高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 課時(shí)分層作業(yè) 三十六 6.3 基本不等式 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

課時(shí)分層作業(yè)三十六基本不等式一、選擇題(每小題5分,共35分)1.已知a,b∈R,且ab≠0,則下列結(jié)論恒成立的是 ()A.a+b≥2 B.+≥2C.|+|≥2 D.a2+b2>2ab【解析】選C.因?yàn)楹屯?hào),所以|+|=||+||≥2.2.(2018·武漢模擬)下列命題中正確的是 ()A.函數(shù)y=x+的最小值為2B.函數(shù)y=的最小值為2C.函數(shù)y=2-3x-(x>0)的最小值為2-4D.函數(shù)y=2-3x-(x>0)的最大值為2-4【解析】選D.y=x+的定義域?yàn)閧x|x≠0},當(dāng)x>0時(shí),有最小值2,當(dāng)x<0時(shí),有最大值-2,故A項(xiàng)不正確;y==+≥2,因?yàn)椤?所以取不到“=”,故B項(xiàng)不正確;因?yàn)閤>0時(shí),3x+≥2·=4,當(dāng)且僅當(dāng)3x=,即x=時(shí)取“=”,所以y=2-有最大值2-4,故C項(xiàng)不正確,D項(xiàng)正確.3.已知a>0,b>0,a+b=2,則y=+的最小值是 ()A. B.4 C. 【解析】選C.依題意,得+=·(a+b)=≥=,當(dāng)且僅當(dāng)即a=,b=時(shí)取等號(hào),即+的最小值是.【變式備選】已知x>0,y>0,且+=1,則x+y的最小值是________.

【解析】因?yàn)閤>0,y>0,所以x+y=(x+y)=3++≥3+2(當(dāng)且僅當(dāng)y=x時(shí)取等號(hào)),所以當(dāng)x=+1,y=2+時(shí),(x+y)min=3+2.答案:3+24.(2018·太原模擬)已知x,y為正實(shí)數(shù),則+的最小值為 ()A. B. C. D.3【解析】選D.由于x,y為正實(shí)數(shù),則+=+-1≥2-1=3,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),等號(hào)成立,則其最小值為3.【變式備選】設(shè)x,y,z均為正數(shù),滿足x-2y+3z=0,則的最小值是________.

【解析】因?yàn)閤-2y+3z=0,所以y=,所以=≥=3.當(dāng)且僅當(dāng)x=3z時(shí)取“=”.答案:35.已知x>0,y>0,且4xy-x-2y=4,則xy的最小值為 ()A. B.2 C. 【解析】選D.因?yàn)閤>0,y>0,x+2y≥2,所以4xy-(x+2y)≤4xy-2,所以4≤4xy-2,即(-2)(+1)≥0,所以≥2,所以xy≥2.6.(2018·西安模擬)設(shè)=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0)(a>0,b>0,O為坐標(biāo)原點(diǎn)),若A,B,C三點(diǎn)共線,則+的最小值是 ()A.4 B. C.8 D.9【解析】選D.因?yàn)?-=(a-1,1),=-=(-b-1,2),若A,B,C三點(diǎn)共線,則有∥,所以(a-1)×2-1×(-b-1)=0,所以2a+b=1,又a>0,b>0,所以+=·(2a+b)=5++≥5+2=9,當(dāng)且僅當(dāng)即a=b=時(shí)等號(hào)成立.7.(2017·山東高考)若a>b>0,且ab=1,則下列不等式成立的是()A.a+<<log2B.<log2<a+C.a+<log2<D.log2<a+<【解析】選B.方法一:因?yàn)閍>b>0,且ab=1,所以a>1,0<b<1,所以<1,log2(a+b)>log22=1,由函數(shù)性質(zhì)可知2x>x,所以>a+>a+b,上式兩邊同時(shí)取以2為底的對(duì)數(shù)可得a+>log2(a+b).方法二:因?yàn)閍>b>0,且ab=1,所以a>1>b>0,令a=2,b=,則a+=2+=4,==.log2(a+b)=log2(2+)=log2>1.所以a+>log2(a+b)>.二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2017·天津高考)若a,b∈R,ab>0,則的最小值為________.

【解析】≥=4ab+≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a2=2b2且4ab=時(shí)取等號(hào).答案:49.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)x件,則平均倉儲(chǔ)時(shí)間為天,且每件產(chǎn)品每天的倉儲(chǔ)費(fèi)用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品________件.

【解析】設(shè)每件產(chǎn)品的平均費(fèi)用為y元,由題意得y=+≥2=20.當(dāng)且僅當(dāng)=(x>0),即x=80時(shí)“=”成立.答案:8010.(2018·沈陽模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d,其前n項(xiàng)和是Sn,若a1=d=1,則的最小值是________.

【解析】an=a1+(n-1)d=n,Sn=,所以==≥=,當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)取等號(hào).所以的最小值是.答案:1.(5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且C=,a+b=12,則△ABC面積的最大值為 ()A.8B.9C.16D.21【解析】選B.由三角形的面積公式:S=absinC=ab≤×=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=6時(shí)等號(hào)成立.則△ABC面積的最大值為9.2.(5分)為保障春節(jié)期間的食品安全,某市質(zhì)量監(jiān)督局對(duì)超市進(jìn)行食品檢查,如圖所示是某食品中微量元素含量數(shù)據(jù)的莖葉圖,已知該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為11.5,則+的最小值為 ()A.9 B. C.8 D.4【解析】選B.因?yàn)樵摻M數(shù)據(jù)的平均數(shù)為11.5,所以=11.5,即a+b=2,所以+=·=+≥+=,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=2b=時(shí)等號(hào)成立,所以+的最小值為.【變式備選】已知m>1,x,y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為3,則+ ()A.有最小值B.有最大值C.有最小值D.有最大值【解析】選A.直線mx-y+5-m=0過x-y+4=0上的定點(diǎn)A(1,5).畫出表示的可行域,如圖,由圖知z=ax+by過A(1,5)時(shí),最大值為a+5b=3,所以+=(a+5b)=(11++)≥.3.(5分)(2018·合肥模擬)已知a,b為正實(shí)數(shù),直線x+y+a=0與圓(x-b)2+(y-1)2=2相切,則的取值范圍是________.

【解析】因?yàn)閤+y+a=0與圓(x-b)2+(y-1)2=2相切,所以d==,所以a+b+1=2,即a+b=1,所以===(b+1)+-4≥2-4=0.又因?yàn)閍,b為正實(shí)數(shù),所以的取值范圍是(0,+∞).答案:(0,+∞)4.(12分)已知lg(3x)+lgy=lg(x+y+1).(1)求xy的最小值.(2)求x+y的最小值.【解析】由lg(3x)+lgy=lg(x+y+1),得(1)因?yàn)閤>0,y>0,所以3xy=x+y+1≥2+1.所以3xy-2-1≥0,即3()2-2-1≥所以(3+1)(-1)≥0.所以≥1.所以xy≥1.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí),等號(hào)成立.所以xy的最小值為1.(2)因?yàn)閤>0,y>0,所以x+y+1=3xy≤3·.所以3(x+y)2-4(x+y)-4≥0.所以[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0.所以x+y≥2.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號(hào).所以x+y的最小值為2.5.(13分)如圖,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長度為1千米.某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程(1+k2)x2(k>0)表示的曲線上,其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo). (1)求炮的最大射程.(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小),其飛行高度為3.2千米,試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí),炮彈可以擊中它?請(qǐng)說明理由.【解析】(1)令y=0,得kx-(1+k2)x