大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》考試復(fù)習(xí)練習(xí)題及答案

PAGE4習(xí)題課十五一．選擇題1.若級數(shù)，則級數(shù)（A）（A）；（B）；（C）；（D）發(fā)散。解：收斂，也收斂，且，，故。2．下列級數(shù)中收斂的級數(shù)是（）（A）；（B）；（C）；（D）。解：∵，而收斂，∴收斂。3．設(shè)，則級數(shù)（）（A）絕對收斂；（B）條件收斂；（C）發(fā)散；（D）斂散性與有關(guān)。解：∵，而收斂，∴收斂，從而收斂，又∵發(fā)散，∴發(fā)散。4．（C）（A）絕對收斂；（B）條件收斂；（C）發(fā)散；（D）不能確定其斂散性。解：∵，∴發(fā)散，從而，故發(fā)散。二．填空題1．設(shè)常數(shù)，則當(dāng)滿足條件時，級數(shù)收斂。解：∵當(dāng)時，～，而當(dāng)，即時收斂，∴故當(dāng)時收斂。2．設(shè)，且，則。解：設(shè)與的部分和分別為與，∵收斂，∴設(shè)?！?，∴，∵，∴。三．判別下列級數(shù)的斂散性1．解法1（比較法）：∵，而收斂，∴收斂。解法2（根值法）：∵，，∴，故收斂。解法3（利用級數(shù)的性質(zhì)）：∵，而、均收斂，∴收斂。2.解：，∵，而收斂，∴收斂，從而收斂。3．解：∵，∴發(fā)散。注：∵，∴本題不能用根值法判定，必然不能用比值法判定。4．解法1（比值法）：∵，∴收斂。解法2（根值法）：∵，∴收斂。5．解：，∵當(dāng)時，～，～～，∴～，顯然此級數(shù)為負(fù)項級數(shù)。∵，而收斂，∴收斂。四．解答題1.討論級數(shù)的斂散性，若收斂，是絕對收斂，還是條件收斂。解：設(shè)，則，∵，∴當(dāng)，收斂；當(dāng)，發(fā)散。從而當(dāng)，絕對收斂；當(dāng)，發(fā)散。當(dāng)，，∵，而發(fā)散，∴發(fā)散?！?，且，∴收斂，故當(dāng)，絕對收斂；當(dāng)，發(fā)散；當(dāng)，條件收斂。2.常數(shù)，級數(shù)是（1）發(fā)散；（2）條件收斂；（3）絕對收斂。分析：設(shè)，。，∵，∴發(fā)散。，，但不能確定是否收斂。為此用比較判別法：，顯然，當(dāng)時，收斂，從而絕對收斂。綜上可知，要分，，三種情況進(jìn)行討論。解：設(shè)，，（1），∵，∴，發(fā)散。（2），取，則有，而收斂，∴收斂，故絕對收斂。（3），∵，而發(fā)散，∴發(fā)散。設(shè)，，當(dāng)，，∴，從而，且，故由萊布尼茲判別法知條件收斂。綜上討論可知，當(dāng)時發(fā)散；條件收斂；絕對收斂。五．證明題1．設(shè)級數(shù)收斂，且絕對收斂，試證絕對收斂。證明：設(shè)收斂于，則，其中，∵，∴，從而，，有。又∵，而絕對收斂，即收斂，∴收斂，即絕對收斂。2．設(shè)函數(shù)有定義，在某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明級數(shù)絕對收斂。證法1：∵在某鄰域內(nèi)連續(xù)，∴在，又∵，∴，。公式為，∵在某鄰域內(nèi)連續(xù)，∴，使得，從而當(dāng)，有。而收斂，∴絕對收斂。證法2：∵在某鄰域內(nèi)連續(xù)，∴在，又∵，∴，。用洛必達(dá)法則有，∵存在，∴存在，而收斂，∴絕對收斂。3．設(shè)級數(shù)收斂，且正項級數(shù)收斂，證明級數(shù)收斂。證明：收斂，∵，∴，從而，，。∵正項級數(shù)，∴當(dāng)n充分