2023年江西省高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（文科）及答案解析

2023年江西省高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷(文科)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.設(shè)集合4={x|%2-2%-3>0},B={x|x+3<0},則4nB=()

A.(-00,-3)B.(-1,3)C.(-3,-1)D.(3,+口)

2.若復(fù)數(shù)z滿足(2+i)z=4+i,其中i為虛數(shù)單位，則z的共軌復(fù)數(shù)的虛部是()

A.|B.-|C.|iD.-|i

(x—+2>0

3.若實(shí)數(shù)x,丫滿足約束條件,％+，一4式0,貝舊=3x+y的最大值是()

lx-2y-4<0

A.-16B.4C.12D.16

4.已知log5a>logs。，則下列不等式一定成立的是()

ab

A.y/~a<\T_bB.log5(a-fe)>0C.5->1D.ac>be

5.設(shè)xeR,貝“|2x—l|Wx"是''尤2+x—240”的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知又是數(shù)列{即}的前n項(xiàng)和，且滿足首項(xiàng)為1,an+1=4Sn+1,則。2023=()

20212022

A.4x5202iB,5C.4X52022D,5

7.已知定義在R上的偶函數(shù)/(%)滿足f(x-4)=-/(x),且當(dāng)％G［0,2)時(shí)，/(x)=2X-1,

則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.f(5)=-1

B.函數(shù)/Xx)關(guān)于直線x=4對(duì)稱

C.函數(shù)/"(x+2)是偶函數(shù)

D.關(guān)于x的方程f(x)-2=0在區(qū)間［-2,2］上所有根的和為0

8.將函數(shù)y=cosx?cos(x+斜的圖像沿x軸向左平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的函數(shù)圖

像關(guān)于y軸對(duì)稱，貝!la的最小值為()

A57rr*77r「llzr、137r

9.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

10.定義：圓錐曲線C；盤+，=1的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)Q的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓

心，KT窗為半徑的圓，這個(gè)圓稱為蒙日?qǐng)A.已知橢圓c的方程為《+[=1,P是直線八

54

x+2y-3=0上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線與橢圓相切于M、N兩點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，

連接。P,當(dāng)4MPN為直角時(shí)，則k°p=（）

A.—.或gB.系或0C.一看或當(dāng)D.一或0

11.在三棱錐P-4BC中，已知P4=BC=2C^,4C=BP=dCP=AB=d，則

三棱錐P-ABC外接球的表面積為（）

A.777rB.647rC.108TTD.727r

12.定義在區(qū)間（一]《）上的可導(dǎo)函數(shù)/Xx）關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)x6（0,今時(shí)，r（x）cosx>

/（x）sin（-x）恒成立，則不等式-/"：：）>0的解集為（）

A.（一今幣B.（^,|）C.G，?）D.（0,今

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.某高三年級(jí)一共有800人，要從中隨機(jī)抽取50人參加社團(tuán)比賽，按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行

等距抽取.將全體學(xué)生進(jìn)行編號(hào)分別為1-800,并按編號(hào)分成50組，若第3組抽取的編號(hào)為36,

則第16組抽取的編號(hào)為.

14.已知兩個(gè)向量2萬,|五|=2,0|=1,五+3=（2,「），則當(dāng)|五+取得最小值時(shí)，

15.已知某公交車7：25發(fā)車，為了趕上該公交車小張每次都是在7：20?7：25之間到達(dá)公

交站臺(tái)，則他連續(xù)兩天提前到公交站臺(tái)等待累計(jì)時(shí)長(zhǎng)超過3分鐘的概率為.

16.已知拋物線C：y2=2px過點(diǎn)E（4,4）,直線%x=+n與拋物線C交于4,B兩點(diǎn)（不

同于點(diǎn)E）,則拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為；若點(diǎn)。（n,0）,|4D|?\DB\=64,則n=

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題12.0分）

如圖是某市2016年至2022年農(nóng)村居民人均可支配收入y（單位：萬元）的折線圖.

（1）根據(jù)圖表的折線圖數(shù)據(jù)，計(jì)算y與t的相關(guān)系數(shù)r,并判斷y與t是否具有較高的線性相關(guān)程

度（若0.30W|r|<0.75,則線性相關(guān)程度一般，若|r|20.75,則線性相關(guān)程度較高，7?精確

到0.01）；

（2）是否可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，若可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，求出

y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,并預(yù)測(cè)到哪年該市農(nóng)村居民人均可支配收入超過2萬元,

若不可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)說明理由.

（參考數(shù)據(jù)：￡憶1%=9.73￡=遇%=41.72,J添式％-彳?0.55,Q72.646參考公式:

相關(guān)系數(shù)「一/“-51”與一|■,-21專在回歸方程y=a+bt中，

JJ4=i(y[y)J第汨-ntJ

斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為：b=%（普了）=='"）

注：年份代碼廠7分別對(duì)應(yīng)2016年-2022年

18.(本小題12.0分)

在△ABC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cos(B-C)cos4+cos24=1+

cosAcos(B+C).

(1)若8=C,求cos4的值；

(2)求學(xué)的值.

aL

19.（本小題12.0分）

如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面四邊形4BCD的邊長(zhǎng)均為2,且4BAD=60。，PD1DC,

PBLAC,棱PD的中點(diǎn)為M.

(1)求證：PD1■平面力BCD；

(2)若4PDB的面積是2門，求點(diǎn)P到平面BCM的距離.

20.(本小題12.0分)

已知雙曲線C：圣一*l(a>0,b>0),若直線(與雙曲線。交于4,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)

為M,且該B-k0M=京。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)求雙曲線C的離心率；

(2)若直線，不經(jīng)過雙曲線C的右頂點(diǎn)N(2,0),且以4B為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)N,證明直線I恒過定

點(diǎn)E,并求出點(diǎn)E的坐標(biāo).

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=yx2+(m-l)x-l(mG/?).

(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,2］上的最大值；

(2)若m為整數(shù)，且關(guān)于x的不等式/(%)>bix恒成立，求整數(shù)m的最小值.

22.(本小題10.0分)

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為匕：：：震'。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的

(y—ctSurtL

正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線血極坐標(biāo)方程為PCOS(。*)+m=0(meR).

(1)寫出直線，的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線1與曲線C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

23.(本小題12.0分)

已知Q>0,Z?>0,且3。(墳—1)=b(i-。2),證明：

(l)i+|=d+3fo;

k7ab

3113,_

(2)成房+3a2b2>2AT3-

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：由題意，得4={x|x<—1或x>3},B=(x\x<-3},

所以ACB={x\x<-3}.

故選:A.

解一元二次不等式求集合4解一元一次不等式求集合B,應(yīng)用集合交運(yùn)算求AC8.

本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：因?yàn)?2+i)z=4+i,

所以z—世—(4+0(2T)_8-4i+2-2_9-2i_9_2

川入Z—2+i-(2+t)(2T)一5一5一55”

所以W="|i,則Z的共軌復(fù)數(shù)￡的虛部為|.

故選：A.

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,從而得共軌復(fù)數(shù)，即可得共輒復(fù)數(shù)的虛部.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共聊復(fù)數(shù)的定義，虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域是以8(-4,-4),4(0,4),

C(4,0)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包含邊界)，

由圖易得當(dāng)直線z=3x+y即y=-3x+z經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)C(4,0)時(shí)，z=3無+y取得最大值,

zmax=3x4+0=12.

故選：C.

畫出不等式表示的平面區(qū)域可知當(dāng)直線z=3x+y經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(4,0)時(shí)，z=3x+y取得最

大值，求解即可.

本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：由log5a>log5b可知a>b>0，

所以所以A錯(cuò)誤；

因?yàn)閍-b>0,但無法判定a-b與1的大小，所以B錯(cuò)誤；

當(dāng)cWO時(shí)，acWbc,故。錯(cuò)誤；

因?yàn)閍-b>0,所以5。-〃>5°=1,故C正確.

故選：C.

由logs。>logsb可得a>b>0,然后對(duì)選項(xiàng)一一分析即可得出答案.

本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)比較大小問題，屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解:^\2x-l\<x,得償二；二或匕AW}/解得*XS1,

由/+x-2<0,解得一2<x<1,

當(dāng)gwxMl時(shí)，-2SxWl一定成立，反之，不一定成立，

所以“|2x—l|Wx”是“/+尤一230"的充分不必要條件.

故選：A.

解不等式，再判斷“|2x-l|4x”和“/+》一2勺0”之間的邏輯推理關(guān)系，可得答案.

本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：,：an+i=4sti+1①，

當(dāng)九22時(shí)，an=4Sn-1+1(2))

[由①—②)得由i+i—a“=4un?即an+i=5cin,

當(dāng)n=1時(shí)，a2=4sl+1=4al+1=5,

又。2=5%也滿足上式，則數(shù)列｛。工是首項(xiàng)為1,公比為5的等比數(shù)列，

a?=1x5“T=5n*

.c_《2023-1一E2022

,,u2023-3一O?

故選：D.

由已知可得當(dāng)n>2時(shí)，即+i=4Sn+1,an=4Sn_t+1,兩式相減可得即+i=5an,可求出an=

5f即可得出答案.

本題考查數(shù)列的遞推式，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

7.【答案】C

【解析】解：取x=-1,得/(-1-4)=-/(-I)=-/(I)=-(2-

…，\J/

所以f(5)=f(—5)=—1,故A正確；\L/

因?yàn)?(尤-4)=-/(X),則“X+4)=-/(X),BP/(x+4)=/(x-4),

又由f(%)為偶函數(shù)/(%—4)=/(4一%),BP/(x+4)=/(4-%),-?[

所以函數(shù)/Xx)關(guān)于直線％=4對(duì)稱，故8正確；

令9。)=f(x+2),則g(—%)=/(-%+2)=f(x-2)=f(x+2-4)=-/(%+2)=-g(%),

所以g(x)為奇函數(shù)，即函數(shù)2)是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?(X)為偶函數(shù)，畫出函數(shù)［一2,2］的圖象可知，方程所有根的和為0,故。正確?

故選：C.

由/'(x-4)=一/Q),取x=-l可判斷4；由/'(x)為偶函數(shù)結(jié)合f(x-4)=一/Q)可判斷8；令

g(x)=f(x+2),驗(yàn)證g(x)與g(-x)的關(guān)系可判斷C；畫出/(x)在區(qū)間［-2,2］上的圖象可判斷。.

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性的判斷及應(yīng)用，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：y=cosx-cos(x+7)=cosx■(草cosx—^sinx)=^cos2x—^cosxsinx>

62222

y=孕+4cos(2x+力，將y=中+；cos(2x+5的圖像沿x軸向左平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，

426426

得y=卒+。cos(2x+2a+g)關(guān)于y軸對(duì)稱，

426

所以2a+*=kn,kEZ即Q=-^^-^kn,kGZ,

所以當(dāng)々=1時(shí)，a取最小值含

故選：A.

先將函數(shù)y=COSX-cos(x+弓)化簡(jiǎn)為y=1+；cos(2x+》，沿x軸向左平移后關(guān)于y軸對(duì)稱，則

a=-y^+1fc7T,/ceZ,a取最小值即可.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

9.【答案】D

【解析】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是同底的兩個(gè)四棱錐，4Q0P是邊長(zhǎng)為2的正方形,

ABCD是矩形，且與底面垂直，如圖所示：

該幾何體的體積U=gx2<7X1x/7x2

8

=3,

故選：D.

由己知中的三視圖可得：該幾何體是同底的兩個(gè)四棱錐，AQDP是邊長(zhǎng)為

2的正方形，ABCD是矩形，且與底面垂直，如圖所示.

本題考查了四棱錐的三視圖、體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

10.【答案】D

【解析】解：根據(jù)蒙日?qǐng)A定義，圓。方程為/+y2=a2+b2=9,

x+2y-3=0

因?yàn)橹本€I與圓。交于4、8兩點(diǎn)，聯(lián)立

,x2+y2=9

n=一

即點(diǎn)A(—卷,當(dāng))、8(3,0),

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)4或B重合時(shí)，NMPN為直角，且％=-子=一$k0B=0,

故選：D.

求出蒙日?qǐng)A的方程，求出直線I與蒙日?qǐng)A的交點(diǎn)4、B的坐標(biāo)，求出直線。力、OB的斜率，分析可知

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)4、B重合時(shí)，4MPN為直角，即可得出k°p的值.

本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

11.【答案】4

【解析】解：因?yàn)槿忮F的對(duì)棱相等，所以可以把它看成長(zhǎng)方體的面對(duì)角線，

設(shè)長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,且長(zhǎng)方體的面對(duì)角線長(zhǎng)為2，13,V41761,

則，a2+爐=2V13,Vc2+b2=V41,Va2+c2=V61>

長(zhǎng)方體體對(duì)角線為長(zhǎng)方體外接球直徑，即為三棱錐外接球的直徑，

2R=d=Va2+b2+c2=J(52+61+41)=777>它外接球半徑等于

所以球的表面積為4兀R2=777T.

故選：A.

因?yàn)槿忮F的對(duì)棱相等，所以可以把它看成長(zhǎng)方體的面對(duì)角線長(zhǎng)，根據(jù)長(zhǎng)方體外接球直徑是體對(duì)

角線求解即可.

本題考查三棱錐外接球的表面積計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】C

【解析】解:因?yàn)?'(x)cosx>/'(x)sin(-x),化簡(jiǎn)得((%)cosx+/(x)smx>0,

構(gòu)造函數(shù)FQ)=段/⑺=嗎

即當(dāng)X6(0,合時(shí)，F(xiàn)'(%)>0,即X)單調(diào)遞增,

所以由f(x)—92>0=八%)>魚2n3>受2，

)、‘tanx'、'tanxcosxstnx

|j)||/W>/(\T)

、」cos(x)cos(^-x)?

即尸⑴>%一X).因?yàn)槭藶榕己瘮?shù)且在XG(0,今上單調(diào)遞增,

n.7T

-2<X<2

所以《解得xe?,今

故選：C.

構(gòu)造函數(shù)?。)=酸，對(duì)F(x)求導(dǎo)，可知當(dāng)xe(o[)時(shí)，“X)單調(diào)遞增，由〃%)_遣2>0可得

COSX'八'tanx

軍>尊3,即F(X)>FG-X),然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得不等式，解不等式即可得出答案.

cos(x)COS(2~X)2

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的恒成立問題，考查構(gòu)造函數(shù)思想以及運(yùn)算求解

能力，屬于中檔題.

13.【答案】244

【解析】解：800人一共分成50組，每組16人，所以組距為16,

系統(tǒng)抽樣可以看成是一個(gè)組距為16的等差數(shù)列，由第三組。3=36,得的6=03+13x16=36+

208=244.

故答案為：244.

根據(jù)系統(tǒng)抽樣編號(hào)成等差數(shù)列求解即可.

本題主要考查系統(tǒng)抽樣方法，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】-1

【解析】解：由題意可得|祝+3|=\a\2+\b\2+2a-b=<7>則五不=1，

所以|萬+mb|=/|a|2+m2|b\2+2ma-b=Vm2+2m+4=(m+l)2+3,

所以?n=—l,|五+mE|取得最小值.

故答案為：一1.

由|1+31=，7,可求出方7=1，則+m區(qū)|=VTn2+2m+4=J(m+l)2+3?當(dāng)m=-1

時(shí)，叩可求出|五+mB|的最小值.

本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)與定義，化歸轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)思想，屬中檔題.

15.【答案】U

【解析】解：設(shè)小張每天等待的時(shí)長(zhǎng)都在。-5分鐘之內(nèi)，連續(xù)兩天等待的時(shí)長(zhǎng)分別為x,y,貝iJOW

x<5,0<y<5.,

作出不等式組所表示的可行域，

如圖所示，根據(jù)題意知％+y>3,若Si，S?分別為陰影部分面積、正方形面積，

所以%=竺殳竺=竺.

S22550

故答案為：祟

設(shè)連續(xù)兩天等待的時(shí)長(zhǎng)分別為x,y有0SXS5,0<y<5.,結(jié)合x+y>3,利用幾何概型中面

積比求概率即可.

本題主要考查幾何概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】(1,0)4

【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)E在拋物線上，所以16=8p,所以p=2,所以F(l,0),

所以拋物線方程為y2=4x,

設(shè)4(%％)，B(卷,丫2A

聯(lián)立｛；2=匕",得好一4，苒-4n=0，

由題意可知4>0,即n>-3,

所以+丫2=4V-3,yry2=-4n,

2

\ADDB\=|（n-%（普-n）-yxy2|=|/［優(yōu)+y2）-2%為］-笫-九？-yM=116M=

64,

所以九=±4.因?yàn)榫?gt;一3,所以幾=4.

故答案為：（1,0）;4.

由題意求出拋物線的方程，即可求出拋物線的焦點(diǎn)戶的坐標(biāo)：設(shè)4（］,%）,8（學(xué),丫2），聯(lián)立直線與

22

拋物線的方程，由韋達(dá)定理結(jié)合向量數(shù)量積的定義可得|AD-DB\=\（n-卷）（今-n）-乃力1=

|16n|=64,即可求出九的值.

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

17.【答案】解：（1）由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)，可得Z=；x（l+2+3+4+5+6+

7)=4,

羽=式0-1)2=28，

27=1%=9.73,￡品女為=41.72,J一少尸x0.55，

￡L(ti-t)(y;-y)=E7=1a%_7ty=41.72-4x9.73=2.8,

所以r2.8?0.96.

0.55x2x2,646

因?yàn)閞近似為0.96,所以y與t的線性相關(guān)程度較高.

（2）由⑴知，y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.96,說明y與t的線性相關(guān)程度較高，

從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.

1

由t=嬰=L39及⑴得b="I；）?；”=需=0.1。'a=y-bt=1.39-0.10x4=0.99,

所以y關(guān)于t的回歸方程為y=O.lOt+0.99.

因?yàn)閥>2,所以O(shè).lOt+0.99>2,t>10.1,

所以到2026年該市農(nóng)村居民人均可支配收入超過2萬元.

【解析】（1）由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)，可得r近似為0.96,進(jìn)而判斷y與t是否具有

較高的線性相關(guān)程度；

（2）計(jì)算可得y關(guān)于t的回歸方程為y=O.lOt+0.99,可得2026年該市農(nóng)村居民人均可支配收入超

過2萬元.

本題主要考查線性回歸方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)若3=C,則cos(B—C)=l?

因?yàn)閏os(B—C)cosA+cos2A=1+cos(B4-C)cosA,

所以cosA+cos2A=14-cos(n—A)cosA,

cosA+2COS2A—1=1—cosA-cosA,

整理得3cos2A+cosA—2=0,A6(0,7r).

解得cosA=-1(舍)，cosA=

(2)因?yàn)閏os(B-QcosA+cos2A=14-cos(B+C)cosA,

所以［cos(B—C)—cos(B+Cy\cosA=1—cos2A,

整理得2s仇B(yǎng)s譏CcosA=2sin2A,

由正弦定理得2bccosA=2a2,

由余弦定理得匕2+c2-a2=2bccosA=2a2,

所以*=3.

【解析】(1)利用二倍角的余弦公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得3cos24+cos4-2=0,解出并檢驗(yàn)即可;

(2)利用兩角和與差的余弦公式以及二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)得2s譏BsinCcosA=2sin2A,再結(jié)合正

弦定理有2bccos4=2a2,最后再利用余弦定理即可得到答案.

本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)證明：:ABCD為菱形，.?./!(7_LBD,

又ACJ.PB,PBCBD=B,PB,BDu平面PBD,

J.4C平面PB。，又POu平面PBO,PD1AC,

又PD10C,ACdDC=C,AC,OCu平面ABC。，

PD，平面ABC。；

(2)vM為PD的中點(diǎn)，

.?.點(diǎn)P到平面MCB的距離等于點(diǎn)。到平面MCB的距離，

由(1)知，201平面48。。，；.5“80=，3。/。=2門，

又4BAD=60。,BD=2,PD=2AT6,MD=3PD=門,

設(shè)點(diǎn)。到平面BCM的距離為d,則根據(jù)等體積算法可得:

^M-BCD=^D-BCM，

乂S^BCO=；BC,CD-sm60°=4x2x2x=A/-3?VM-BCD~?,^ABCD,M。=V_2>

又MB=VMD2+BD2=J(C)2+22=\HlO-MC=VMD2+DC2=J(<6)2+22=

BC=2,

MB2+MC2-BC210+10-44

???cos乙BMC=------------=

2MBMC205

又乙BMCe(0,7T),sin/BMC=V1-cos2zBMC=

???S^MCB=\MC-MB-sinzBMC=|xx<Tox|=3,

^D-MCB=3'S^MCB'd=A/_2>d=A/-2.

【解析】(1)利用線面垂直的判定定理證明即可；

(2)利用三棱錐的體積關(guān)系，求解點(diǎn)P到平面BCM的距離即可.

本題考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)，等體積法求解點(diǎn)面距問題，化歸轉(zhuǎn)化思想，方程思想，屬

中檔題.

20.【答案】解：(1)設(shè)4(/,%),B(x2,y2),線段4B的中點(diǎn)為M,

則M(空，嗎約，

直線［與雙曲線C交于力，B兩點(diǎn)，

底—登=1

a?廬'所以生/_土邀=

則《0.

g_及_1必

港一官=L

3(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，k/iB?/COM=，

(2)證明：雙曲線的右頂點(diǎn)N(2,0),

則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1—1，

43

由于,k°M=

則直線Z的斜率一定存在，

設(shè)直線/的方程為y=fcx+m,

y=kx4-m

所以x2f,化簡(jiǎn)整理可得，(3-4k2)%2-Skmx-4m2-12=0(3-4fc2H0),

彳-=1

則4=64fc2m2-4(3-4/c2)(-4m2-12)>0,即m?-4fc2+3>0,

Qkm4m2

由韋達(dá)定理可得，%i+x2=2,xr-x2=~-~^.

因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)N,

所以NAJLNB,所以厄力?而=0.

又因?yàn)闊o彳=01-2,%),而=(%2-2/2)，

所以福?7TB=(%i—2)(%2-2)+y1y2=xrx2-2(/+%2)+4+yry2=0.

2m2f

又因?yàn)榱?(k%i+m)(kx24-m)=kxrx2+fcm(x1+x2)+

所以?1TB=(k2+l)%i%2+(km-2)(%+冷)+nr?+4=o,

nnzi7,?、—4m2—12,八8km,_

BP(fc2+1)x34k2—C^m—2)x§4k2+4+4=0,

化簡(jiǎn)得m?+16km+28k2=0,即(m+14k)(m+2k)=0,

解得zn=-14k或？n=-2k,且均滿足nt?_4k2+3>0,

當(dāng)m=—2k時(shí)，y—kx—2k—k(x—2).

因?yàn)橹本€，不過定點(diǎn)N(2,0),故舍去；

當(dāng)m=-14k時(shí)，y=kx-14k=k(x-14),

所以直線l恒過定點(diǎn)E(14,0).

綜上所述，直線，恒過定點(diǎn)E(14,0).

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合點(diǎn)差法，以及直線的斜率公式，離心率公式，即可求解；

(2)先求出雙曲線的方程，設(shè)出直線/的方程，并與雙曲線聯(lián)立，推得(3—41)x2一8kmx—462一

12=0(3-41芋0),再結(jié)合圓的性質(zhì)，韋達(dá)定理，以及向量垂直的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查直線與雙曲線的綜合，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

21.【答案】解:(1)若m=0時(shí),/(x)=-x-1,fQ)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減,

所以fOOmax=-2,

若則二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸

m>0,x=—m,

當(dāng)上%J，即時(shí)，1離對(duì)稱軸近，2離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，

m25

所以fQ)max=f(2)=4m-3,

當(dāng)穿>|,即OVMV3時(shí)，1離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，2離對(duì)稱軸近，/。)2="1)=|小一2,

若血<0,對(duì)稱軸x=<0,/(%)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，/(%)max=/(I)=|m-2,

r、

m—3,m>-2

綜上，/Wmax2,

3m-2,m<-