2023-2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)培優(yōu)教案9.1《統(tǒng)計》 原卷版

頁第九章統(tǒng)計與統(tǒng)計案例第一節(jié)統(tǒng)計核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本，凸顯數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．2．借助頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖，提升讀圖、數(shù)據(jù)分析的能力，凸顯直觀想象、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．3．能從樣本數(shù)據(jù)中提取樣本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并做出合理的解釋，凸顯數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．4．會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征．理解用樣本估計總體的思想，會用樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．簡單隨機抽樣(1)抽取方式：逐個不放回地抽?。?2)特點：每個個體被抽到的概率相等．(3)常用方法：抽簽法和隨機數(shù)法．2．分層抽樣(1)在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．3．作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；(2)決定組距與組數(shù)；(3)將數(shù)據(jù)分組；(4)列頻率分布表；(5)畫頻率分布直方圖．4．頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖．(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線．5．樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(3)平均數(shù)：把eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù)．(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是s＝eq\r(\f(1,n)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2)))，s2＝eq\f(1,n)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2)).[澄清盲點誤點]一、關(guān)鍵點練明1．某公司生產(chǎn)A，B，C三種不同型號的轎車，其產(chǎn)量之比為2∶3∶4，為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，用分層抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本，若樣本中A種型號的轎車比B種型號的轎車少8輛，則n＝()A．96B．72C．48D．362．某城市收集并整理了該市2020年1月份至10月份每月最低氣溫與最高氣溫(單位：℃)的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖，已知該市每月的最低氣溫與當(dāng)月的最高氣溫兩變量具有較好的線性關(guān)系，則根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是()A．每月的最低氣溫與當(dāng)月的最高氣溫兩變量為正相關(guān)B．10月份的最高氣溫不低于5月份的最高氣溫C．月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在1月份D．最低氣溫低于0℃的月份有4個3．若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)eq\x\to(x)＝5，方差s2＝2，則數(shù)據(jù)3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均數(shù)和方差分別為()A．5,2B．16,2C．16,18D．16,94．(頻率分布直方圖)如圖是100位居民月均用水量的頻率分布直方圖，則月均用水量為[2,2.5)范圍內(nèi)的居民數(shù)有________人．二、易錯點練清1．一個總體分為A，B兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本．已知B層中每個個體被抽到的概率都為eq\f(1,12)，則總體中的個體數(shù)為()A．40B．60C．80D．1202．為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學(xué)隨機抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，得分(十分制)如圖所示，假設(shè)得分的中位數(shù)為m，眾數(shù)為n，平均數(shù)為eq\x\to(x)，則m，n，eq\x\to(x)的大小關(guān)系為________．(用“<”連接)考點一抽樣方法[典題例析](1)某公司決定利用隨機數(shù)表對今年新招聘的800名員工進(jìn)行抽樣調(diào)查他們對目前工作的滿意程度，先將這800名員工進(jìn)行編號，編號分別為001,002，…，799,800，從中抽取80名進(jìn)行調(diào)查，下面提供隨機數(shù)表的第4行到第6行：322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324377892345若從表中第5行第6列開始向右依次讀取3個數(shù)據(jù)，則抽到的第5名員工的編號是()A．007B．253C．328D．736(2)某市小學(xué)，初中，高中在校學(xué)生人數(shù)分別為7.5萬，4.5萬，3萬．為了調(diào)查全市中小學(xué)生的體質(zhì)健康狀況，擬隨機抽取1000人進(jìn)行體質(zhì)健康檢測，則應(yīng)抽取的初中生人數(shù)為()A．750B．500C．450D．300[方法技巧]1．應(yīng)用隨機數(shù)法的兩個關(guān)鍵點(1)確定以表中的哪個數(shù)(哪行哪列)為起點，以哪個方向為讀數(shù)的方向；(2)讀數(shù)時注意結(jié)合編號特點進(jìn)行讀?。艟幪枮閮晌粩?shù)字，則兩位兩位地讀?。蝗艟幪枮槿粩?shù)字，則三位三位地讀取，有超過總體號碼或出現(xiàn)重復(fù)號碼的數(shù)字舍去，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本．2．解決分層抽樣的常用公式先確定抽樣比，然后把各層個體數(shù)乘以抽樣比，即得各層要抽取的個體數(shù)．(1)抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝eq\f(各層樣本容量,各層個體總量)；(2)層1的容量∶層2的容量∶層3的容量＝樣本中層1的容量∶樣本中層2的容量∶樣本中層3的容量．[針對訓(xùn)練]1．利用簡單隨機抽樣，從n個個體中抽取一個容量為10的樣本．若第二次抽取時，余下的每個個體被抽到的概率為eq\f(1,3)，則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的概率為()A.eq\f(1,4)B．eq\f(1,3)C.eq\f(5,14)D．eq\f(10,27)2.隨著時代的發(fā)展，移動通信技術(shù)的進(jìn)步，各種智能手機不斷更新?lián)Q代，給人們的生活帶來了巨大的便利，但與此同時，長時間低頭看手機對人的身體如頸椎、眼睛等會造成一定的損害，“低頭族”由此而來．為了了解某群體中“低頭族”的比例，現(xiàn)從該群體包括老、中、青三個年齡段的1500人中采取分層抽樣的方法抽取50人進(jìn)行調(diào)查，已知這50人里老、中、青三個年齡段的分配比例如圖所示，則這個群體里老年人人數(shù)為()A．490B．390C．1110D．410考點二統(tǒng)計圖表及應(yīng)用考法(一)折線圖與扇形圖[例1](1)(多選)某調(diào)查機構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中正確的是()注：90后指1990年及以后出生，80后指1980～1989年之間出生，80前指1979年及以前出生．A．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%C．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后比80前多D．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多(2)(多選)空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣狀況的指數(shù)，AQI指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好，其對應(yīng)關(guān)系如下表：AQI指數(shù)0～5051～100101～150151～200201～300>300空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染下圖是某市10月1日～20日AQI指數(shù)變化趨勢，則下列敘述正確的是()A．這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B．這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占eq\f(1,4)C．該市10月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好D．總體來說，該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的好考法(二)頻率分布直方圖[例2]我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求直方圖中a的值；(2)設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，估計x的值，并說明理由．[方法技巧]1．由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計算需掌握的2個關(guān)系式(1)eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率．(2)eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，此關(guān)系式的變形為eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．2．利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征的方法(1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數(shù)的值．(2)平均數(shù)：平均數(shù)的估計值等于每個小矩形的面積乘以矩形底邊中點橫坐標(biāo)之和．(3)眾數(shù)：最高的矩形的中點的橫坐標(biāo)．[針對訓(xùn)練]1．已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取30%的戶主進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為()A．240,18B．200,20C．240,20D．200,182．港珠澳大橋于2018年10月2日正式通車，它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長55千米．橋面為雙向六車道高速公路，大橋通行限速100km/h，現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查．畫出頻率分布直方圖(如圖)，根據(jù)直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為()A．300,0.25B．300,0.35C．60,0.25D．60,0.353．(多選)某院校教師情況如下表所示：類別年度老年中年青年男女男女男女201812060240120100402019210403202002001202020300150400270320280關(guān)于2018年、2019年、2020年這3年該院校的教師情況，下面說法正確的是()A．2019年男教師最多B．該校教師最多的是2020年C．2019年中年男教師比2018年多80人D．2018年到2020年，該校青年年齡段的男教師人數(shù)增長率為220%考點三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征[典例]某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個等級．加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元．該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù)．甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件．廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)28173421(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)？[方法技巧]利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．(2)用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征．[針對訓(xùn)練]某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)的400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)按[20,30)，[30,40)，…，[80,90]分成7組，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)估計總體的眾數(shù)；(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女學(xué)生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．創(chuàng)新思維角度——融會貫通學(xué)妙法巧解平均數(shù)和方差類型(一)找齊法在計算平均數(shù)時，如果這些數(shù)字都在某個數(shù)字左右擺動，就選取一個數(shù)字作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行找齊．[例1]計算數(shù)據(jù)87,86,90,82,83,85,88,80,79,90的平均數(shù)和方差．[名師微點]找齊法的依據(jù)是平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝eq\f(x1－a＋x2－a＋…＋xn－a＋na,n)＝a＋eq\f(x1－a＋x2－a＋…＋xn－a,n)；方差s2＝eq\f(1,n)×[(x1﹣eq\x\to(x))2＋(x2﹣eq\x\to(x))2＋…＋(xn﹣eq\x\to(x))2]＝eq\f(1,n)×{[(x1﹣a)﹣(eq\x\to(x)﹣a)]2＋[(x2﹣a)﹣(eq\x\to(x)﹣a)]2＋…＋[(xn﹣a)﹣(eq\x\to(x)﹣a)]2}，其中a為選取作為標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)字，在使用找齊法時a的選取可以多種多樣，原則是便于計算．類型(二)方差的簡化公式法方差的一個簡化公式是s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))﹣n(eq\x\to(x))2]＝eq\x\to(x2)﹣(eq\x\to(x))2(其中eq\x\to(x2)＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n)))，只要把方差公式展開進(jìn)行重組即可證明．[例2]計算數(shù)據(jù)54,55,53,56,57,58的方差．[例3]設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1,10x2，…，10xn的方差為()A．0.01B．0.1C．1D．10[例4]2020年初新冠肺炎疫情襲擊全國，口罩成為重要的抗疫物資，為了確?？谡止?yīng)，某工廠口罩生產(chǎn)線高速運轉(zhuǎn)，工人加班加點生產(chǎn)，設(shè)該工廠連續(xù)5天生產(chǎn)的口罩?jǐn)?shù)依次為x1，x2，x3，x4，x5(單位：十萬只)，若這組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的方差為1.44，且xeq\o\al(2,1)，xeq\o\al(2,2)，xeq\o\al(2,3)，xeq\o\al(2,4)，xeq\o\al(2,5)的平均數(shù)為4，則該工廠這5天平均每天生產(chǎn)口罩________十萬只．eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])1．(多選)為了了解全校1740名學(xué)生的身高情況，從中抽取140名學(xué)生進(jìn)行測量，下列說法正確的是()A．總體是1740B．個體是每一個學(xué)生的身高C．樣本是140名學(xué)生D．樣本量是1402．福利彩票“雙色球”中紅色球的號碼由編號為01,02，…，33的33個個體組成，某彩民利用下面的隨機數(shù)表選取6組數(shù)作為6個紅色球的編號，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第6個紅色球的編號為()49544354821737932378873520964384263491645724550688770474476721763350258392120676A．23B．09C．02D．173．《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著．某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為()A．0.5B．0.6C．0.7D．0.84．(多選)設(shè)矩形的長為a，寬為b，其比滿足b∶a＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，這種矩形給人以美感，稱為黃金矩形，0.618稱為標(biāo)準(zhǔn)值．黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計中，下面是某工藝品廠隨機抽取兩個批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620則下列結(jié)論正確的是()A．甲批次的總體平均數(shù)比標(biāo)準(zhǔn)值高B．乙批次的總體平均數(shù)比標(biāo)準(zhǔn)值低C．甲、乙批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值相比，甲更接近D．兩個批次之和的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值相同5．(多選)CPI是居民消費價格指數(shù)的簡稱，它是一個反映居民家庭一般所購買的消費品和服務(wù)項目價格水平變動情況的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)．下圖為國家統(tǒng)計局發(fā)布的2018年2月～2019年2月全國居民消費價格指數(shù)(CPI)數(shù)據(jù)折線圖(注：同比是今年第n個月與去年第n個月之比；環(huán)比表示連續(xù)2個單位周期(比如連續(xù)兩月)內(nèi)的量的變化比，環(huán)比增長率＝(本期數(shù)﹣上期數(shù))/上期數(shù)×100%)．下列說法正確的是()A．2019年2月份居民消費價格同比上漲1.5%B．2019年2月份居民消費價格環(huán)比上漲1.0%C．2018年6月份居民消費價格環(huán)比下降0.1%D．2018年11月份居民消費價格同比下降0.3%6．(多選)在某次高中學(xué)科知識競賽中，對4000名考生的參賽成績進(jìn)行統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作代表值，則下列說法中正確的是()A．成績在[70,80)的考生人數(shù)最多B．不及格的考生人數(shù)為1000C．考生競賽成績的平均分約為70.5分D．考生競賽成績的中位數(shù)約為75分7．在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05.志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者()A．10名B．18名C．24名D．32名8．高鐵、掃碼支付、共享單車、網(wǎng)購并稱中國“新四大發(fā)明”，近日對全國100個城市的共享單車和掃碼支付的使用人數(shù)進(jìn)行大數(shù)據(jù)分析，其中共享單車使用的人數(shù)分別為x1，x2，x3，…，x100，它們的平均數(shù)為eq\x\to(x)，方差為s2；其中掃碼支付使用的人數(shù)分別為3x1＋2,3x2＋2,3x3＋2，…，3x100＋2，它們的平均數(shù)為eq\x\to(x′)，方差為s′2，則eq\x\to(x′)，s′2分別為()A．3eq\x\to(x)＋2,3s2＋2B．3eq\x\to(x)，3s2C．3eq\x\to(x)＋2