1.3.1 三角函數(shù)的周期性課件

三角函數(shù)的周期性1.3.1三角函數(shù)的周期性

今天是星期幾？ 今年的平安夜是星期幾? 2007年的元旦是星期幾?

如果有一個(gè)函數(shù)稱(chēng)為h(x)＝week(x)，你認(rèn)為這個(gè)函數(shù)有怎樣的特征？ 前面我們還研究了三角函數(shù)f(x)＝sinx和g(x)＝cosx，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)也有類(lèi)似的特征嗎？1.3.1三角函數(shù)的周期性

由單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)可知，正弦、余弦函數(shù)值的變化呈現(xiàn)出周期現(xiàn)象．每當(dāng)角增加（或減少）2π，所得角的終邊與原來(lái)角的終邊相同，故兩角的正弦、余弦函數(shù)值也分別相同．即有

sin(2π＋x)＝sinx

，

cos(2π＋x)＝cosx

．正弦函數(shù)和余弦函數(shù)所具有的這種性質(zhì)稱(chēng)為周期性．1.3.1三角函數(shù)的周期性

若記f(x)＝sinx，則對(duì)于任意x∈R，都有f(x+2π)=f(x)．

思考：如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)的周期性？1.3.1三角函數(shù)的周期性

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿(mǎn)足f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．周期函數(shù)的定義1.3.1三角函數(shù)的周期性思考1：周期函數(shù)的圖象具有什么特征？

思考1.3.1三角函數(shù)的周期性思考2：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)除了2π以外還有其它的周期嗎？

易知2π是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期，且4π，6π，…以及－2π，－４π，…都是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期，即每一個(gè)常數(shù)2kπ(k∈Ｚ且k≠０)都是這兩個(gè)函數(shù)的周期．

思考1.3.1三角函數(shù)的周期性思考3：一個(gè)周期函數(shù)的周期有多少個(gè)？1.若T為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則kT（k≠0）也為f(x)的周期.2.對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．3.如果不加特別說(shuō)明，周期一般都是指函數(shù)的最小正周期．

思考1.3.1三角函數(shù)的周期性思考4：觀(guān)察單位圓中正弦線(xiàn)的變化，你能看出正弦函數(shù)的最小正周期嗎？動(dòng)畫(huà)正弦函數(shù)的最小正周期是2π；余弦函數(shù)的最小正周期是2π．

思考1.3.1三角函數(shù)的周期性證明：假設(shè)T是正弦函數(shù)的周期,且0＜T＜2π,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有:令x=0,得即從而對(duì)任意實(shí)數(shù)x都應(yīng)有這與矛盾.因此,正弦函數(shù)沒(méi)有比２π小的正周期.又0＜T＜2π,故T=π,探究1:證明正弦函數(shù)沒(méi)有比2π小的正周期.

探究1.3.1三角函數(shù)的周期性探究2：函數(shù)f(x)=3是周期函數(shù)嗎？有最小正周期嗎？注意：周期函數(shù)不一定有最小正周期.

探究1.3.1三角函數(shù)的周期性探究3：觀(guān)察正切線(xiàn)并回答：正切函數(shù)是否為周期函數(shù)？若是周期函數(shù)，其周期為多少？動(dòng)畫(huà)注：正切函數(shù)是最小正周期為π的周期函數(shù).

探究1.3.1三角函數(shù)的周期性例1.若鐘擺的高度h(mm)與時(shí)間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

(1)求該函數(shù)的周期；

(2)求t=10s時(shí)鐘擺的高度．解(1)由圖象可知,該函數(shù)的周期為1.5ｓ．

(2)設(shè)h=f(t)，由函數(shù)f(t)的周期為1.5s，可知f(10)=f(1+6×1.5)=f(1)=20,故t=10s時(shí)鐘擺的高度為20mm．圖象法求周期.

運(yùn)用1.3.1三角函數(shù)的周期性例2.求下列函數(shù)的周期.(1)f(x)=cos2x；(2).

運(yùn)用1.3.1三角函數(shù)的周期性1.一般地，函數(shù)y=Asin(ωx＋φ)及y=Acos(ωx＋φ)（其中A，ω，φ為常數(shù)，且Ａ≠０，ω＞０）的周期為

.

心得1.3.1三角函數(shù)的周期性2.已知Ａ，ω，φ為常數(shù)，且A≠0，ω≠0，若函數(shù)y=f(x)的周期為T(mén)，則函數(shù)y=Af(ωx＋φ)的周期為

.

心得1.3.1三角函數(shù)的周期性1.一個(gè)周期函數(shù)的周期有多少個(gè)?周期函數(shù)的圖象具有什么特征?參考答案：無(wú)數(shù)個(gè)，重復(fù)性

練習(xí)1.3.1三角函數(shù)的周期性2.已知函數(shù),使f(x)的周期在(2/3,4/3)內(nèi),則正整數(shù)k的最小值和最大值分別是多少?解：函數(shù)f(x)的最小正周期為，故，得，又k為正整數(shù)，故k的最小值為15，最大值為28.

練習(xí)1.3.1三角函數(shù)的周期性3.判斷下列說(shuō)法是否正確,并簡(jiǎn)述理由：(1)時(shí)，,則一定不是函數(shù)y=sinx的周期；正確(2)時(shí)，,則一定是函數(shù)y=sinx的周期．不正確，因?yàn)樵趚=7π/6時(shí)成立,并不能保證對(duì)任意的x都有成立,如x=0時(shí)，就不成立.

練習(xí)1.3.1三角函數(shù)的周期性4.求下列函數(shù)的周期：

(1)y=2cos3x；

(2)．5．若函數(shù)的最小正周期為，則正數(shù)k=

．

練習(xí)1.3.1三角函數(shù)的周期性6.若彈簧振子對(duì)平衡位置的位移x(cm)與時(shí)間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：（１）求該函數(shù)的周期；（２）求t＝10.5ｓ時(shí)彈簧振子對(duì)平衡位置的位移．⑴周期為4；⑵－8cm.

練習(xí)1.3.1三角函數(shù)的周期性1.周