2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第二冊(cè)第4章數(shù)列4.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念第1課時(shí)等比數(shù)列的概念課件

4.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念第1課時(shí)等比數(shù)列的概念1．借助教材實(shí)例理解等比數(shù)列、等比中項(xiàng)的概念．2．借助教材掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．3．會(huì)求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解決相關(guān)的問(wèn)題．1．能夠通過(guò)實(shí)際問(wèn)題理解等比數(shù)列的定義，掌握等比中項(xiàng)的概念，熟練掌握等比數(shù)列的判定方法．(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)2．掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用，能用遞推公式求通項(xiàng)公式．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)等比數(shù)列的定義

知識(shí)點(diǎn)

1一般地，如果一個(gè)數(shù)列從_________起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于_____________，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的_______，公比通常用字母_____表示(顯然q≠0)．第2項(xiàng)同一個(gè)常數(shù)公比q練一練：已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，它的第1、5、17項(xiàng)順次成等比數(shù)列，則這個(gè)等比數(shù)列的公比是(

)A[解析]

數(shù)列{an}是公差為d≠0的等差數(shù)列，則an＝a1＋(n－1)d，則a5＝a1＋4d，a17＝a1＋16d，第1、5、17項(xiàng)順次成等比數(shù)列，則(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，解得a1＝2d，故選A．等比中項(xiàng)

知識(shí)點(diǎn)

2等比數(shù)列a，G，b想一想：“a，G，b成等比數(shù)列”與“G2＝ab”等價(jià)嗎？提示：“a，G，b成等比數(shù)列”與“G2＝ab”是不等價(jià)的．前者可以推出后者，但后者不能推出前者．如G＝a＝0，b＝1，滿(mǎn)足G2＝ab，而0,0,1不成等比數(shù)列．因此“a，G，b成等比數(shù)列”是“G2＝ab”的充分不必要條件．A．－1 B．1C．2 D．±1D所以a2與a4的等比中項(xiàng)是±1，故選D.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

知識(shí)點(diǎn)

3設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則這個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝____________(a1，q≠0)．a(chǎn)1qn－1想一想：關(guān)于等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，除了教材方法外還有哪些方法？提示：方法一(迭代法)根據(jù)等比數(shù)列的定義，得an＝an－1q＝(an－2q)q＝an－2q2＝(an－3q)q2＝an－3q3＝…＝a2qn－2＝(a1q)qn－2＝a1qn－1(n≥2)；當(dāng)n＝1時(shí)，上面等式也成立．故當(dāng)n∈N*時(shí)，an＝a1qn－1.練一練：已知{an}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為(

)A．a(chǎn)n＝2·3n＋1 B．a(chǎn)n＝3·2n＋1C．a(chǎn)n＝2·3n－1 D．a(chǎn)n＝3·2n－1[解析]

由已知可得a1＝2，公比q＝3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1·qn－1＝2·3n－1.C

判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，如果是，寫(xiě)出它的公比.題型探究題型一等比數(shù)列的概念典例1[解析]

(1)不是等比數(shù)列．(2)是等比數(shù)列，公比為1.(4)不是等比數(shù)列．(5)是等比數(shù)列，公比為－4.A．是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列B．是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列C．是等比數(shù)列，不是等差數(shù)列D．不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?D題型二等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

在等比數(shù)列{an}中，公比為q.(1)若a1＝1，a4＝8，求an；(2)若an＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[解析]

(1)因?yàn)閍4＝a1q3，所以8＝q3，所以q＝2，所以an＝a1qn－1＝2n－1.典例2[規(guī)律方法]

等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法(1)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a1，q的方程組，求出a1，q后再求an，這是常規(guī)方法．(2)充分利用各項(xiàng)之間的關(guān)系，直接求出q后，再求a1，最后求an，這種方法帶有一定的技巧性，能簡(jiǎn)化運(yùn)算．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?C題型三等比中項(xiàng)的應(yīng)用A．2 B．－2C．±2 D．4(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d不為0，a1＝9d，若ak是a1與a2k的等比中項(xiàng)，則k等于(

)A．2 B．4C．6 D．8典例3CB[規(guī)律方法]

(1)當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)，a，b的等比中項(xiàng)有兩個(gè)；當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，a，b沒(méi)有等比中項(xiàng)．(2)在一個(gè)等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起(有窮數(shù)列末項(xiàng)除外)，每一項(xiàng)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)．

(1)已知數(shù)列{an}中an＝2n，則a2和a4的等比中項(xiàng)為_(kāi)______.(2)已知a是1,2的等差中項(xiàng)，b是－1，－16的等比中項(xiàng)，則ab＝(

)A．6 B．－6C．±6 D．±12對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?C±8[解析]

(1)∵an＝2n，∴a2＝22＝4，a4＝24＝16，設(shè)a2和a4的等比中項(xiàng)為a，則a2＝4×16＝64，解得a＝±8.題型四等比數(shù)列的判定與證明

已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*).(1)求證：{bn}是等比數(shù)列；(2)求{an}的通項(xiàng)公式．[解析]

(1)證明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn，(2)由(1)知{bn}是首項(xiàng)b1＝2，公比為2的等比數(shù)列，∴bn＝2×2n－1＝2n，即an＋1＝2n，∴an＝2n