基于加權(quán)馬爾可夫鏈的廣西降水預(yù)測

基于加權(quán)馬爾可夫鏈的廣西降水預(yù)測

0基于馬爾可夫鏈的降水序列模型馬可夫鏈?zhǔn)邱R可夫鏈的一個(gè)過程，需要時(shí)間。它的主要基本特征是“馬氏性”，也被稱為“無后效性”。也就是說，在系統(tǒng)的“當(dāng)前”狀態(tài)下，“未來”的狀態(tài)與“過去”的狀態(tài)無關(guān)。在現(xiàn)實(shí)生活中，它經(jīng)常扮演著各種各樣的角色，比如生物群體的生長和死亡，以及單位期間電話交換平臺的呼叫次數(shù)。對于狀態(tài)不同的特定事物和現(xiàn)象的時(shí)間序列，可以被視為馬可夫鏈。根據(jù)n時(shí)的狀態(tài)，可以預(yù)測n-1時(shí)的狀態(tài)。這是解決各種預(yù)測問題的基本思想。由于氣象條件的復(fù)雜性、多樣性和變異性,使得降水過程存在著大量的不確定性,從而導(dǎo)致中長期降雨量的預(yù)測成為了氣象科學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)問題,很難通過物理成因來準(zhǔn)確預(yù)測出某地區(qū)未來中長期降雨量.在實(shí)際應(yīng)用中,通常僅需預(yù)測出未來某時(shí)段降雨量的變化范圍就可以滿足精度需要.常用的馬爾可夫鏈預(yù)測方法很多,而加權(quán)馬氏鏈預(yù)測方法引入了權(quán)重以表征各步長滯時(shí)的轉(zhuǎn)移概率矩陣對預(yù)測結(jié)果的影響的強(qiáng)弱關(guān)系,同時(shí),通過對降水量序列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析得知,降水量為一相依隨機(jī)變量,可采用自相關(guān)系數(shù)來定量描述這種相依性的強(qiáng)弱.本文以廣西全區(qū)5月降水狀態(tài)的預(yù)測為實(shí)例,利用加權(quán)馬爾可夫鏈對降水序列狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測.1馬爾可夫鏈與加權(quán)馬爾可夫鏈的預(yù)測1.1齊次馬爾可夫鏈的初始分布馬爾可夫鏈的數(shù)學(xué)模型表述如下:定義在概率空間(Ω,F,P)的隨機(jī)序列{X(t),t∈T},其中參數(shù)集T={0,1,2,…},狀態(tài)空間E={0,1,2,…},稱為馬爾可夫鏈,如果對任意的正整數(shù)l,m,k及任意的非負(fù)整數(shù)jl>…>j2>j1(m>jl),im+k,im,ijl,…,ij2,ij1∈E有(1)式成立.P(X(m+k)=im+k|X(m)=im,X(jl)=jl,…,X(j2)=j2,X(j1)=j1)=P(X(m+k)=im+k|X(m)=im)(1)在實(shí)際應(yīng)用中,(1)式的右端常記為P(X(m+k)=im+k|X(m)=im)=P(Xm+k=j|Xm=i)=pij(m,k)一般考慮齊次馬爾可夫鏈,即對任意的m,k∈T,有pij(m,k)=pij(k)(i,j∈E)(2)在(2)式中,pij(m,k)為系統(tǒng)在m時(shí)刻處在狀態(tài)i、經(jīng)k步轉(zhuǎn)移到達(dá)狀態(tài)j的概率,pij(k)為系統(tǒng)從狀態(tài)i、經(jīng)k步轉(zhuǎn)移到達(dá)狀態(tài)j的概率,此時(shí)轉(zhuǎn)移概率與初始時(shí)刻無關(guān),k=1時(shí),pij(1)記為pij.齊次馬爾可夫鏈完全由其初始分布{p0(i0),i0∈E}及其一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P=(pij)i,j∈E所決定.若已知時(shí)刻n時(shí)的絕對分布P(n)={pn(j),j∈E},則時(shí)刻n+1時(shí)的絕對分布P(n+1)=P(n)P=P(0)Pn1.2轉(zhuǎn)移概率矩陣法對具有N個(gè)狀態(tài)的馬氏鏈,描述它的概率性質(zhì),最重要的是它在n時(shí)刻處于狀態(tài)i下一時(shí)刻轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的一步轉(zhuǎn)移概率:P(Xn+1=j|Xn=i)=pij(n),i,j=1,2,…,N若假定上式與n無關(guān),即pij(0)=pij(1)=…=pij(n)=…,則可記為pij(此時(shí),稱過程是平穩(wěn)的),記Ρ=(p11p12?p1Νp21p22?p2Ν????pΝ1pΝ2?pΝΝ)(3)P=?????p11p21?pN1p12p22?pN2????p1Np2N?pNN?????(3)稱(3)為轉(zhuǎn)移概率矩陣.轉(zhuǎn)移概率矩陣具有下述性質(zhì):1)pij≥0,i,j=1,2,…,N,即每個(gè)元素非負(fù);2)Ν∑j=1pij=1,i=1,2,?,Ν2)∑j=1Npij=1,i=1,2,?,N,即矩陣每行的元素和等于1.如果我們考慮狀態(tài)多次轉(zhuǎn)移的情況,則有過程在n時(shí)刻處于狀態(tài)i,n+k時(shí)刻轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的k步轉(zhuǎn)移概率:P(Xn+k=j|Xn=i)=p(k)ij(n),i,j=1,2,…,N1.3馬爾可夫鏈預(yù)測的步驟由于降水量是一列相依的隨機(jī)變量,因此不宜僅作為一階馬爾可夫鏈來處理,而是有必要考慮連續(xù)多階的相互影響.各階自相關(guān)系數(shù)刻畫了各種滯時(shí)的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱.因此,可考慮先分別依其前面若干年的降水對該年降水狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測,然后,按前面各年與該年相依關(guān)系的強(qiáng)弱加權(quán)求和,即達(dá)到了充分、合理地利用信息進(jìn)行預(yù)測的目的.馬爾可夫鏈預(yù)測的具體方法步驟如下:1)建立資料序列的分級標(biāo)準(zhǔn)(相當(dāng)于確定馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間);2)按所建立的分級標(biāo)準(zhǔn),確定資料序列中各年降水強(qiáng)度的狀態(tài);3)對資料序列作馬氏性檢驗(yàn);4)計(jì)算各階自相關(guān)系數(shù),對各階自相關(guān)系數(shù)規(guī)范化,計(jì)算各種滯時(shí)的馬爾可夫鏈的權(quán)重;5)計(jì)算不同滯時(shí)(步長)的馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣;6)分別以前面若干年的降水狀態(tài)為初始狀態(tài),結(jié)合其相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣即可預(yù)測出該年降水的狀態(tài)概率;7)將同一狀態(tài)的各預(yù)測概率加權(quán)和作為資料序列處于該狀態(tài)的預(yù)測概率,進(jìn)一步對該馬爾可夫鏈的特征(遍歷性、平穩(wěn)分布等)進(jìn)行分析.2廣西5月降水量根據(jù)1958~2003年廣西5月平均降水量資料,可算得降雨量的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差,于是,我們利用均值與標(biāo)準(zhǔn)差將降雨量分為4個(gè)等級,如表1所示,根據(jù)狀態(tài)分級表我們得到1958~2003年廣西5月平均降水量各年對應(yīng)的狀態(tài),如表2所示.2.1pij的估計(jì)為了用馬爾可夫鏈去做預(yù)測,根據(jù)表2實(shí)測資料估計(jì)出馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率.首先由表2提供的資料可算得狀態(tài)i經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移到達(dá)狀態(tài)j的頻數(shù)fij,由fij(i,j=1,2,3,4)組成的矩陣如(4)式所示,(fij)4×4=(1232253344621240)(4)(fij)4×4=?????1241254233642320?????(4)由頻率的穩(wěn)定性知,將轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣的第i行第j列元素fij除以各行的總和所得的轉(zhuǎn)移頻率作為轉(zhuǎn)移頻率的估計(jì),即pij=fij/m∑j=1fij?(i,j=1,2,3,4)pij=fij/∑j=1mfij?(i,j=1,2,3,4),從而得到一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為(pij)4×4=(1/81/43/81/42/135/133/133/134/164/166/162/161/72/74/70)=(0.12500.25000.37500.25000.15380.38460.23080.23080.250.250.3750.1250.14290.28570.57140)(5)(pij)4×4=??????1/82/134/161/71/45/134/162/73/83/136/164/71/43/132/160??????=?????0.12500.15380.250.14290.25000.38460.250.28570.37500.23080.3750.57140.25000.23080.1250?????(5)2.2降水序列馬氏性分析檢驗(yàn)隨機(jī)序列{x1,x2,…,xn}是否具有馬氏性,是應(yīng)用馬爾可夫鏈模型分析和解決實(shí)際問題的前提.通常離散序列的馬爾可夫鏈可用χ2統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn).當(dāng)n充分大時(shí),檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量χ2=2m∑i=1m∑j=1fij|lnpijp.j|(6)χ2=2∑i=1m∑j=1mfij|lnpijp.j|(6)近似服從自由度為(m-1)2的χ2分布.其中fij表示序列x1,x2,…,xn中從狀態(tài)i經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移到達(dá)狀態(tài)j的頻數(shù),pij為轉(zhuǎn)移概率,p.j=m∑i=1pij(j=1,2,?,m)為邊際概率,m為狀態(tài)數(shù).由(4)、(5)、(6)可算得χ2=116.1952,給定顯著性水平α=0.05,由于χ2>χ2α((m-1)2)=χ20.05(9)=16.919,因此認(rèn)為降水序列{xn}符合馬氏性.2.3降水序列的自相關(guān)系數(shù)計(jì)算計(jì)算降水序列{x1,x2,…,xn}的各階自相關(guān)系數(shù)rk(k=1,2,…,m),并對各階自相關(guān)系數(shù)rk(k=1,2,…,m)規(guī)范化,作為各種滯時(shí)(步長)的馬爾可夫鏈的權(quán)重wk(k=1,2,…,m),計(jì)算公式如(7)式rk=n-k∑l=1(xl-ˉx)(xl+k-ˉx)n∑l=1(xl-ˉx)2?wk=|rk|m∑k=1|rk|(7)在式(7)中,rk為第k階(滯時(shí)為k年的)自相關(guān)系數(shù),xl為第l時(shí)段的指標(biāo)值,ˉx為指標(biāo)值均值,n為指標(biāo)值序列長度,m為按預(yù)測需要計(jì)算到的最大階數(shù).利用MATLAB6.5計(jì)算1958~2003年5月降水量序列的自相關(guān)系數(shù),結(jié)果如表3所示:2.4u3000年5月降水量的預(yù)測同時(shí)根據(jù)切普曼—柯爾莫哥洛夫方程與計(jì)算各種步長的馬爾可夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣如下:Ρ(1)=(0.12500.25000.37500.25000.15380.38460.23080.23080.25000.25000.37500.12500.14290.28570.57140)?Ρ(2)=(0.18350.29260.38810.13580.16910.31000.36490.15610.18130.28810.36350.16710.20470.28850.33380.1731)?Ρ(3)=(0.18440.29420.35950.16190.18230.29730.36090.15940.18170.29470.36630.15730.17810.29500.36740.1595)?Ρ(4)=(0.18130.29540.36440.15890.18150.29570.36340.15930.18210.29530.36340.15920.18230.29540.36380.1585)依據(jù)2000~2003年的資料及其對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣對2004年的降雨量所對用狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測,將同一狀態(tài)的各預(yù)測概率加權(quán)和作為指標(biāo)值處于該狀態(tài)的預(yù)測概率,即pi=4∑k=1wkΡ(k)i?(i=1,2,3,4)(8)由表4可知,max{p1,p2,p3,p4}=0.3667=p3,即所對應(yīng)的i=3即為該時(shí)段指標(biāo)值的預(yù)測狀態(tài),可見2004年廣西5月降水量的預(yù)測狀態(tài)是3,即2004年5月的平均降水量在230.9~294.3mm之間,屬于偏豐降水范圍.實(shí)際資料表明,廣西2004年5月平均降水量為239.2mm,預(yù)測結(jié)果與實(shí)況相吻合.2.5偏豐年降水的概率從表4中,可以看出步長為3的馬爾可夫鏈的相依性較強(qiáng),因此可進(jìn)一步對該馬爾可夫鏈的遍歷性、平穩(wěn)分布進(jìn)行分析.此時(shí)的轉(zhuǎn)移概率矩陣是P(3),由于P(3)所決定的馬爾可夫鏈的4個(gè)狀態(tài)是互通的,即對?i,j∈E,i?j(i≠j),且為非周期的,其全部狀態(tài)構(gòu)成的狀態(tài)空間是一個(gè)閉集,可見此鏈?zhǔn)遣豢杉s的.從而這是一個(gè)有限狀態(tài)非周期不可約馬爾可夫鏈,因此這是一個(gè)正常返鏈,從而是一個(gè)遍歷鏈.因此,根據(jù)遍歷性定理,該鏈存在唯一的平穩(wěn)分布,此時(shí)的平穩(wěn)分布即為它的極限分布.極限分布求解方程為4∑j=1πj=1,πj=4∑i=1πipij?(j=1,2,3,4)(9)由(5)、(9)式可得到如(10)式的方程組{π1+π2+π3+π4=1π1=0.125π1+0.1538π2+0.25π3+0.1429π4π2=0.25π1+0.3846π2+0.25π3+0.2857π4π3=0.375π1+0.2308π2+0.375π3+0.5714π4(10)解方程組(10)得π1=0.1818,π2=0.2954,π3=0.3636,π4=0.1591,由此可解得平穩(wěn)分布與各狀態(tài)的重現(xiàn)期如表4所示,其中狀態(tài)i的重現(xiàn)期Ti=μi=1/πi,對應(yīng)的概率Pi=πi(i=1,2,3,4).由上面的分析可知:按照本文確定的分級標(biāo)準(zhǔn),根據(jù)現(xiàn)有的資料信息,在47年的降水過程中偏豐年出現(xiàn)的機(jī)會最大,平均每隔2.7503a出現(xiàn)1次,出現(xiàn)的概率為36.36%;豐澇出現(xiàn)的機(jī)會最小,出現(xiàn)的概率僅為0.1591%,平均每隔6.2854a才出現(xiàn)1次.3預(yù)報(bào)對象實(shí)測值的確定在水文及氣象科學(xué)中,降水量的預(yù)測是一項(xiàng)非常重要的工作,應(yīng)用樣本均值標(biāo)準(zhǔn)差分級法來確定分級數(shù),有效地刻畫降水量序列內(nèi)在的分布規(guī)律,使劃分的降水量區(qū)間(分級標(biāo)準(zhǔn))更加合理.預(yù)測結(jié)果為降水量的某一個(gè)狀態(tài),是一個(gè)區(qū)間值,而不是一個(gè)具體的數(shù)值,在可以完全滿足實(shí)際工作需要的前提下,預(yù)測的范圍擴(kuò)大了,其可靠性也會隨之有所提高.由于以各種步長的自相關(guān)系數(shù)為權(quán)重,用各種步長的馬爾可夫鏈加權(quán)來預(yù)測降水量狀態(tài),所