泛函分析答案泛函分析解答張恭慶

第五章習(xí)題第一部分01-15略.從而x+y=limx?+limy=lim(xn+yn)∈cl(L),ax=alimx=lim(axn)若L中的序列{anxo+yn}收斂于X中某點(diǎn)z,則序列{a?xo+y}為有界序列.|an|=|an|·r·(1/r)≤|am|所以數(shù)列{an}有界，故存在{an}的子列{a(a}使得amy□ael.范數(shù).b.必要性是顯然的，下面證明充分性.首先inf{x|?Ⅱ|x|=1}≥0.類似地可以證明存在b>0使得b||x|z≤||x,VxeX.所以兩個(gè)范數(shù)等價(jià).[證明]顯然N(T)={xeX|Tx=0}是X的線性子空間.對(duì)Vx∈N(T),Tx≠0,0,。證明12.設(shè)S。:l2→l2滿足對(duì)Vx證明;;令x。=(0,0,L0,1,0,L)(僅第(n+1)個(gè)坐標(biāo)不為零),則x,εl2,||x,IF1,00llflkllyll。又取x?∈'使其第k個(gè)坐標(biāo)為1其余皆為0,則|flplf(x?)Fln|,Vi=1,2,L,從而y=(n)el*。對(duì)Vx=NC)sA|lx,NC)sA|lx,所以|,=(<x,x>+<x,y>+<y,x>+<y,y>)-(<x,x>-<x,=4<x,y>.=||x|2+2Re(<x||x|P=||x?+x?|l2=<x?+x?,X?+x?>=<x?,X?>+<X?,Xz>+<X?,Xi>+<X?,X?>=<x?,x>+<x?,X?>=||xM+=(M)+。xεM,由投影定理，設(shè)x=x?+x?,其中x?∈M,x?∈(M),且x?≠0。此時(shí)x?∈M1,故有<x,x?>=<x?+X?,X?>=<x?,X?>=1|x?lf≠0,所以xg(M+)+,因此M+g(M),故有M+=(M)。25.設(shè)X為內(nèi)積空間，M是X的線性子空間，滿足：對(duì)任何x∈X,它26.設(shè)X為內(nèi)積空間，M是X的稠密子集，{en}是X的標(biāo)準(zhǔn)正交系。證明：{e[證明]由{en}完備性定義知必要性是顯然的，下面證明充分性。對(duì)VxeX,由M在X中稠密，對(duì)任意的ε>0,存在y∈M,使得|lx-y|K2,。而對(duì)于y∈M,Parseval等式成立，即存在自然數(shù)N使得下面估計(jì)|x|P:(三角不等式)30.設(shè)H為Hilbert空間，M是H的線性子空間，f是M上的有界[證明]首先，存在f在L=cl(M)上的唯一的延拓g,使得g為L(zhǎng)上的有界線性若L≠H,在L上用Rieze表示定理，3u∈L,使得g(x)=<x,u>,對(duì)VxeL.在H上定義F(x)=<x,u>,VxeH.則F為H上有界線性泛函，且|F|lH=||u||=||glL=llfllx,而且F是g的延拓，因而F也是