函數(shù)的概念與性質(zhì)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)含解析

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(全卷總分值150分,考試用時(shí)120分鐘)一、單項(xiàng)選擇題(此題共8小題,每題5分,共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的)1.(2021北京一零一中學(xué)高一上期末)函數(shù)f(x)=lg(4-x)的定義域?yàn)镸,函數(shù)g(x)=x-4的定義域?yàn)镹,那么M∩N=A.MB.NC.{4}D.?2.(2021四川眉山高一上期末)函數(shù)f(x)=log3(-x),3.(2021重慶縉云教育聯(lián)盟高一上期末)函數(shù)f(x)=log12(-x2-2x+3)的單調(diào)遞減區(qū)間為A.(-∞,-1]B.(-3,-1]C.[-1,1)D.[-1,+∞)4.(2021江蘇揚(yáng)州高一上期末)假設(shè)方程x3-12x=0的解在區(qū)間[k,k+1](k∈Z)內(nèi),那么k的值是5.(2021天津六校高一上期末)設(shè)a=log0.50.6,b=log0.61.2,c=1.20.6,那么a,b,c的大小關(guān)系為()A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a6.(2021廣東廣雅中學(xué)高一上期末)根本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)根本參數(shù).根本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型:I(t)=ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0,T近似滿(mǎn)足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28,T=6.據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)().2天.8天.5天.5天7.(2021安徽師大附中高一上期末)函數(shù)f(x)=2x-1,x>0,-x2-2x,x≤0,假設(shè)8.(2021湖北第五屆高考測(cè)評(píng)高一上期末)假設(shè)定義在R上的函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于圖象上的點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng),f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f(x+4)=-f(x),且f(3)=0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,2021]上的零點(diǎn)最少有()020個(gè)768個(gè)515個(gè)514個(gè)二、多項(xiàng)選擇題(此題共4小題,每題5分,共20分.在每題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,局部選對(duì)的得3分)9.(2021山東泰安高一上期末)函數(shù)f(x)=2x+a2x(a∈R)的圖象可能為10.(2021山東菏澤高一上期末)某同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=x1-|x|時(shí),給出下面幾個(gè)結(jié)論A.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)B.假設(shè)x1≠x2,那么f(x1)≠f(x2)C.函數(shù)g(x)=f(x)+x有三個(gè)零點(diǎn)D.f(x)的值域?yàn)镽11.(2021山東煙臺(tái)高一上期末)函數(shù)f(x)=logax+loga(a-x)(a>0,且a≠1),那么()A.f(x)的定義域?yàn)?0,a)B.f(x)的最大值為2-2loga2C.假設(shè)f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,那么1<a≤4D.f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a212.(2021山東濟(jì)寧高一上期末)實(shí)數(shù)x1,x2(x1<x2)為函數(shù)f(x)=12x-|log2(x-1)|的兩個(gè)零點(diǎn),那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是A.(x1-2)(x2-2)∈(-∞,0)B.(x1-1)(x2-1)∈(0,1)C.(x1-1)(x2-1)=1D.(x1-1)(x2-1)∈(1,+∞)三、填空題(此題共4小題,每題5分,共20分)13.(2021湖南永州高一上期末)冪函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,2),那么f(4)=.

14.(2021江蘇南京高一上期末)函數(shù)f(x)=2x+1,x<1,x2+ax,15.(2021天津耀華中學(xué)高一上期末)a,b∈R,且a-3b+6=0,那么2a+18b16.(2021吉林高一上期末)函數(shù)f(x)=|x|,x≤m,x2-2mx+4m,x>m,其中m>0.假設(shè)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,那么m的取值范圍是;四、解答題(此題共6小題,共70分.解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)(2021河北唐山高一上期末)計(jì)算以下各式的值:(1)1412+3(2)2log32-log336+log25×log54.18.(12分)(2021福建廈門(mén)高一上期末)函數(shù)f(x)=x2+bx+c,且g(x)=f(x)+2x為偶函數(shù),從條件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為條件,求f(x)的解析式.條件①:函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值為5;條件②:函數(shù)f(x)≤0的解集為{1};條件③:方程f(x)=0有兩根x1,x2,且x12+x19.(12分)(2021海南高一上期末)二次函數(shù)f(x)=x2+(3t+1)x+3t-1.(1)假設(shè)f(x)是偶函數(shù),求t的值;(2)假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,-1)和(0,1)上各有一個(gè)零點(diǎn),求t的取值范圍.20.(12分)(2021黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一上期末)設(shè)函數(shù)f(x)=a-22(1)用定義證明f(x)為增函數(shù);(2)假設(shè)f(x)為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值,并求出f(x)的值域.21.(12分)(2021江蘇蘇州高一上期末)經(jīng)屢次試驗(yàn)得到某種型號(hào)的汽車(chē)每小時(shí)耗油量Q(單位:L)、百公里耗油量W(單位:L)與速度v(單位:km/h)(40≤v≤120)的局部數(shù)據(jù)關(guān)系如下表:v406090100120Q5.268.3251015.6W139.25為描述Q與v的關(guān)系,現(xiàn)有以下三種模型供選擇:Q(v)=0.5v+a,Q(v)=av+b,Q(v)=av3+bv2+cv.(1)請(qǐng)?zhí)顚?xiě)表格空白處的數(shù)據(jù),選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型,并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式;(2)某高速公路共有三條車(chē)道,分別是外側(cè)車(chē)道、中間車(chē)道和內(nèi)側(cè)車(chē)道,車(chē)速范圍分別是[60,90),[90,110),[110,120](單位:km/h),問(wèn):該型號(hào)汽車(chē)應(yīng)在哪條車(chē)道以什么速度行駛時(shí)W最小?22.(12分)(2021廣東廣州越秀高一上期末)函數(shù)f(x)=logax(a>0,且a≠1).(1)假設(shè)0<x1<x2,試比擬fx1+x22與(2)假設(shè)a>1,且A(t,f(t)),B(t+2,f(t+2)),C(t+4,f(t+4))(t≥2)三點(diǎn)在函數(shù)y=f(x)的圖象上,記△ABC的面積為S,求S=g(t)的表達(dá)式,并求g(t)的值域.答案全解全析1.D根據(jù)題意得,M={x|x<4},N={x|x≥4},∴M∩N=?.應(yīng)選D.2.B∵f(x)=log3(-x),x<0,f(3.B由-x2-2x+3>0,解得-3<x<1,∴函數(shù)f(x)=log12(-x2-2x+3)令t=-x2-2x+3,那么g(t)=log12t由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為t=-x2-2x+3在(-3,1)上的單調(diào)遞增區(qū)間.t=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,其圖象開(kāi)口向下,對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-1,∴t=-x2-2x+3在(-3,1)上的單調(diào)遞增區(qū)間為(-3,-1].應(yīng)選B.4.B設(shè)f(x)=x3-12x,那么f(0)=0-1=-1<0,f(1)=1-12由函數(shù)零點(diǎn)存在定理知,f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)一定有零點(diǎn),即方程x3-12x=0在區(qū)間(0,1)上有解,所以k的值是0,應(yīng)選5.B0<a=log0.50.6<log0.50.5=1,b=log0.61.2<0,c=1.20.6>1,所以a,b,c的大小關(guān)系為b<a<c.應(yīng)選B.6.B把R0=3.28,T=6代入R0=1+rT,可得r=0.38,∴I(t)=e0.38t,設(shè)初始階段累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要t天,那么I(t)=2I(0),即e0.38t=2,兩邊取自然對(duì)數(shù)得0.38t=ln2,解得t=ln20.38≈1.8.7.D畫(huà)出函數(shù)f(x)=2x-1,函數(shù)g(x)=f(x)-m的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)f(x)的圖象與直線(xiàn)y=m,m∈(0,1)的交點(diǎn)個(gè)數(shù),所以函數(shù)g(x)有3個(gè)零點(diǎn).應(yīng)選D.8.C因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于圖象上的點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng),所以y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng),故f(x)為奇函數(shù).又f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=f[(x+4)+4]=-f(x+4)=f(x).因?yàn)閒(0)=0,f(3)=0,f(-3)=-f(3)=0,所以f(-3+4)=-f(-3)=0,即f(1)=0,f(4)=-f(0)=0,f(5)=f(1+4)=-f(1)=0,f(7)=f(3+4)=-f(3)=0,f(8)=f(0)=0,故在[0,8)上,0,1,3,4,5,7為函數(shù)f(x)的零點(diǎn),又2021=252×8+3,f(2021)=f(0)=0,f(2021)=f(1)=0,f(2021)=f(3)=0,故函數(shù)在區(qū)間[0,2021]上的零點(diǎn)最少有252×6+3=1515個(gè),應(yīng)選C.9.ABD當(dāng)a=0時(shí),f(x)=2x,A中圖象滿(mǎn)足;當(dāng)a=1時(shí),f(x)=2x+12x,f(0)=2,且f(-x)=f(x),定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),B當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=2x-12x,f(0)=0,且f(-x)=-f(x),定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),DC中圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),此時(shí)a=0,故C中圖象不滿(mǎn)足.應(yīng)選ABD.10.ACD畫(huà)出函數(shù)f(x)=x1-|x|對(duì)于A:根據(jù)函數(shù)的圖象可知,函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),故A正確;對(duì)于B:根據(jù)函數(shù)的圖象知,存在x1≠x2,f(x1)=f(x2),故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:令g(x)=0,畫(huà)出函數(shù)y=-x的圖象(圖略),易知函數(shù)y=f(x)的圖象與y=-x的圖象有三個(gè)交點(diǎn),故函數(shù)g(x)=f(x)+x有三個(gè)零點(diǎn),故C正確;對(duì)于D:根據(jù)函數(shù)的圖象知函數(shù)的值域?yàn)镽,故D正確.應(yīng)選ACD.11.AD對(duì)于選項(xiàng)A,令x>0且a-x>0,解得0<x<a,故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,a),應(yīng)選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,f(x)=logax+loga(a-x)=loga[(a-x)x]=loga(-x2+ax),因?yàn)閥=-x2+ax的圖象開(kāi)口向下,故y有最大值,但假設(shè)0<a<1,函數(shù)y=logax單調(diào)遞減,此時(shí)f(x)無(wú)最大值,應(yīng)選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,假設(shè)f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,那么①當(dāng)0<a<1時(shí),那么y=-x2+ax在(0,2)上單調(diào)遞減,故a2≤0,解得a≤0,不符合題意②當(dāng)a>1時(shí),那么y=-x2+ax在(0,2)上單調(diào)遞增,故a2≥2,解得a≥4,應(yīng)選項(xiàng)C錯(cuò)誤對(duì)于選項(xiàng)D,f(x)=logax+loga(a-x),f(a-x)=loga(a-x)+logax=f(x),所以f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a2對(duì)稱(chēng),應(yīng)選項(xiàng)D正確.應(yīng)選AD12.AB令f(x)=0,那么12x=|log2(x-1)|,在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=12x與y=|log2(x-1)|由圖可得1<x1<2<x2,所以(x1-2)(x2-2)∈(-∞,0),故A正確;由于log2[(x1-1)(x2-1)]=log2(x1-1)+log2(x2-1)=-12x1所以0<(x1-1)(x2-1)<1,故B正確,C、D錯(cuò)誤.應(yīng)選AB.13.答案2解析設(shè)冪函數(shù)y=f(x)=xα,α∈R,∵其圖象過(guò)點(diǎn)(2,2),∴2α=2,解得α=12,∴f(x)=x12,∴f(4)=14.答案4解析由f(x)=2x+1,x<1,x2+ax,x≥1得解得a=4,故答案為4.15.答案1解析由a-3b+6=0,可得3b=a+6,那么2a+18b=2a+12a+6=2a+12當(dāng)且僅當(dāng)2a=12a+6,即a=-3時(shí)取等號(hào).因此2a+116.答案(0,3];(3,+∞)解析當(dāng)m>0時(shí),函數(shù)f(x)=|x|,要使f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,那么m≤4m-m2,解得0≤m≤3,又m>0,∴0<m≤3,那么m的取值范圍是(0,3];要使關(guān)于x的方程f(x)=b有三個(gè)不同的實(shí)根,那么4m-m2<m,即m2>3m,解得m>3,那么m的取值范圍是(3,+∞).17.解析(1)原式=12+2-3=-12.(5(2)原式=log34-log336+log24(7分)=log319+2=-2+2=0.(10分18.解析函數(shù)f(x)=x2+bx+c,那么g(x)=f(x)+2x=x2+(b+2)x+c,(2分)因?yàn)間(x)為偶函數(shù),所以g(-x)=g(x),即(-x)2-(b+2)x+c=x2+(b+2)x+c,可得b=-2,(4分)所以f(x)=x2-2x+c,其圖象開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1.(6分)假設(shè)選條件①,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值為5,那么f(-2)=4+4+c=5,解得c=-3,(10分)所以f(x)的解析式為f(x)=x2-2x-3.(12分)假設(shè)選條件②,函數(shù)f(x)≤0的解集為{1},那么f(1)=0,即1-2+c=0,解得c=1,(10分)所以f(x)的解析式為f(x)=x2-2x+1.(12分)假設(shè)選條件③,方程f(x)=0有兩根x1,x2,且x12+那么由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=2,x1x2=c,(8分)又(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2所以4=10+2c,解得c=-3,所以f(x)的解析式為f(x)=x2-2x-3.(12分)19.解析(1)∵f(x)是偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),∴(-x)2-(3t+1)x+3t-1=x2+(3t+1)x+3t-1,(3分)即2(3t+1)x=0對(duì)x∈R恒成立,∴t=-13.(6分(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,-1)和(0,1)上各有一個(gè)零點(diǎn),所以f(-2)即4-2(3t+1)+3故t的取值范圍為-16,120.解析(1)證明:由題意知,x∈R,任取x1,x2∈R,且x1<x2,那么f(x1)-f(x2)=2(2x1∵x1<x2,∴2x1-2x2<0,又(2x1∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴函數(shù)f(x)是增函數(shù).(6分)(2)由題意可知,f(x)+f(-x)=2a-22x+1-22∴a=12x+1+12故f(x)=1-22∵2x+1>1,∴0<22∴-2<-22x+1<0,∴-1<f故f(x)的值域是(-1,1).(12分)21.解析(1)填表如下:v406090100120Q5.268.3251015.6W13109.251013由題意可得符合的函數(shù)模型需滿(mǎn)足在40≤v≤120時(shí)有意義,且在[40,120]上為增函數(shù).Q(v)=0.5v+a在[40,120]