電磁場(chǎng)與電磁波第一章矢量分析

1第一章矢量分析2本章內(nèi)容1.1矢量代數(shù)1.2三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1.3

標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.4

矢量場(chǎng)的通量與散度1.5

矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度1.6

無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)31.標(biāo)量和矢量矢量的大小或模：?jiǎn)挝皇噶浚簶?biāo)量：一個(gè)只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示：1.1矢量代數(shù)矢量：一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。

矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來表示

要注意：?jiǎn)挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶俊?/p>

矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。

4用坐標(biāo)分量表示矢量：zxy5（1）矢量的加減法

兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2.矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的加法矢量的減法在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律交換律6（2）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）——矢量的標(biāo)積符合交換律q矢量與的夾角7（4）矢量的矢積（叉積）qsinABq矢量與的叉積用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為若，則若，則8（5）矢量的混合運(yùn)算——

分配律——

分配律——

標(biāo)量三重積——

矢量三重積9

三維空間任意一點(diǎn)的位置可以通過三條正交曲線的交點(diǎn)來確定。1.2

三種常用的正交曲線坐標(biāo)系

在電磁場(chǎng)與電磁波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系分別為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。

采用三條正交曲線確定三維空間中任意點(diǎn)位置的坐標(biāo)系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。101.直角坐標(biāo)系

位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

x

yz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元

odzdydx11圓柱坐標(biāo)系（半平面）（圓柱面）（平面）2.圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量度規(guī)系數(shù)12體積元面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系（半平面）（圓柱面）（平面）133.球坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量球坐標(biāo)系（半平面）（圓錐面）（球面）度規(guī)系數(shù)14體積元面元矢量球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元154.各坐標(biāo)系單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系？直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系ofxy單位圓

直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系foqrz單位圓

柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系qq直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系的單位矢量之間的關(guān)系161.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度如果表示“場(chǎng)”的物理量是標(biāo)量，則稱為標(biāo)量場(chǎng)。

例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。如果表示“場(chǎng)”的物理量是矢量，則稱為矢量場(chǎng)。

例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。如果場(chǎng)與時(shí)間無關(guān)，稱為靜態(tài)場(chǎng)，反之為時(shí)變場(chǎng)。時(shí)變的標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)分別表示為：

從數(shù)學(xué)上看，“場(chǎng)”是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)靜態(tài)的標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)分別表示為：17標(biāo)量場(chǎng)的等值面 等值面:

場(chǎng)值相同的點(diǎn)所形成的曲面。等值面方程：標(biāo)量場(chǎng)取值不同的等值面，形成了等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。等值面的特點(diǎn)：意義:

形象直觀地描述了場(chǎng)量在空間的分布情況。標(biāo)量場(chǎng)的等值線(面)2.方向?qū)?shù)意義：方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率。方向?qū)?shù)的定義：

M0M方向?qū)?shù)的概念

——

的方向余弦。

式中：

3.標(biāo)量場(chǎng)的梯度（或）意義：梯度大小表示標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大空間變化率，其方向表示標(biāo)量場(chǎng)空間變化率最大的方向。概念：，其中

取得最大值的方向直角坐標(biāo)系

稱為標(biāo)量場(chǎng)u

的梯度三種坐標(biāo)系中梯度的表達(dá)式：圓柱坐標(biāo)系

球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系

標(biāo)量場(chǎng)的梯度在某方向的投影等于標(biāo)量場(chǎng)沿該方向的方向?qū)?shù)。梯度的重要性質(zhì)：梯度的基本運(yùn)算公式：標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）。1.4矢量場(chǎng)的通量與散度

1.矢量場(chǎng)的場(chǎng)線

意義：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分布狀態(tài)。矢量場(chǎng)線的方程：概念——矢量場(chǎng)線是有向曲線族：其上每一點(diǎn)的切線方向代表該點(diǎn)處矢量場(chǎng)的方向；曲線的密集程度表示該處矢量場(chǎng)的強(qiáng)弱。矢量場(chǎng)線OM

232.矢量場(chǎng)的通量

通量的概念其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面積元的通量。

如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)“閉合曲面”的通量為：面積元矢量243.矢量場(chǎng)的散度——稱為矢量場(chǎng)的散度。矢量場(chǎng)在空間某點(diǎn)的散度——矢量場(chǎng)通過包含該點(diǎn)的任意小閉合曲面的通量與曲面所圍體積之比的極限。球坐標(biāo)系有關(guān)散度的公式：圓柱坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系三種坐標(biāo)系中散度的表達(dá)式：264.散度定理（高斯公式）體積的剖分VS1S2en2en1S

矢量場(chǎng)對(duì)于空間任意閉合曲面的通量，等于矢量場(chǎng)的散度在該閉合曲面所包圍體積中的體積分。

散度定理是矢量場(chǎng)的閉合曲面積分與體積分之間的一種變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。1.5矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度

渦旋場(chǎng)的概念

例如：水流漩渦處的流速場(chǎng)。

有些矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零，而沿空間閉合路徑的積分則不為零。——稱為“渦旋場(chǎng)”。28如果矢量場(chǎng)對(duì)于任意閉合回路的環(huán)流都為零，則稱該矢量場(chǎng)為無旋場(chǎng)，又稱為保守場(chǎng)。2.環(huán)流的概念

矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線C的線積分，稱為“矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線C的環(huán)流”。即只要矢量場(chǎng)對(duì)于某一個(gè)閉合曲線的環(huán)流不為零，則稱該矢量場(chǎng)為有旋場(chǎng)。能夠激發(fā)有旋場(chǎng)的源稱為旋渦源。例如，電流就是磁場(chǎng)的旋渦源。293.矢量場(chǎng)的環(huán)流面密度和旋度（）

（1）環(huán)流面密度稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向

的環(huán)流面密度。特性：其值與點(diǎn)M處小曲面的法向有關(guān)。

過任意點(diǎn)M作微小曲面

S，它的邊界線記為C，曲面的法線方向與邊界線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)

S

0時(shí)，極限30旋度的定義：矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度(矢量)的大小為M點(diǎn)處環(huán)流面密度的最大值，方向?yàn)镸點(diǎn)處環(huán)流面密度取得最大值的小曲面法向。旋度與環(huán)流面密度的關(guān)系：（2）矢量場(chǎng)旋度的定義旋度與環(huán)流的關(guān)系：——斯托克斯定理。它是閉合曲線積分與旋度曲面積分之間的變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛應(yīng)用。31旋度的計(jì)算公式:

直角坐標(biāo)系

圓柱坐標(biāo)系

球坐標(biāo)系32有關(guān)旋度的公式：矢量場(chǎng)旋度的散度恒等于零標(biāo)量場(chǎng)梯度的旋度恒等于零331.矢量場(chǎng)按其旋度和散度的分類（1）無旋場(chǎng)性質(zhì)：

，線積分值與路徑無關(guān)，是保守場(chǎng)。旋度為0的矢量場(chǎng)，即無旋場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為例如：靜電場(chǎng)1.6無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)34（2）無散場(chǎng)散度為0的矢量場(chǎng)，即性質(zhì)：無散場(chǎng)可以表示為另一個(gè)