2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 6-2-3向量的數(shù)乘運算 學(xué)案

6.2.3向量的數(shù)乘運算【學(xué)習(xí)目標】(1)了解向量數(shù)乘的概念并理解數(shù)乘運算的幾何意義．(2)理解并掌握向量數(shù)乘的運算律，會進行向量的數(shù)乘運算．(3)理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及判定方法．題型1向量的數(shù)乘運算【問題探究1】(1)如圖，已知非零向量a作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．它們的長度和方向分別是怎樣的？類比數(shù)的乘法，該如何表示運算結(jié)果？它們的長度和方向分別是怎樣的？(2)λa的幾何意義是什么？例1(多選)已知λ，μ∈R，且a≠0，則在以下各命題中，正確的命題是()A．當λ<0時，λa的方向與a的方向一定相反B．當λ＝0時，λa與a是共線向量C．|λa|＝λ|a|D．當λμ>0時，λa的方向與μa的方向一定相同學(xué)霸筆記：λ的正負決定向量λa(a≠0)的方向，|λ|的大小決定λ跟蹤訓(xùn)練1設(shè)a是非零向量，λ是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)與λa的方向相反B．a(chǎn)與λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|D．|－λa|>|λ||a|題型2向量的線性運算【問題探究2】已知向量a，請通過作圖判斷以下結(jié)論是否成立？你能據(jù)此歸納出向量數(shù)乘的運算律嗎？(1)3(2a)＝6a；(2)(2＋3)a＝2a＋3a；(3)2(a＋b)＝2a＋2b.例2(1)化簡：12(2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.題后師說向量線性運算的兩種方法跟蹤訓(xùn)練2(1)12(2a＋8b)－(4a－2b)＝(A．－3a－6bB．6b－3aC．2b－3aD．3a－2b(2)已知向量x，y滿足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，則x＝________，y＝________(用a，b表示)．題型3用已知向量表示其他向量例3如圖，四邊形ABCD中，已知AD＝2BC.(1)用AB，AD表示(2)若AE＝2EB，DP＝34DE，用題后師說用已知向量表示其他向量的兩種方法跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，?ABCD中，E是BC的中點，若AB＝a，AD＝b，則DE＝()A．12a－bB．12aC．a(chǎn)＋12bD．a(chǎn)－1題型4向量共線定理【問題探究3】引入向量數(shù)乘運算后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間有什么位置關(guān)系？例4已知非零向量e1，e2不共線．(1)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)，求證：A，B，D三點共線．(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實數(shù)k的值.一題多變本例條件不變，將(2)改為：欲使ke1＋2e2和2e1＋ke2共線，試確定實數(shù)k的值．學(xué)霸筆記：1．證明或判斷三點共線的方法一般來說，要判定A，B，C三點是否共線，只需看是否存在實數(shù)λ，使得AB＝λAC(或BC＝λAB等)即可．2．利用向量共線求參數(shù)的方法已知向量共線求λ，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)對應(yīng)相等求解．跟蹤訓(xùn)練4(1)已知a，b為不共線的非零向量，AB＝a＋5b，BC＝－2a＋8b，CD＝3a－3b，則()A．A，B，C三點共線B．A，B，D三點共線C．B，C，D三點共線D．A，C，D三點共線(2)設(shè)a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－2a)平行，則λ＝________．隨堂練習(xí)1．10(a＋b)－(a－b)＝()A．9a＋9bB．9a＋11bC．11a＋9bD．11a＋11b2．在?ABCD中，AB＝2a，AD＝3b，則AC＝()A．a(chǎn)＋bB．a(chǎn)－bC．2a＋3bD．2a－3b3．如圖所示，已知在△ABC中，D是△ABC的邊AB的中點，則CD＝()A．CB-12C．CB-124．設(shè)e1，e2是兩個不共線向量，若向量ke1＋2e2與8e1＋ke2方向相反，則實數(shù)k＝________．課堂小結(jié)1.實數(shù)與向量可以進行數(shù)乘運算，但不能進行加減運算．2．若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線有公共點，則這兩條直線重合，這是證明三點共線的重要方法．3．設(shè)OC＝λOA＋μOB，若存在實數(shù)λ，μ使得λ＋μ＝1，則A、B、C三點共線．6．2.3向量的數(shù)乘運算問題探究1提示：(1)OC＝OA+AB+BC＝a＋a＋aPN＝PQ+QM+MN＝(－a)＋(－a)＋(－顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，－3a的方向與a的方向相反，－3a的長度是a的長度的3倍．(2)λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或縮短．如當|λ|＞1時，表示a的有向線段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸長為原來的|λ|倍．例1解析：根據(jù)實數(shù)λ與向量a的積λa的方向的規(guī)定，易知A正確；對于B，當λ＝0時，λa＝0，0與a是共線向量，故B正確；對于D，由λμ>0可得λ，μ同為正或同為負，所以λa和μa與a同向，或者都與a反向，所以λa與μa是同向的，故D正確；對于C，|λa|＝|λ||a|，C錯誤．故選ABD.答案：ABD跟蹤訓(xùn)練1解析：對于A中，只有λ<0時，a與λa的方向相反，所以A不正確；對于B中，因為λ2>0，所以a與λ2a的方向相同，所以B正確；對于C中，因為|－λa|＝|λ||a|，只有當|λ|≥1，才有|－λa|≥|a|，所以C不正確；對于D中，因為|－λa|＝|λ||a|，所以D不正確．故選B.答案：B問題探究2提示：(1)作圖如下：故3(2a)＝6a成立．(2)作圖如下：故(2＋3)a＝2a＋3a成立．(3)作圖如下：故2(a＋b)＝2a＋2b成立．例2解析：(1)1＝12(3a－2b＋5a－2a＋3b＝12(6a＋b＝3a＋12b(2)把已知中的兩個等式看成關(guān)于m，n的方程，聯(lián)立得方程組3解得m跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)原式＝a＋4b－4a＋2b＝6b－3a.(2)由已知得3①×3＋②×2得x＝3a＋2b，①×4＋②×3，得y＝4a＋3b.所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.答案：(1)B(2)3a＋2b4a＋3b例3解析：(1)因為DC＝DA+所以DC＝DA+AB+(2)因為AP＝AE+EP＝AE-所以AP＝34AE+14跟蹤訓(xùn)練3解析：DE＝DC+CE＝AB＋(－＝AB-12AD＝a－1答案：D問題探究3提示：λa與a都是向量，當λ>0時，λa與a方向相同，|λa|＝λ|a|；當λ<0時，λa與a方向相反，|λa|＝|λ||a|.因此λa與a共線．例4解析：(1)證明：∵AB＝e1＋e2，BD＝BC+CD＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5∴AB，BD共線，且有公共點∴A，B，D三點共線．(2)∵ke1＋e2和e1＋ke2共線，∴存在實數(shù)λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即(k－λ)e1＝(λk－1)e2.∵e1與e2不共線，∴k-λ=0，一題多變解析：∵ke1＋2e2和2e1＋ke2共線，∴存在實數(shù)λ，使ke1＋2e2＝λ(2e1＋ke2)，即(k－2λ)e1＝(λk－2)e2，∵e1，e2不共線，∴k-2λ=0跟蹤訓(xùn)練4解析：(1)由于a，b為不共線的非零向量，AB，BC向量，BC，CD向量顯然沒有倍數(shù)關(guān)系，根據(jù)向量共線定理，它們不共線，A，C選項錯誤；BD＝BC+CD＝a＋5b＝AB，于是A，B，D三點共線，B選項正確；又AC＝AB+BC＝－a＋(2)∵a＋λb與－(b－2a)平行，則有－(b－2a)＝k(a＋λb)，ka＋λkb＝2a－b，k=2，λk=-1答案：(1)B(2)－1[隨堂練習(xí)]1．解析：根據(jù)向量運算公式可知，10(a＋b)－(a－b)＝10a＋10b－a＋b＝9a＋11b.故選B.答案：B2．解析：AC＝A