第一節(jié)(復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運算)

數(shù)學物理方法主講教師：張銘麗mingli@1第一篇復(fù)變函數(shù)論第二篇數(shù)學物理方程2重要性普通物理與四大力學的粘合劑研究生考試的基礎(chǔ)課基礎(chǔ)研究的重要工具培養(yǎng)邏輯思維能力、創(chuàng)造思維能力等3把握課堂、適當作業(yè)、及時復(fù)習平時成績（測驗、考勤、作業(yè)、提問）期末考試4第一篇復(fù)變函數(shù)論第一章復(fù)變函數(shù)第二章復(fù)變函數(shù)的積分第三章冪級數(shù)展開第四章留數(shù)定理第五章傅里葉變換第六章拉普拉斯變換5引言復(fù)變函數(shù)論統(tǒng)治了十九世紀的數(shù)學。當時的數(shù)學家公認復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學分支，并且稱為這個世紀的數(shù)學享受，也有人稱贊它是抽象科學中最和諧的理論之一。

先驅(qū)：歐拉、達朗貝爾，拉普拉斯，柯西、黎曼，維爾斯特拉斯，維爾斯特拉斯的學生，列夫勒、彭加勒、阿達瑪?shù)?引言一、復(fù)變函數(shù)的內(nèi)容：1、將實變函數(shù)中：函數(shù)、極限、連續(xù)、微商、積分、級數(shù)等概念推廣至復(fù)變函數(shù)中；2、解除了實數(shù)鄰域中若干禁令；3、建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，雙曲函數(shù)的關(guān)系；二、復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用：1、解偏微分方程的邊值問題，如：保角變換法；2、解微分方程的初值問題，如：拉普拉斯變換法；3、計算實積分，如：留數(shù)定理。7第一章復(fù)變函數(shù)第一節(jié)復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運算第二節(jié)復(fù)變函數(shù)第三節(jié)導(dǎo)數(shù)第四節(jié)解析函數(shù)第五節(jié)平面標量場第六節(jié)多值函數(shù)8第一章復(fù)變函數(shù)中心內(nèi)容：解析函數(shù)學習目的：1、熟練掌握復(fù)數(shù)的各種表示及運算規(guī)則；2、熟練掌握復(fù)變函數(shù)中與實變函數(shù)平行的概念；3、重點掌握解析函數(shù)的概念和性質(zhì)；9§1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運算1.1.1復(fù)數(shù)的基本概念虛數(shù)單位復(fù)數(shù)實部、虛部純虛數(shù)兩個復(fù)數(shù)相等實部和虛部分別相等第一章復(fù)變函數(shù)ZxyzO代數(shù)式幾何表示：復(fù)數(shù)復(fù)平面上的點復(fù)平面上的矢量復(fù)數(shù)的代數(shù)表示10復(fù)數(shù)的三角表示式：復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式：z?；蚪^對值：z的輻角：輻角不確定.的輻角中，滿足的角.ZxyzO歐拉公式2.復(fù)數(shù)的三角式和指數(shù)式：11設(shè)3.共軛復(fù)數(shù)i)ii)iii)iv)定義ZxyzO121.1.2無限遠點N為北極，S為南極除去北極N，球面上的點與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng).這種對應(yīng)叫做因當A點無限地遠離原點時或者說，當復(fù)數(shù)z的模無限地變大時，點A'就無限地接近于N.所以，規(guī)定：復(fù)平面上有一個唯一的“無窮遠點”與N相對應(yīng).相應(yīng)地，規(guī)定：復(fù)數(shù)中有一個唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠點N相對應(yīng).記為∞測地投影，球叫做復(fù)數(shù)球定義：在復(fù)平面上，模為無窮大的復(fù)數(shù)對應(yīng)的點1314注意：1，∞高數(shù)中的+∞，–∞有著根本的區(qū)別，在高數(shù)中只是變量變化的記號。2，規(guī)定：但實部、虛部和輻角則認為是無意義的151.1.3復(fù)數(shù)的運算和差積交換律結(jié)合律交換律、結(jié)合律、分配律商除法是乘法的逆運算16有的時候采用三角式或者指數(shù)式表示更加簡單：輻角不能唯一確定，可以相差的整數(shù)倍17定義棣莫弗(DeMoivre)公式：18下面求出w由棣莫弗公式得：1920例1i解21若z不在負實軸和原點上，則復(fù)數(shù)的加減與向量的加減一致22擴充復(fù)平面：復(fù)平面（有限復(fù)平面）：包含無窮遠點在內(nèi)的復(fù)平面不包含無窮遠點在內(nèi)的復(fù)平面如無特殊說明，所謂“平面”一般仍指有限平面，所謂“點”仍指有限平面上的點.復(fù)數(shù)可用實部和虛部表示，故復(fù)數(shù)