2023年高考數(shù)學母題題源解密（新高考卷）：統(tǒng)計（原卷版）

專題14統(tǒng)計

【母題來源】2022年新高考I卷

【母題題文】

一支醫(yī)療團隊研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣但生習慣分為良好和不夠良好兩類川勺關

系，在已患該疾病的病例中隨機調查了70。例怫為病例組)，同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100

人儲為對照組)，得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

⑺能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異?

(⑷從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患

有該疾病”，口絲絲與乙功的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指

P(B[A)P(B/A)

標為R

心證明：R=S.還；

P(A]B)P(A/B)

偵)利用該調查數(shù)據(jù)，給出p(A/瓦的估計值，并利用。的結果給出R的估計值.

附：=n-d-bc產(chǎn)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

PCK2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【母題來源】2022年新高考H卷

【母題題文】

在某地區(qū)進行某種疾病調查，隨機調查了700位這種疾病患者的年齡，得到如下樣

本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.

頻率/組距

估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡；冏一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）

（力估計該地區(qū)以為這種疾病患者年齡位于區(qū)間70的概率；

㈤已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口數(shù)占該地區(qū)總人口數(shù)的

16%,從該地區(qū)選出7人，若此人的年齡位于區(qū)間求此人患這種疾病的概率微確到。0007人

【命題意圖】

1.考察頻率分布直方圖.

2.獨立檢驗和條件概率.

3.考察平均數(shù)等數(shù)據(jù)計算。

【命題方向】

考察古典該系與頻率分布表、頻率分布直方圖、回歸分析、獨立性檢驗、莖葉圖等知識點.考察閱讀理解

能力，數(shù)據(jù)處理能力，數(shù)據(jù)分析計算能力，考察數(shù)學建模,邏輯推導.

【得分要點】

一、獨立性檢驗

設48為兩個變量，每一個變量都可以取兩個值,

變量Z：A\,Az-'i；變量B：B\,Bz=Bi；

2x2列聯(lián)表：

XBiBi總計

A\aba+b

A2cdc+d

總計a+cb+dn=a+b+c+d

n(ad-6c/

構造一個隨機變量爛=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

利用隨機變量/2來判斷“兩個分類變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗.

當爐W2.706時，沒有充分的證據(jù)判定變量48有關聯(lián)；

當12>2.706時，有90%的把握判定變量/,8有關聯(lián)；

當戶3.841時，有95%的把握判定變量力，8有關聯(lián)；

當將6.635吐有99%的把握判定變量/,8有關聯(lián).

二、樣本的數(shù)字特征：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標準差

(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等.

(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)，即X='X|+X2+…+X)

n

(4)標準差與方差：設一組數(shù)據(jù)XI,X2,X3,…，X”的平均數(shù)為X,則這組數(shù)據(jù)的標準差和方差分別是

X2X2X2

s=-)+(X2-)4----+(XW-)],

S2=-[(Xl-X)2+(X2-X)2+…+-X)2]

n

標準差是反映總體波動大小的特征數(shù)，樣本方差是標準差的平方.通常用樣本方差估計總體方差，當樣本

容量接近總體容量時，樣本方差很接近總體方差.

⑸標準差和方差的一些結論

若取值Xl,X2,X〃的頻率分別為pi,02,…,Pn,則其平均值為Xl"+X紈2+…+?/”；若孫。2,…,

X〃的平均數(shù)為X,方差為則4X1+b,aX2+bt???,辦”+6的平均數(shù)為。X+6,方差為42s2.

1.(2022?河北石家莊?二模)北京冬奧會已于2022年2月4日至2月20日順利舉行，這是中國繼北京奧運

會.南京青奧會后，第三次舉辦的奧運賽事，為助力冬奧，進一步增強群眾的法治意識.提高群眾奧運法律知

識水平和文明素質，讓法治精神攜手冬奧走進千家萬戶.某市有關部門在該市市民中開展了“迎接冬奧?法治

同行”主題法治宣傳教育活動.該活動采取線上線下相結合的方式，線上有“知識大闖關”冬奧法律知識普及類

趣味答題，線下有“冬奧普法”知識講座，實現(xiàn)“冬奧+普法”的全新模式.其中線上“知識大闖關”答題環(huán)節(jié)共計

30個題目，每個題目2分，滿分60分，現(xiàn)在從參與作答“知識大闖關”題目的市民中隨機抽取1000名市民,

將他們的作答成績分成6組：[0[0),U0,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60].并繪制了如圖所示的頻率分布直

方圖.

(1)請估計被抽取的1000名市民作答成貨的平均數(shù)和中位數(shù)；

(2)視頻率為概率.現(xiàn)從所有參與“知識大闖關”活動的市民中隨機取20名，調查其掌握各類冬奧法律知識的情

況.記A名市民的成績在［40,60］的概率為P(X=k),k=0,\,2，…,20.請估計這20名市民的作答成績在［40,60］

的人數(shù)為多少時尸(矛=外最大？并說明理由.

2.(2022?福建南平?三模)南平市于2018年成功獲得2022年第十七屆福建省運會承辦權.為進一步提升第十

七屆福建省運會志愿者綜合素質，提高志愿者服務能力，南平市啟動首批志愿者通識培訓，并于培訓后對

參訓志愿者進行了一次測試，通過隨機抽樣，得到100名參訓志愿者的測試成績，統(tǒng)計結果整理得到如圖

所示的頻率分布直方圖.

(1)由頻率分布直方圖可以認為，此次測試成績X近似于服從正態(tài)分布11.52),〃近似為這100人測試

成績的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表),

①求〃的值；

②利用該正態(tài)分布，求P(75.5<Xs87)；

(2)在(1)的條件下，主辦單位為此次參加測試的志愿者制定如下獎勵方案：①測試成績不低于〃的可以獲

贈2次隨機話費，測試成績低于〃的可以獲贈1次隨機話費；

②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：

贈送話費的金額(元)1030

3J_

概率

44

今在此次參加測試的志愿者中隨機抽取一名，記該志愿者獲贈的話費為孑(單位：元)，試根據(jù)樣本估計總

體的思想，求，的分布列與數(shù)學期望.

參考數(shù)據(jù)與公式：若X?則尸(〃-O<XV〃+O)=0.6826,尸(〃-2c<Xw〃+2c)=0.9544,

P(〃-3"Xv〃+3c)=0.9974.

3.(2022?山東濟寧?二模)為研究某種疫苗/的效果，現(xiàn)對100名志愿者進行了實驗，得到如下數(shù)據(jù):

未感染病毒B感染病毒8合計

接種疫苗”401050

未接種疫苗N203050

合計6040100

(1)根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，分析疫苗Z是否有效？

(2)現(xiàn)從接種疫苗/的50名志愿者中按分層隨機抽樣方法(各層按比例分配)取出10人，再從這10人中隨

機抽取3人，求這3人中感染病毒B的人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.

n^ad—bc)~

參考公式：/=其中n=a+b+c+d.

(“+b)(c+4(“+c)(6+4)

參考數(shù)據(jù)：P(/>10.828)=0.001

4.(2022?湖北?華中師大一附中模擬預測)某學校為進一步規(guī)范校園管理，強化飲食安全，提出了“遠離外

賣，健康飲食”的口號.當然，也需要學校食堂能提供安全豐富的菜品來滿足同學們的需求.在某學期期末,

校學生會為了調研學生對本校食堂的用餐滿意度，從用餐的學生中隨機抽取了100人，每人分別對其評分,

滿分為100分.隨后整理評分數(shù)據(jù)，將得分分成5組：第1組［50,60),第2組［60,70),第3組［70,80),

第4組［80,90),第5組［90,100］,得到頻率分布直方圖如圖.

頻率

(1)求圖中”的值；若要在平均數(shù)和眾數(shù)中選用一個量代表學生對本校食堂的評分情況，哪一個量比較合適,

并簡述理由；

(2)以頻率估計概率，現(xiàn)從學校所有學生中中隨機抽取18名，調查其對本校食堂的用餐滿意度，記隨機變

量X為這18名學生中評分在［50,70］的人數(shù)，請估計這18名學生的評分在［50,70］最有可能為多少人？

5.（2022?湖南衡陽?二模）隨著近期我國不斷走向轉型化進程以及社會就業(yè)壓力的不斷加劇，創(chuàng)業(yè)逐漸成為

在校大學生和畢業(yè)大學生的一種職業(yè)選擇方式.但創(chuàng)業(yè)過程中可能會遇到風險，有些風險是可以控制的，有

些風險不可控制的，某地政府為鼓勵大學生創(chuàng)業(yè)，制定了一系列優(yōu)惠政策：已知創(chuàng)業(yè)項目甲成功的概率為：，

項目成功后可獲得政府獎金20萬元：創(chuàng)業(yè)項目乙成功的概率為兄（0<[<1）,項目成功后可獲得政府獎金

30萬元：項目沒有成功則沒有獎勵，每個項目有且只有一次實施機會，兩個項目的實施是否成功互不影響,

項目成功后當?shù)卣畠冬F(xiàn)獎勵.

（1）大學畢業(yè)生張某選擇創(chuàng)業(yè)項目甲，畢業(yè)生李某選擇創(chuàng)業(yè)項目乙，記他們獲得的獎金累計為X（單位：萬

元），若XW30的概率為《，求兄的大?。?/p>

（2）若兩位大學畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項目甲或創(chuàng)業(yè)項目乙進行創(chuàng)業(yè)，問：他們選擇何種創(chuàng)業(yè)項目，累計得到的

獎金的數(shù)學期望最大？

6.（2022?廣東廣州?二模）某校為全面加強和改進學校體育工作，推進學校體育評價改革，建立了日常參與,

體質監(jiān)測和專項運動技能測試相結合的考查機制，在一次專項運動技能測試中，該校班機抽取60名學生作

為樣本進行耐力跑測試，這60名學生的測試成績等級及頻數(shù)如下表

成績等級優(yōu)良合格不合格

頻數(shù)711411

（1）從這60名學生中隨機抽取2名學生，這2名學生中耐力跑測試成績等級為優(yōu)或良的人數(shù)記為X,求

P（X=1）；

（2）將樣本頻率視為概率，從該校的學生中隨機抽取3名學生參加野外拉練活動，耐力跑測試成績等級為優(yōu)

或良的學生能完成該活動，合格或不合格的學生不能完成該活動，能完成活動的每名學生得100分，不能

完成活動的每名學生得。分.這3名學生所得總分記為匕求丫的數(shù)學期望.

7.（2022?江蘇?南京市天印高級中學模擬預測）隨著時代發(fā)展和社會進步，教師職業(yè)越來越受青睞，考取教

師資格證成為不少人的就業(yè)規(guī)劃之一.當前，中小學教師資格考試分筆試和面試兩部分.已知某市2021年

共有10000名考生參加了中小學教師資格考試的筆試，現(xiàn)從中隨機抽取100人的筆試成績（滿分視為100

分）作為樣本，整理得到如下頻數(shù)分布表：

筆試成績X[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數(shù)5153530105

（1）假定筆試成績不低于90分為優(yōu)秀，若從上述樣本中筆試成績不低于80分的考生里隨機抽取2人，求至

少有1人筆試成績?yōu)閮?yōu)秀的概率；

（2）由頻數(shù)分布表可認為該市全體考生的筆試成績X近似服從正態(tài)分布其中〃近似為100名樣本

考生筆試成績的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替），<52=180,據(jù)此估計該市全體考生中

筆試成績不低于82.4的人數(shù)（結果四舍五人精確到個位）；

(3)考生甲為提升綜合素養(yǎng)報名參加了某拓展知識競賽，該競賽要回答3道題，前兩題是哲學知識，每道題

答對得3分，答錯得0分；最后一題是心理學知識，答對得4分，答錯得0分.已知考生甲答對前兩題的

概率都是g,答對最后一題的概率為:，且每道題答對與否相互獨立，求考生甲的總得分丫的分布列及數(shù)

學期望.(參考數(shù)據(jù)：7180=13.4;若X~N(〃Q2),則尸(〃*+*0.6827,

尸(〃一2<5vX<〃+2<5)=0.9545,P(〃-3<5<Xv〃+3<5)=0.9973.)

8.(2022?遼寧錦州?一模)某市為了解某年十一期間市民旅游出行的方式及滿意程度，對去該市甲、乙、丙三

個景點旅游的市民進行了調查.現(xiàn)從中隨機抽取100人作為樣本，得到如下統(tǒng)計表(單位：人)：

滿意度得分甲乙丙

報團游自駕游報團游自駕游報團游自駕游

10分1211210714

5分414449

0分107217

合/p>

(1)從樣本中任取1人，求這人沒去丙景點的概率；

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.針對甲、乙、丙三個景點，從全市十一期間旅

游出行選自駕游的所有人中，隨機選取3人，記X為去乙景點的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

(3)如果王某要去甲、乙、丙三個景點旅游，那么以滿意度得分的均值為依據(jù)，你建議王某是報團游還是自駕

游？說明理由.

9.(2022?海南?嘉積中學模擬預測)2020年10月16日，是第40個世界糧食日.中國工程院院士袁隆平海水

稻團隊迎來了海水稻的測產(chǎn)收割，通過推廣種植海水稻，實現(xiàn)億畝荒灘變糧倉，大大提高了當?shù)鼐用袷杖?

某企業(yè)引進一條先進食品生產(chǎn)線，以海水稻為原料進行深加工，發(fā)明了一種新產(chǎn)品，若該產(chǎn)品的質量指標

值為G[70,100]),其質量指標等級劃分如表：

質量指標值優(yōu)[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]

質量指標等級良好優(yōu)秀良好合格廢品

為了解該產(chǎn)品的經(jīng)濟效益并及時調整生產(chǎn)線，該企業(yè)先進行試生產(chǎn)，現(xiàn)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取了1000

件，將其質量指標值機的數(shù)據(jù)作為樣本，繪制如下頻率分布直方圖：

（1）若將頻率作為概率，從該產(chǎn)品中隨機抽取3件產(chǎn)品，記“抽出的產(chǎn)品中至少有1件不是廢品”為事件a求

事件/發(fā)生的概率；

（2）若每件產(chǎn)品的質量指標值，"