2022年黑龍江省哈爾濱市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2022年黑龍江省哈爾濱市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）設(shè)集合M={x\（x-a）（x-3）=0},N—{x\（%-4）（x-1）=0},則下列說(shuō)法

一定正確的是（）

A.若A/UN={1,3,4},則用AN=0

B.若A/UN={1,3,4},則MANW0

C.若MCIN=0,則MUN有4個(gè)元素

D.若MCINW0,則MUN={1,3,4）

2.（5分）設(shè)相，〃是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若"?J_a,”u0,/〃_!_〃，則a_L0

B.^m//a,m//n,則〃〃a

C.若，“〃〃，〃_L0,〃?ua,則a_L0

D.若a_L0,aAp=w,nl.m,則〃J_0

3.（5分）使“aVb”成立的必要不充分條件是“（）”

A.Vx>0,aWb+xB.3.r>0,a+x<bC.Vx20,a<b+xD.3x>0,a+xWb

4.（5分）已知〃>0,且〃2-〃+4=0,則（）

A.有最大值二~B.有最大值三

6

17

C.有最小值uD.有最小值三

6

5.（5分）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究圓錐曲線，用垂直于

圓錐軸的平面去截圓錐，得到的截面是圓；把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用

面積為144的矩形ABC。截某圓錐得到橢圓T,且T與矩形ABCQ的四邊相切.設(shè)橢圓

x2y2

I在平面直角坐標(biāo)系中的方程為=+77=l（a>h>0）,下列選項(xiàng)中滿足題意的方程為

y

---+一一+---

1006464100

6.(5分)已知函數(shù)/(x)=2sinx+cosx滿足f(%o)=^^(沏W(0,/)),則tanxo=()

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7.(5分)在數(shù)列｛〃“｝中，ai=l,n(n+1)(an+i-an)=1(HGN*),則〃21=()

TTt1,tT11T

8.(5分)己知平面向量a,匕滿足|a-2&|=V19,|a|=3,若cosVa,b〉=彳，則|川=()

9.（5分）已知球。為正三棱柱ABC-All。的外接球，正三棱柱ABC-A18］。的底面邊

長(zhǎng)為1,高為3,則球O的表面積是（）

317r16n317r

A.4irB.-----C.-----D.-----

3312

10.（5分）已知/（x）=3sin（2x+（p）（<pGR）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，若y=/（x+M

的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，y=f（x+n）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則|〃?|+間的最小值為（）

11.（5分）已知EF是圓C：/+y2-2x-4y+3=0的一條弦，且CELCF,P是所的中點(diǎn),

當(dāng)弦所在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線/：彳-廠3=0上存在兩點(diǎn)4,8,使得N4PB/恒成立,

則線段48長(zhǎng)度的最小值是（）

A.3V2+1B.4V2+2C.4V3+1D.4次+2

XV

12.（5分）橢圓C：—+—=1（a>Z?>0）的左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為A,F,B,

a2b2

若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線BF的對(duì)稱點(diǎn)恰好在直線AB上，則橢圓C的離心率氏（）

A.（0,$1B.1|1）C.1*3D.（J3,1）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）復(fù)數(shù)二■的共軌復(fù)數(shù)是.

14.（5分）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-AiBiCiDi中，點(diǎn)E在棱A41上，4E=34E,點(diǎn)G

是棱C￡>的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足BF=*BBi,則直線EF與直線GG所成角的余弦值為

15.（5分）已知點(diǎn)P（-1,0）在直線/：ax+y-a+2=0（aGR）上的射影為M,點(diǎn)N（0,

3）,則線段MN長(zhǎng)度的最小值為.

16.（5分）以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的橢圓C”C2焦點(diǎn)分別在x軸，y軸，離心率分別為ei，ez，

直線/交G，C2所得的弦中點(diǎn)分別為M（xi，yi）,N（%2，”），若xix2=2yi）2￥。，2e『

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-e2?=1,則直線l的斜率為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、解答過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)在平面直角坐標(biāo)系，中，直線/的參數(shù)方程為9：二：上8。5。(￡為參數(shù)，。

(y—LSLTLCC

為直線的傾斜角)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的

極坐標(biāo)方程為

(I)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(II)已知點(diǎn)P(-1,0),直線/與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于例點(diǎn)，若|%|,

\PM\,|PB|成等比數(shù)列，求直線/的普通方程.

18.(12分)在①(2b-c)cosA=acosC,②(sinA+sinB)(a-b)—c(sinC-sinB),(§)tanA+

tanB4-tanC=y/3tanBtanC,這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解

答.

已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,h,c,若.

(1)求A；

(2)若點(diǎn)M在線段AC上，NABM=NCBM,BM=|夕，且cosB=:,求c.

19.(12分)2021年“遠(yuǎn)大美樂(lè)杯”四川男子籃球聯(lián)賽在綿陽(yáng)進(jìn)行，大賽分為常規(guī)賽和季后

賽兩種.常規(guī)賽分兩個(gè)階段進(jìn)行，每個(gè)階段采用循環(huán)賽，分主場(chǎng)和客場(chǎng)比賽，積分排名

前8的球隊(duì)進(jìn)入季后賽.季后賽的總決賽采用五場(chǎng)三勝制(“五場(chǎng)三勝制”是指在五場(chǎng)比

賽中先勝三場(chǎng)者獲得比賽勝利，勝者成為本賽季的總冠軍).假設(shè)下面是宜賓隊(duì)在常規(guī)賽

42場(chǎng)比賽中的比賽結(jié)果記錄表：

階段比賽場(chǎng)數(shù)主場(chǎng)場(chǎng)數(shù)獲勝場(chǎng)數(shù)主場(chǎng)獲勝場(chǎng)數(shù)

第一階段2211148

第二階段2010148

(1)根據(jù)表中信息，是否有85%的把握認(rèn)為宜賓隊(duì)在常規(guī)賽的“勝負(fù)”與“主客場(chǎng)”有

關(guān)？

(2)假設(shè)宜賓隊(duì)與某隊(duì)在季后賽的總決賽中相遇，且每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，并假設(shè)宜

賓隊(duì)除第五場(chǎng)比賽獲勝的概率為號(hào)外，其他場(chǎng)次比賽獲勝的概率等于其在常規(guī)賽42場(chǎng)比

賽中獲勝的頻率.記X為宜賓隊(duì)在總決賽中獲勝的場(chǎng)數(shù).

(i)求X的分布列；

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(ii)求宜賓隊(duì)獲得本賽季的總冠軍的概率.

2

什2_n(ad-be)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

P(心》k)0.2500.1500.100

k1.3232.0722.706

20.(12分)《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽(yáng)馬,

將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉嚅.

如圖，在陽(yáng)馬P-ABCD中，側(cè)棱PC_1_底面ABC。，PD=DC,CB=CP,E為棱PC的

中點(diǎn)，F(xiàn)為棱PB上一點(diǎn)、,FP<FB,連接OB,DE,DF,EF.

(I)求證：QE_L平面PBC；

(II)若連接BE,判斷四面體ZJ8EF是否為鱉席、若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直

角；若不是，寫(xiě)出其不是直角三角形的面；

71PF

(III)延長(zhǎng)尸E,BC交于點(diǎn)G,連接。G,若二面角尸-DG-8的大小為一，求——.

3PB

xy

21.(12分)已知橢圓C：—+—=1(?>/j>0)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,P在C上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)\,同為

a2b2

C的兩個(gè)焦點(diǎn)，且cos/Q也的最小值為去

(1)求C的方程；

(2)已知過(guò)點(diǎn)M(0,/??)(-b<m<b)的動(dòng)直線/交C于兩點(diǎn)4,B,線段48的中點(diǎn)

為N,若易?法-諭?加為定值，試求機(jī)的值.

1

22.(12分)已知函數(shù)f(x)=cix-(a+1)

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)〃=0時(shí)，f(x)2的"一：+x+l恒成立，求機(jī)的取值范圍.

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2022年黑龍江省哈爾濱市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)設(shè)集合M={x\(x-a)(x-3)—0},N={x|(x-4)(x-1)=0}(則下列說(shuō)法

一定正確的是()

A.若MUN={1,3,4},則MCIN=0

B.若MUN={1,3,4},則MCNW0

C.若MAN=0,則MUN有4個(gè)元素

D.若MAN￥。，則MUN={1,3,4}

【解答】解：當(dāng)時(shí),M={x\(x-a)(jc-3)=0}={4，3},

當(dāng)a=3時(shí)，M={3},

N—{x\(x-4)(x-1)=0}={1,4},

若MUN={1,3,4},則。=3或。=1或。=4,MCN可能為空集，也可能不為空集,

A,B錯(cuò)誤；

若MCN=0,則aWl,“W4,但可能a—3,MUN可能有4個(gè)元素，也可能有3個(gè)元素，

C錯(cuò)誤；

若MCN#0,則a=1或a=4,MUN={1,3,4),D正確.

故選：D.

2.(5分)設(shè)加，〃是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是()

A.若,"_La,?cp,mLn,則&_1_0

B.若加〃a,機(jī)〃〃，則“〃a

C.若n,，〃ua,則a_LB

D.若a_L|3,aAp=w,〃_!_〃?，則”_L|3

【解答】解：〃?，鼠是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，

對(duì)于A,若，“_La,“U0,機(jī)_L〃，則a與B平行或相交，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,^m//a,m//n,則〃〃a或"ua,故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若”?〃〃，n±P，mca,則，〃_L0,

由面面垂直的判定定理得a_L0,故C正確；

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對(duì)于。，若a_L0,anp=zn,nlm,則〃與相交、平行或”u0,故。錯(cuò)誤.

故選：C.

3.(5分)使"a<b"成立的必要不充分條件是“()”

A.Vx>0>“Wb+xB.3x^0,a+x<bC.Vx20,a<b+xD.2x>0,a+xWb

【解答】解：A選項(xiàng)，(b+x)G(b,+8),故“Wb,

即A選項(xiàng)命題等價(jià)于aWb；故A正確,

3選項(xiàng)，（a+x）G[a>+°°）,故b>a.

即B選項(xiàng)命題等價(jià)于a<b；故B錯(cuò)誤,

C選項(xiàng)，(6+x)&[b,+8),故a<6,

即C選項(xiàng)命題等價(jià)于a<h；故C錯(cuò)誤,

。選項(xiàng)，(a+x)6(a,+°°),故

即D選項(xiàng)命題等價(jià)于a<b,故D錯(cuò)誤.

故選：A.

r2a+3匕

4.(5分)已知。>0,且。2-/升4=0,則———()

a+b

1714

A.有最大值一B.有最大值高

65

1714

C.有最小值uD.有最小值三~

65

【解答】解：由牛2-什4=0,得/?=/+%則q+b=〃2+a+4,

a+ba2+a+4,

2a+3匕14

又。>0,所以?=3—-T-r=3—n---7=3----7—之3---j=—=3-

a+b2虧'

a+ba+a+4a+S+l2O+1

當(dāng)且僅當(dāng)“4即a=2,…時(shí)等號(hào)成立，所以得有最小值三，無(wú)最大值,

故選：D.

5.(5分)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究圓錐曲線，用垂直于

圓錐軸的平面去截圓錐，得到的截面是圓；把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用

面積為144的矩形ABCO截某圓錐得到橢圓T,且T與矩形ABCQ的四邊相切.設(shè)橢圓

x2y2

T在平面直角坐標(biāo)系中的方程為-7+77=l(a>h>0),下列選項(xiàng)中滿足題意的方程為

a2b2

()

x2y2x2y2

A.—+—=1B.—+—=1

第7頁(yè)共20頁(yè)

x2y2x2y2

二.---+—=1D.—+-----=1

1006464100

【解答】解：,??用面積為144的矩形A8CO截某圓錐得到橢圓T,且T與矩形ABCO的

四邊相切,

???4。/?=144,艮|J〃b=36,

對(duì)于A,a=9,人=4,滿足a>b>0且出?=36,故A正確,

對(duì)于B,a=V65,b=9,不滿足故8錯(cuò)誤，

對(duì)于C,。=10,人=8,不滿足必=36,故C錯(cuò)誤，

對(duì)于￡>,Q=8,6=10,不滿足〃>b>0,故。錯(cuò)誤.

故選：A.

ofc

芻)，則tanxo=(

6.(5分)已知函數(shù)f(x)=2sinx+cosx滿足f(%o)=-^-(x0E(。，)

1112

A.2B.—C.一D.—

2211

【解答】解：由題意知，f(xo)=2siiuo+cosxo=

2222

因?yàn)閟inxo+cosxo=1,所以sinxo+(^^一2smx0)=1,

化簡(jiǎn)可得5sin2xo-^=sinxo+F=0,解得siaro=或W

v5。5v5V5

業(yè)?2Q_L3>[Sg?11

Tsin,￥o=-?cosxo=—F----2sinxo=——:

5y5$5V5

當(dāng)siiu：o=讀時(shí)，cosxo=-2sinxo=—當(dāng)<0(舍)，

2ii

所以sinxo=^y^，cosxo=

sinx_2

所以taiuo=0

COSXQ~11,

故選：D.

7.(5分)在數(shù)列｛斯｝中,ai=l,n(n+1)(an+i-an｝=1(於N),則〃21=()

21194140

l.—B.-C.—D.一

20202121

【解答】解：由題意得，%+1-備=適g=:一擊，

11,11,1I--1

所以。21=〃21-。20+。20~。19+'+(〃2-。1)+。1=而一元+西一而+?+1-2+1=2-五

41

21,

故選：C.

第8頁(yè)共20頁(yè)

8.（5分）已知平面向量2,b滿足向-2h|=V19,|a|=3,若cos<a,&>=則|力|=（）

55

A.1B.2C.一D.—

42

【解答】解：,..|a—2b|=|a|=3,若cos<d,&>=^,

：.a2-4a-b+4b2=9-4X3|b|x1+4\b\2=19,

t—q

解得：|b|=2或|加=一]（舍去），

故選：B.

9.（5分）已知球。為正三棱柱43。-451。的外接球，正三棱柱ABC-AiBi。的底面邊

長(zhǎng)為1,高為3,則球。的表面積是（）

317T167r317r

A.4nB.---C.---D.---

3312

【解答】解：設(shè)正三棱柱ABC-48iG的高為/?,底面邊長(zhǎng)為a,設(shè)球。的半徑為R,

則三棱柱底面三角形的外接圓半徑r滿足2r=急，解得r=等a,

由題意可知，4=1,h=3.

且1931

Z22a2

=(+=_+/I2-=-+-=--

所以R2K3343412

則球0的表面積為S=4TTR2=竽.

故選：B.

10.（5分）已知/（x）=3sin（2jc+q））（<pGR）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，若y=.f（x+m）

的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，y=/（x+〃）的圖像關(guān)于），軸對(duì)稱，則依|+|川的最小值為（）

717171

A.ITB.-C.-D.一

248

【解答】解：可設(shè)（po滿足“9（）E（0,U兀）且<p=2m+（po，"

則/（x）=3sin（2x+（po）.注意到五點(diǎn)法的最左段端點(diǎn)是（一券，0）,而二=三，5=]

故有|m|=一空|上守|）=min（粵，三產(chǎn)）；Ml=I-畢+與|=叵?汕

當(dāng)006（0,時(shí)，|刈=等；同=仁普，

此時(shí)|刈+|九|=~,

當(dāng)江）時(shí)?此時(shí)|m|=7ra"。；|M=20；7r

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故選：c.

11.(5分)已知E尸是圓C：/+y2-2x-4y+3=0的一條弦，且CE_LCF,P是所的中點(diǎn),

當(dāng)弦E尸在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線/：%-^-3=0上存在兩點(diǎn)4,B,使得44P82號(hào)恒成立,

則線段A8長(zhǎng)度的最小值是()

A.3V2+1B.4V2+2C.473+1D.4H+2

【解答】解：由題可知：圓C：7+y2-2x-4y+3=0,即(x-1)2+(y-2)2=2,圓心

c(1,2),半徑仁VL

又CELCF,P是EF的中點(diǎn)，所以CP=|EF=1,所以點(diǎn)P的軌跡方程(x-1)?+(y

圓心為點(diǎn)C(1,2),半徑為R=1,若直線/：x-y-3=0上存在兩點(diǎn)A,B,使得乙4PB2提

恒成立，

則以AB為直徑的圓要包括圓(x-I)2+(y-2)2=1,點(diǎn)C(l,2),到直線/的距離為

d=1-2一3]=272,

Jl2+(-l)2

所以AB長(zhǎng)度的最小值為2(d+1)=4V2+2,

故選：B.

x2y2

12.(5分)橢圓C—+—=1(67>^>0)的左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為A,F,B,

a?bz

若坐標(biāo)原點(diǎn)。關(guān)于直線BF的對(duì)稱點(diǎn)恰好在直線AB上，則橢圓C的離心率改()

A.(0,》1B.6I,/1C./1》3D.*31)

JQ2+匕2n—C

【解答】解：由題可得3尸是NAB。的角平分線，則由角平分線性質(zhì)可得一;—=——，

整理得2e3-2e?-2e+l=0,

令/(x)=2^-2?-2JC+1,0<Jt<l,貝ij/(x)=6V-4x-2=2(x-1)(3x+l),

所以/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

_,1121111

因?yàn)榱??二等皿八■=i-1-1+1=-1<0.

由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知改-),

42

故選：B.

第10頁(yè)共20頁(yè)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

⑶(5分)復(fù)數(shù)R的共朝復(fù)數(shù)是二

..2+i(2+i)(—2i—1)-Si

【解答】解:

*2i-l-(l-2i)(l+2i)-5

2+i

復(fù)數(shù),的共甑復(fù)數(shù)是i.

2i—1

故答案為：i.

14.(5分)在棱長(zhǎng)為2的正方體48。。-481。。1中，點(diǎn)石在棱441上，AE=3AiE,點(diǎn)G

T1T4

是棱C。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足=則直線EF與直線QiG所成角的余弦值為_(kāi)g_.

【解答】解：分別取A8,BBi中點(diǎn)M,N,連接4M,4MMN,如圖：

所以在正方體A8CD-AiBCiQi中，A\M//D\G,

因?yàn)锳E=3AiE,點(diǎn)為滿足所以AiE=BF=NF=分

又因?yàn)樗运倪呅蜛iEFN為平行四邊形，所以E/〃AiN,

；.AiM=AiN=V22+l2,MN=Vl2+l2,

A^+A^-MN25+5-2_4

在△A1MN中,cosZMA\N=

-2KA^MXA^N-2x75x75-5

4

直線EF與直線QiG所成角的余弦值為g.

4

故答案為：

15.(5分)已知點(diǎn)尸(-1,0)在直線/：ax+y-a+2=0(?eR)上的射影為M,點(diǎn)N(0,

3),則線段MN長(zhǎng)度的最小值為口-瘋

【解答】解：直線/：ax+y-?+2=0(?GR),

即(x-1)a+y+2=0,

第11頁(yè)共20頁(yè)

令X-1=0,且y+2=0,

得x=l,y=-2,

所以直線/恒過(guò)定點(diǎn)。（1,-2）,

由于點(diǎn)尸（-1,0）在直線/上的射影為M,即/PMQ=90°,

所以點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓上，

該圓的圓心為PQ的中點(diǎn)C（0,-1）,且半徑為VL

由點(diǎn)N到圓心C的距離為NC=4,

所以線段MN的最小值為NC-r=4-V2,

故答案為：4-V2.

16.（5分）以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的橢圓C”C2焦點(diǎn)分別在x軸，y軸，離心率分別為e”e2.

直線/交G，C2所得的弦中點(diǎn)分別為M（孫ji）,N（X2，”），若xix2=2yi”W0,2e/

2

-e2=l,則直線I的斜率為±1.

%2y2y2%2

【解答】解：設(shè)橢圓G：--+—2=1,C2：-7+TT=1，

22

arb/a262

再設(shè)直線/交Ci于A、B,直線/交C2于C、D,

M(xi,yi),N(m，”)分別為AB,CO的中點(diǎn),

x+x

r_AB_辦+如

分別把A、B,C代入兩曲線方程，

I2十2—工2

利用|13，作差法可得也,=-二7=e/-1，

向1+不

同理C、。代入兩曲線方程，通過(guò)作差法可得：

2

,a21

1%=-kR

設(shè)kAB=kcD=k,

.yi、2fc2_e/_l

，

x1x2e22-1，

2222

V2ei-e2=L/.e2=2et-1,

.a「，彳"曰二=會(huì)?「

又XIX2=2WW0,

%1%222—12(“2—1)2

可得k=±l.

故答案為：士1.

第12頁(yè)共20頁(yè)

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、解答過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，直線/的參數(shù)方程為匕為參數(shù)，。

—LSITIOC

為直線的傾斜角)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的

極坐標(biāo)方程為p=^^

(I)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(II)已知點(diǎn)P(-1,0),直線/與曲線C交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于M點(diǎn)，若|心|,

\PM\,成等比數(shù)列，求直線/的普通方程.

【解答】解：(/)???曲線C的極坐標(biāo)方程為p=蓑針

?2___________8

??P5-3(cos20-sin26y)'

x—pcosd

y=psinO②，

(%2+y2=p2

x2

?,?聯(lián)立①②可得，一+y2=1.

4

(〃)把直線I的參數(shù)方程?：UJJc°sa代入式+y2=1可得，("3sin2a)r2-2cosar

—LSIIKX4

-3=0,

由韋達(dá)定理可得，t也

點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為XM=-l+/3cosa=0,

所以打=二一，

scosa

"：\PA\,\PM\,|PB成等比數(shù)列,

：.\PA\-\PB\=\PM\i,即「一:3?=|熹『,化簡(jiǎn)整理可得，2sin2a=cos2a,

l+3smzacosa

：.tan2a=^,即直線/的斜率為土冬

故直線/的方程為x-V5y+1=0或x+V^y+l=0.

18.(12分)在①(2b-c)cosA=(icosC,②(sinA+sinB)Ca-b)=c(sinC-sinB),@tanA4-

tanB4-tanC=y[3tanBtanC,這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解

答.

已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是小b,c,若.

(1)求A；

第13頁(yè)共20頁(yè)

(2)若點(diǎn)”在線段AC上，ZABM=ZCBM,5M=|A/7,且cosB=},求c.

【解答】解：(1)若選①：因?yàn)?2Z?-c)COSA=6ZCOSC,

由正弦定理得(2sin3-sinC)cosA=sirk4cosc即2sin3cosA=sinCcosA+sinAcosC,

所以2sinBcosA=sinB,

因?yàn)?VB<n,

所以sinBWO,

1

可得cosA=

因?yàn)?<A<n,故

若選②：*/(sinA+sinB)(a-h)=c(sinC-sinB),

???由正弦定理可得:Ca+b)(a-b)=c(c-b),

222

即：Z?+c-a=be9

由余弦定理得cosA=1,

VAG(0,n),

?-?AA—-13.

選擇條件③，tanA+tanB+tanC=V3tanBtanC,

tanB+tanC

因?yàn)閠anA=-tan(8+C)=—

1—tanBtanC9

所以-tanA+tanAtanBtanC=tanB+tanC,

即tarL4+tanB+tanC=tanAtanBtanC,

所以tan/ltan/?tanC=V3tanBtanC,

因?yàn)閠anBtanCWO,所以tanA=V5,

因?yàn)锳E(0,n),所以4=彌.

(2)因?yàn)閏osB=春，可得1-2sin2-=一,

727

r日BV21B277

□J得sin-=-----

27

在"BM中，sin/AM"sin《+4BM”當(dāng)x孥+3y[21

~=^4~9

577

由正弦定理可得看i=缶,可得'=5-

2

第14頁(yè)共20頁(yè)

A

hi

B

19.（12分）2021年“遠(yuǎn)大美樂(lè)杯”四川男子籃球聯(lián)賽在綿陽(yáng)進(jìn)行，大賽分為常規(guī)賽和季后

賽兩種.常規(guī)賽分兩個(gè)階段進(jìn)行，每個(gè)階段采用循環(huán)賽，分主場(chǎng)和客場(chǎng)比賽，積分排名

前8的球隊(duì)進(jìn)入季后賽.季后賽的總決賽采用五場(chǎng)三勝制（“五場(chǎng)三勝制”是指在五場(chǎng)比

賽中先勝三場(chǎng)者獲得比賽勝利，勝者成為本賽季的總冠軍）.假設(shè)下面是宜賓隊(duì)在常規(guī)賽

42場(chǎng)比賽中的比賽結(jié)果記錄表：

階段比賽場(chǎng)數(shù)主場(chǎng)場(chǎng)數(shù)獲勝場(chǎng)數(shù)主場(chǎng)獲勝場(chǎng)數(shù)

第一階段2211148

第二階段2010148

（1）根據(jù)表中信息，是否有85%的把握認(rèn)為宜賓隊(duì)在常規(guī)賽的“勝負(fù)”與“主客場(chǎng)”有

關(guān)？

（2）假設(shè)宜賓隊(duì)與某隊(duì)在季后賽的總決賽中相遇，且每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，并假設(shè)宜

賓隊(duì)除第五場(chǎng)比賽獲勝的概率為［外，其他場(chǎng)次比賽獲勝的概率等于其在常規(guī)賽42場(chǎng)比

賽中獲勝的頻率.記X為宜賓隊(duì)在總決賽中獲勝的場(chǎng)數(shù).

（i）求X的分布列；

（ii）求宜賓隊(duì)獲得本賽季的總冠軍的概率.

2

________.(ad—兒)________

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

P0.2500.1500.100

k1.3232.0722.706

【解答】解：（1）由題意的列聯(lián)表:

主場(chǎng)客場(chǎng)合計(jì)

勝利161228

失敗5914

合計(jì)212142

第15頁(yè)共20頁(yè)

..2_n(ad-bc)2_42(16x9—5x12)2.工?

*八一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)~21x21x14x28-萬(wàn)?'八/斗u//'

...沒(méi)有85%的把握認(rèn)為宜賓隊(duì)在常規(guī)賽的“勝負(fù)”與“主客場(chǎng)”之間有關(guān).

282

(2)(i)由題意：宜賓隊(duì)在常規(guī)賽中獲勝的概率為：—

423

o1

X的可能取值為0,1,2,3,且P(X=O)=4(1一鏟=務(wù)

p(x=i)=G.|.q-|)2.(—1)=余

P(X=2)=*(|)2-(1-|)2?(1_》=攝，

P(X=3)=廢.(|)3+廢《)2.(l-|).|+cr(|)2.(1_|)2?尹羿

故X的分布列為：

X0123

P12420

27272727

(ii)甲隊(duì)獲得本賽季的總冠軍的概率為：Cl.(|)3+髭.(|)2.(1_|)4+匾(|)2.

n2、2120

20.(12分)《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽(yáng)馬，

將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉嚅.

如圖，在陽(yáng)馬P-ABCZ)中，側(cè)棱PO_L底面ABC。，PD=DC,CB=CP,E為棱PC的

中點(diǎn)，尸為棱PB上一點(diǎn)，F(xiàn)PVFB,連接OB,DE,DF,EF.

(I)求證：平面PBC；

(II)若EFJB,連接BE,判斷四面體。2EF是否為鱉膈、若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直

角；若不是，寫(xiě)出其不是直角三角形的面；

71PF

(III)延長(zhǎng)尸E,BC交于點(diǎn)G,連接。G,若二面角尸-DG-B的大小為一，求——.

3PB

第16頁(yè)共20頁(yè)

p

【解答】解：(I)證明：因?yàn)镻￡)_L底面A8CD,所以PD_LBC,

由地面ABC。為長(zhǎng)方形，有BCLCO,

而P￡>nCD=O,所以BC_L平面尸CO.

而。Eu平面PC。，所以BCLOE,

又PD=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以O(shè)E_LPC.

而PCOBC=C,

所以。E_L平面PBC-,

(II)由(I)可知，而PBu平面PBC,所以尸8J_OE.

XPB1.EF,DECEF=E,所以平面OEF.

由DEL平面PBC,PB_L平面QEF,可知四面體OBEF的四個(gè)面都是直角三角形，

即四面體。BEF是一個(gè)鱉麻，其四個(gè)面的直角分別為NOEB,ZDEF,ZEFB,ZDFB.

(III)由題意可知，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線射線。C,射線。P分別為x,y,z軸

的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PO=OC=2,則CB=CP=2/，

由題意可知，二面角尸-。6-8即為平面。后尸與平面43。。所成的角，

貝0,0),8(2夜，2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,I,1),設(shè)尸G,

--(x=2y/2X

y,z),PF=APB,則(x,y,z—2)=4(2魚(yú)，2,-2),所以y=24，即

、z=-2A+2

FQg,21,-24+2),

則法=(0,1,1),DF=(2V2A,23-22+2),

'fT

設(shè)平面FDG的法向量《=(”％，zi),則管2=°,即

DF-n2=0

/0+%+Zi=0

k2\/2Ax1+22yl+(-24+2區(qū)=0'

第17頁(yè)共20頁(yè)

xt=2A-1

%=-V2A,所以扇=(2A-1,-戲人,V2A),

z—V2A

{r

又平面BDG的法向量為*=(0,0,1),

—>

____________42X___________=1

因此,cos<nlfn>=

21XJ(2A-1)2+(-72A)2+(72A)22

2方1I

整理得=7解得;l=4,

8入2-44+1

XV

21.(12分)已知橢圓C：—+—=1(a>h>0)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,P在C上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)\,乃為

a25

1

C的兩個(gè)焦點(diǎn)，且COS/FIPF2的最小值為3

(1)求C的方程:

(2)已知過(guò)點(diǎn)M(0,祖)(-b<m<b)的動(dòng)直線/交C于兩點(diǎn)4,B,線段A8的中點(diǎn)

為N,若后?荒?0%為定值，試求機(jī)的值.

【解答】解：(1)由題意得“=2,

設(shè)IPF1I，|尸放|長(zhǎng)分別為p，q.

p2+q2-4c2_(p+q/-4c2-2pq_2b2-pq_2b22b2_2b2

則cos。=-1,

2Pq2PqpqPq(p+q)2a2

(當(dāng)且僅當(dāng)〃=4時(shí)取等號(hào))

9h21u2o

從而六一1=1得7=7."=4,廿=3,

第18頁(yè)共20頁(yè)

x2y2

則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為T(mén)