質(zhì)１：

an=am+(n-m)d性質(zhì)２：若an-k,an,an+k是{an}中的三項，則2an=an+k+an-k

猜想2：性質(zhì)３：

若n+m=p+q則am+an=ap+aq猜想1：

若bn-k,bn,bn+k

是{bn}中的三項則猜想3：若n·m=p·q則bn·bm=bp·bq性質(zhì)４：從原數(shù)列中取出偶數(shù)項組成的新數(shù)列公差為2d.(可推廣)性質(zhì)５:若{cn}是公差為d′的等差數(shù)列，則數(shù)列{an+cn}是公差為d+d′的等差數(shù)列.猜想５：若{dn}是公比為q′的等比數(shù)列,則數(shù)列{bn?dn}是公比為q·q′的等比數(shù)列.猜想４：從原數(shù)列中取出偶數(shù)項，組成的新數(shù)列公比為(可推廣)若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,則當(dāng)q>1,a1>0或0<q<1,a1<0時,{an}是遞增數(shù)列;

當(dāng)q>1,a1<0或0<q<1,a1>0時,{an}是遞減數(shù)列;

當(dāng)q=1時,{an}是常數(shù)列;

當(dāng)q<0時,{an}是擺動數(shù)列;(2)an≠0,且anan+2>0.(3)an=amqn-m(n,m∈N*).(4)當(dāng)n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)時,有anam=apaq.(5)當(dāng){an}是有窮數(shù)列時,與首末兩項等距離的兩項的積都相等,且等于首末兩項的積.(7)若{bn}是公比為q′的等比數(shù)列,則數(shù)列{an?bn}是公比為qq′的等比數(shù)列.(6)數(shù)列{λan}(λ為不等于零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列.(9)在{an}中,每隔k(k∈N*)項取出一項,按原來順序排列,所得的新數(shù)列仍為等比數(shù)列,且公比為qk+1.(10)當(dāng)m、n、p(m、n、p∈N*)成等差數(shù)列時，am,an,ap成等比數(shù)列。(8)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.例：已知{an},{bn}是項數(shù)相同的等比數(shù)列，求證{an?bn}是等比數(shù)列.證明：設(shè)數(shù)列{an}的首項是a1，公比為q1;{bn}的首項為b1，公比為q2，那么數(shù)列{an?bn}的第n項與第n+1項分別為：它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以{an?bn}是一個以q1q2為公比的等比數(shù)列.-1458630480或-30⒈在等比數(shù)列{an}中，a2=-2,a5=54，a8=

.⒉在等比數(shù)列{an}中，an＞0，a2

a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5=_

.⒊在等比數(shù)列{an}中，a15

=10,a45=90,則a30

=__________.⒋在等比數(shù)列{an}中，a1+a2=30,a3+a4=120,則a5+a6=_____.5.的等比中項是___________.6.如果三角形的三邊成等比數(shù)列，則公比q的取值范圍是___________________.7.已知正數(shù)等比數(shù)列中，8.設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，且則對所有的自然數(shù)n都成立，則公比q=___________.證明或判斷一個數(shù)列為等比數(shù)列的方法:(1)an/an-1=q(n2且q≠0){an}為等比數(shù)列.(適用于選擇、填空題和解答題)(2)an=cqn(c,q≠0){an}為等比數(shù)列.(適用于選擇、填空題)(3)a2n+1=anan+2{an}為等比數(shù)列.(適用于選擇、填空題)等比數(shù)列的性質(zhì):1、an=amqn-m2、若m+n=p+q，則aman=apaq3、等比數(shù)列中，每隔