電磁場與電磁波第一章矢量分析

1第一章矢量分析2本章內容1.1矢量代數(shù)1.2三種常用的正交曲線坐標系1.3

標量場的梯度1.4

矢量場的通量與散度1.5

矢量場的環(huán)流與旋度1.6

無旋場與無散場31.標量和矢量矢量的大小或模：單位矢量：標量：一個只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示：1.1矢量代數(shù)矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。

矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示

要注意：單位矢量不一定是常矢量。

矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。

4用坐標分量表示矢量：zxy5（1）矢量的加減法

兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結合律2.矢量的代數(shù)運算矢量的加法矢量的減法在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：結合律交換律6（2）標量乘矢量（3）矢量的標積（點積）——矢量的標積符合交換律q矢量與的夾角7（4）矢量的矢積（叉積）qsinABq矢量與的叉積用坐標分量表示為寫成行列式形式為若，則若，則8（5）矢量的混合運算——

分配律——

分配律——

標量三重積——

矢量三重積9

三維空間任意一點的位置可以通過三條正交曲線的交點來確定。1.2

三種常用的正交曲線坐標系

在電磁場與電磁波理論中，三種常用的正交曲線坐標系分別為：直角坐標系、圓柱坐標系和球坐標系。

采用三條正交曲線確定三維空間中任意點位置的坐標系，稱為正交曲線坐標系；三條正交曲線稱為坐標軸；描述坐標軸的量稱為坐標變量。101.直角坐標系

位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標變量坐標單位矢量點P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標系

x

yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元

odzdydx11圓柱坐標系（半平面）（圓柱面）（平面）2.圓柱坐標系坐標變量坐標單位矢量位置矢量線元矢量度規(guī)系數(shù)12體積元面元矢量圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系（半平面）（圓柱面）（平面）133.球坐標系坐標變量坐標單位矢量位置矢量線元矢量球坐標系（半平面）（圓錐面）（球面）度規(guī)系數(shù)14體積元面元矢量球坐標系中的線元、面元和體積元154.各坐標系單位矢量之間的關系

直角坐標與圓柱坐標系圓柱坐標與球坐標系？直角坐標與球坐標系ofxy單位圓

直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關系foqrz單位圓

柱坐標系與球坐標系之間坐標單位矢量的關系qq直角坐標與球坐標系的單位矢量之間的關系161.3標量場的梯度如果表示“場”的物理量是標量，則稱為標量場。

例如：溫度場、電位場、高度場等。如果表示“場”的物理量是矢量，則稱為矢量場。

例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時間無關，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。時變的標量場和矢量場分別表示為：

從數(shù)學上看，“場”是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標量場和矢量場靜態(tài)的標量場和矢量場分別表示為：17標量場的等值面 等值面:

場值相同的點所形成的曲面。等值面方程：標量場取值不同的等值面，形成了等值面族；標量場的等值面互不相交。等值面的特點：意義:

形象直觀地描述了場量在空間的分布情況。標量場的等值線(面)2.方向導數(shù)意義：方向導數(shù)表示場沿某方向的空間變化率。方向導數(shù)的定義：

M0M方向導數(shù)的概念

——

的方向余弦。

式中：

3.標量場的梯度（或）意義：梯度大小表示標量場在某點的最大空間變化率，其方向表示標量場空間變化率最大的方向。概念：，其中

取得最大值的方向直角坐標系

稱為標量場u

的梯度三種坐標系中梯度的表達式：圓柱坐標系

球坐標系直角坐標系

標量場的梯度在某方向的投影等于標量場沿該方向的方向導數(shù)。梯度的重要性質：梯度的基本運算公式：標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）。1.4矢量場的通量與散度

1.矢量場的場線

意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態(tài)。矢量場線的方程：概念——矢量場線是有向曲線族：其上每一點的切線方向代表該點處矢量場的方向；曲線的密集程度表示該處矢量場的強弱。矢量場線OM

232.矢量場的通量

通量的概念其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面積元的通量。

如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內指向外，矢量場對“閉合曲面”的通量為：面積元矢量243.矢量場的散度——稱為矢量場的散度。矢量場在空間某點的散度——矢量場通過包含該點的任意小閉合曲面的通量與曲面所圍體積之比的極限。球坐標系有關散度的公式：圓柱坐標系直角坐標系三種坐標系中散度的表達式：264.散度定理（高斯公式）體積的剖分VS1S2en2en1S

矢量場對于空間任意閉合曲面的通量，等于矢量場的散度在該閉合曲面所包圍體積中的體積分。

散度定理是矢量場的閉合曲面積分與體積分之間的一種變換關系，在電磁理論中有著廣泛的應用。1.5矢量場的環(huán)流與旋度

渦旋場的概念

例如：水流漩渦處的流速場。

有些矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零，而沿空間閉合路徑的積分則不為零。——稱為“渦旋場”。28如果矢量場對于任意閉合回路的環(huán)流都為零，則稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。2.環(huán)流的概念

矢量場對于閉合曲線C的線積分，稱為“矢量場對于閉合曲線C的環(huán)流”。即只要矢量場對于某一個閉合曲線的環(huán)流不為零，則稱該矢量場為有旋場。能夠激發(fā)有旋場的源稱為旋渦源。例如，電流就是磁場的旋渦源。293.矢量場的環(huán)流面密度和旋度（）

（1）環(huán)流面密度稱為矢量場在點M處沿方向

的環(huán)流面密度。特性：其值與點M處小曲面的法向有關。

過任意點M作微小曲面

S，它的邊界線記為C，曲面的法線方向與邊界線的繞向成右手螺旋法則。當

S

0時，極限30旋度的定義：矢量場在M點處的旋度(矢量)的大小為M點處環(huán)流面密度的最大值，方向為M點處環(huán)流面密度取得最大值的小曲面法向。旋度與環(huán)流面密度的關系：（2）矢量場旋度的定義旋度與環(huán)流的關系：——斯托克斯定理。它是閉合曲線積分與旋度曲面積分之間的變換關系，在電磁理論中有著廣泛應用。31旋度的計算公式:

直角坐標系

圓柱坐標系

球坐標系32有關旋度的公式：矢量場旋度的散度恒等于零標量場梯度的旋度恒等于零331.矢量場按其旋度和散度的分類（1）無旋場性質：

，線積分值與路徑無關，是保守場。旋度為0的矢量場，即無旋場可以用標量場的梯度表示為例如：靜電場1.6無旋場與無散場34（2）無散場散度為0的矢量場，即性質：無散場可以表示為另一個