第03講 勾股定理的應用（原卷版）

第03講勾股定理的應用1.利用勾股定理及逆定理解決生活中的實際問題（梯子滑動、風吹蓮動、折竹抵地、臺風和爆破、航行和信號塔、速度等問題）.2.解決實際問題時，要善于構(gòu)造直角三角形，把實際問題抽象成幾何問題.知識點01勾股定理的應用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論．題型01求梯子滑落高度【典例1】（2023秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一架長的梯子斜靠在一豎直的墻上，，這時，梯子的底端到墻底的距離為．

(1)求此時梯子的頂端距地面的高度．(2)如果梯子的頂端沿墻下滑，那么梯子底端外移嗎？通過計算說明你的結(jié)論．【變式1】（2023春·寧夏吳忠·八年級?？计谥校┤鐖D，將長為25米長的云梯斜靠在建筑物的側(cè)墻上，長7米．(1)求梯子上端到墻的底端E的距離的長；(2)如果梯子的頂端A沿墻下滑4米，則梯腳B將外移多少米？【變式2】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖梯子斜靠在豎直的墻，長為，為．(1)求梯子的長．(2)梯子的頂端A沿墻下滑到點C，梯子底端B外移到點D，求的長．題型02求旗桿高度【典例1】（2023春·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，某攀巖中心攀巖墻的頂部處安裝了一根安全繩，讓它垂到地面時比墻高多出了米，教練把繩子的下端拉開米后，發(fā)現(xiàn)其下端剛好接觸地面（即米），，求攀巖墻的高度．【變式1】（2022春·八年級單元測試）思源中學八（3）班小明和小亮同學學習了“勾股定理”之后，為了測得下圖風箏的高度，他們進行了如下操作：（1）測得的長度為米；（2）根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線的長為米；（3）牽線放風箏的小明身高米，求風箏的高度．【變式2】（2023春·江西宜春·八年級統(tǒng)考期中）一款名為超級瑪麗的游戲中，瑪麗到達一個高為10米的高臺A后，利用旗桿頂部的繩索，劃過90°到達與高臺A水平距離為17米，高為3米的矮臺B．(1)求旗桿的高度OM；(2)瑪麗在蕩繩索過程中離地面的最低點的高度MN．題型03求小鳥飛行距離【典例1】（2023春·廣西貴港·八年級統(tǒng)考期中）有兩棵樹，一棵高6米，另一棵高3米，兩樹相距4米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了多少米？【變式1】（2023春·廣東東莞·八年級?？茧A段練習）如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，它飛行的最短路程是________．【變式2】（2023春·廣西防城港·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，有兩棵樹，一棵樹高AC是10米，另一棵樹高BD是4米，兩樹相距8米（即CD=8米），一只小鳥從一棵樹的樹梢A點處飛到另一棵樹的樹梢B點處，則小鳥至少要飛行多少米？題型04求大樹折斷前的高度【典例1】（2023春·江西南昌·八年級南昌市外國語學校?？计谀毒耪滤阈g(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高丈(丈尺)，中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根尺，試問折斷處離地面多高？

【變式1】（2023春·湖南婁底·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，一棵大樹在一次強臺風中在離地某處折斷倒下，樹尖落在離樹底部12米處，已知原樹高是18米，你能求出大樹在離地多少米的位置折斷嗎？

【變式2】（2023春·全國·八年級期中）如圖，一根垂直于地面的旗桿高，因刮大風旗桿從點處折斷，頂部著地且離旗桿底部的距離．(1)求旗桿折斷處點距離地面的高度；(2)工人在修復的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點的下方的點處，有一明顯裂痕，若下次大風將修復好的旗桿從點處吹斷，旗桿的頂點落在水平地面上的處，形成一個直角，請求出的長．題型05解決水杯中筷子問題【典例1】（2023春·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）如圖是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是，高是，上底面中心有一個小圓孔，則一條長的直吸管露在罐外部分的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計）范圍是（

）

A． B． C． D．【變式1】（2023·江蘇·模擬預測）我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲?，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深幾何．”（丈、尺是長度單位，1丈尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．水的深度是多少？則水深為（

）A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺【變式2】（2023春·內(nèi)蒙古通遼·八年級?？计谥校┤鐖D，將一根長的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子外面的長度是，則h的取值范圍是________．題型06解決航海問題【典例1】（2023·寧夏吳忠·統(tǒng)考二模）如圖，一艘輪船自西向東航行，航行到處測得小島位于北偏東方向上，繼續(xù)向東航行海里到達點處，測得小島在輪船的北偏東方向上，此時輪船與小島的距離為____海里．【變式1】（2023春·廣東珠?！ぐ四昙壷楹Ｊ星吧街袑W校考期中）如圖，某港口O位于東西方向的海岸線上，有甲，乙兩艘輪船同時離港，各自沿著一固定方向航行，甲船沿北偏西方向航行，每小時30海里，乙船沿北偏東方向航行，每小時40海里，2小時后，兩船分別到達A，B處，此時兩船相距多少海里？

【變式2】（2022秋·廣東深圳·八年級深圳市高級中學校考期中）如圖所示，一艘輪船由A港口沿著北偏東的方向航行到達B港口，然后再沿北偏西方向航行到達C港口．(1)求A，C兩港口之間的距離；（結(jié)果保留根號）(2)C港口在A港口的什么方向．題型07求臺階上地毯長度【典例1】（2023春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期中）如圖是樓梯的示意圖，樓梯的寬為5米，米，米，若在樓梯上鋪設防滑材料，則所需防滑材料的面積至少為（

）A．65 B．85 C．90 D．150【變式1】（2023春·湖南張家界·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示的一段樓梯，高BC是3米，斜邊AB長是5米，現(xiàn)打算在樓梯上鋪地毯，至少需要地毯的長度為（

）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【變式2】（2023春·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學校?？计谥校┠硶怪行脑跁蛊陂g準備將高5m、長13m、寬2m的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米30元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道需要_______________元．題型08判斷汽車是否超速【典例1】（2023春·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）某條道路限速，如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方的C處，過了，小汽車到達B處，此時測得小汽車與車速檢測儀間的距離為．

(1)求的長；(2)這輛小汽車超速了嗎？【變式1】（2023春·八年級課時練習）如圖，一輛小汽車在一條限速的街路上沿直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面車速檢測儀A的正前方處的C點，過了后，測得小汽車所在的B點與車速檢測儀A之間的距離為．(1)求B，C間的距離．(2)這輛小汽車超速了嗎？請說明理由．【變式2】（2023春·全國·八年級專題練習）“交通管理條例第三十五條”規(guī)定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過70千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方50米處，過了6秒后，測得小汽車與車速檢測儀距離130米．(1)求小汽車6秒走的路程；(2)求小汽車每小時所走的路程，并判定小汽車是否超速？題型09判斷是否受臺風影響【典例1】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）6號臺風“煙花”風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力．如圖，臺風“煙花”中心沿東西方向由A向B移動，已知點C為一海港，且點C與直線AB上的兩點A、B的距離分別為，，又，經(jīng)測量，距離臺風中心及以內(nèi)的地區(qū)會受到影響．(1)海港C受臺風影響嗎？為什么？(2)若臺風中心的移動速度為千米/時，則臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長？【變式1】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，某沿海城市A接到臺風警報，在該市正南方向的B處有一臺風中心正以的速度向方向移動，已知城市A到的距離，那么：(1)臺風中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？(2)如果在距臺風中心的圓形區(qū)域內(nèi)都有受到臺風破壞的危險，為讓D點的游人脫離危險，游人必須在接到臺風警報后的幾小時內(nèi)撤離（撤離速度為）最好選擇什么方向？【變式2】（2023春·湖南郴州·八年級?？茧A段練習）如圖，有一輛環(huán)衛(wèi)車沿公路由點A向點B行駛，已知點C為一所學校，且點C與直線上兩點A，B的距離分別為200m和150m，，環(huán)衛(wèi)車周圍以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域.(1)學校C會受噪聲影響嗎？為什么？(2)若環(huán)衛(wèi)車噪聲影響該學校持續(xù)的時間有2min，求環(huán)衛(wèi)車的行駛速度為多少？題型10求最短路徑【典例1】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級校聯(lián)考階段練習）有一圓柱形油罐，如圖，要從點A環(huán)繞油罐建梯子，正好到A點的正上方點B，問梯子最短要多少米？（已知油罐底面周長是12米，高是5米）【變式1】（2023春·八年級單元測試）如圖，在長方體中，點E是棱的中點，已知cm，cm，cm．一只小蟲從A點出發(fā)沿長方體的表面到E點處覓食，求小蟲爬行的最短距離．【變式2】（2023春·全國·八年級專題練習）問題情境：如圖①，一只螞蟻在一個長為80cm，寬為50cm的長方形地毛毯上爬行，地毯上堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱平行且等于場地寬，木塊從正面看是一個邊長為20cm的等邊三角形．求一只螞蟻從點A處到達點C處需要走的最短路程．(1)數(shù)學抽象：將螞蟻爬行過的木塊的側(cè)面“拉直”“鋪平”，“化曲為直”．請在圖②中用虛線補全木塊的側(cè)面展開圖，并用實線連接．(2)線段的長即螞蟻從點處到達點處需要走的最短路程，依據(jù)是_____．(3)問題解決：如圖②，展開圖中_____，_____．(4)這只螞蟻從點處到達點處需要走的最短路程是_____．題型11選址使到兩地距離相等【典例1】（2023春·江西贛州·八年級?？计谥校榱素S富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖中所在的直線上建一圖書室，本社區(qū)有兩所學校，分別在點C和點D處，于點A，于點B，已知，問：圖書室E應建在距點A多少千米處，才能使它到兩所學校的距離相等？

【變式1】（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，筆直公路上、兩點相距千米，、為兩居民區(qū)，于，于，已知千米，千米，現(xiàn)要在公路段上建一超市，使、兩居民區(qū)到的距離相等，則超市應建在離處多遠處．【變式2】（2023春·八年級課時練習）為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖中的所在的直線上建一圖書室，本社區(qū)有兩所學校所在的位置在點和點處，于，于，已知，，，，試問，圖書室應該建在距點多少知處．才能使它到兩所學校的距離相等？一、選擇題1．（2023春·廣東云浮·八年級統(tǒng)考期中）海洋熱浪對全球生態(tài)帶來了嚴重影響，全球變暖導致華南地區(qū)汛期更長、降水強度更大，使得登錄廣東的臺風減少，但是北上的臺風增多．如圖，一棵大樹在一次強臺風中距地面處折斷，倒下后樹頂端著地點A距樹底端B的距離為，這棵大樹在折斷前的高度為（

）

A． B． C． D．2．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）如圖，點P為觀測站，一艘巡航船位于觀測站P的南偏西方向的點A處，一艘漁船在觀測站P的南偏東方向的點B處，巡航船和漁船與觀測站P的距離分別為45海里、60海里．現(xiàn)漁船發(fā)生緊急情況無法移動，巡航船以30海里/小時的速度前去救助，至少需要的時間是（

）

A．小時 B．2小時 C．小時 D．4小時3．（2023春·福建莆田·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示的是一個長方體筆筒，底面的長、寬分別為和，高為，將一支長為的簽字筆放入筆筒內(nèi)，則簽字筆露在筆筒外的的長度最少為（

）

A． B． C． D．4．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考二模）勾股定理是人類數(shù)學文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度BE=1m，將它往前推6m至C處時（即水平距離CD=6m），踏板離地的垂直高度CF=4m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長是（

）

A．m B．m C．6m D．m5．（2023春·四川德陽·八年級四川省德陽市第二中學校校考階段練習）如圖，長方體的長，寬，高，點M在上，且，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點M，需要爬行的最短距離是（

）

A． B． C． D．二、填空題6．（2023春·天津濱海新·八年級?？计谥校┤鐖D，從電桿上離地面的處向地面拉一條長為的鋼纜，則地面鋼纜到電線桿底部的距離是______．7．（2023春·湖南長沙·八年級校聯(lián)考期中）如圖，有兩棵樹，一棵高米，另一棵高米，兩樹相距米一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行______米

8．（2023春·八年級課時練習）如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點A處偏離欲到達地點B處40m，結(jié)果他在水中實際游的路程比河的寬度多10m．該河的寬度BC為_____米．9．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，鐵路和公路在點處交匯，，公路上處距離點240米，如果火車行駛時，火車頭周圍150米以內(nèi)會受到噪音的影響，那么火車在鐵路上沿方向以72千米/小時的速度行駛時，處受到噪音影響的時間為________秒．10．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對的點處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為___________．（杯壁厚度不計）

三、解答題11．（2023春·廣東惠州·八年級階段練習）如圖，在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹20米的池塘C，而另一只爬到樹頂D后直撲池塘C，結(jié)果兩只猴子經(jīng)過的距離相等，問這棵樹有多高？12．（2023春·黑龍江大慶·七年級校聯(lián)考期中）如圖，鐵路上，兩點相距，，為兩村莊，于點，于點，已知，，現(xiàn)在要在鐵路上建一個土特產(chǎn)品收購站，使得，兩村到站的距離相等，則站應建在離站多少處？

13．（2023春·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向320km的B處，以每小時40km的速度向北偏東60°的方向移動，距離臺風中心200km的范圍內(nèi)是受臺風影響的區(qū)域．(1)A城是否受到這次臺風的影響？為什么？(2)若A城受到這次臺風影響，則A城遭受這次臺風影響有多長時間？14．（2023春·廣東廣州·八年級華南師大附中?？计谥校┤鐖D，A、B兩個村子在筆直河岸的同側(cè)，A、B兩村到河岸的距離分別為，，，現(xiàn)在要在河岸上建一水廠E向A、B兩村輸送自來水，要求水廠E到A、B兩村的距離之和最短．(1)在圖中作出水廠E的位置（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求水廠E到A、B兩村的距離之和的最小值．15．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，一架長10米的梯子，斜靠在豎直的墻上，這時梯子底端離墻6米(1)此時梯子頂端A離地面多少