x軸上的平面簡(jiǎn)諧波方程

x軸上的平面簡(jiǎn)諧波方程

簡(jiǎn)合波是彈性介質(zhì)中的簡(jiǎn)合振動(dòng)傳播的波源沿y方向振動(dòng)，波源在x軸上傳播的平面簡(jiǎn)合波方程如下所示。y=Acos[ωt±kx+α](1)式(1)描述了介質(zhì)中各體元在各時(shí)刻的振動(dòng)情形.當(dāng)變量x取一定值x0時(shí),方程只描述介質(zhì)中x0處一個(gè)體元的簡(jiǎn)諧振動(dòng),式(1)變?yōu)?y=Acos[ωt±kx0+α](2)即為x0處體元的振動(dòng)方程.當(dāng)變量t取一定值t0時(shí),則方程所表達(dá)的是在t0時(shí)刻介質(zhì)中各個(gè)體元的瞬時(shí)狀態(tài).式(1)變?yōu)?y=Acos[ωt0±kx+α](3)即為t0時(shí)刻的波形方程.1簡(jiǎn)單的波形圖像1.1變形態(tài)型的函數(shù)關(guān)系令Φ=ωt0+α,將式(3)化簡(jiǎn)為:y=Acos(±kx+Φ)(4)為方便,以波源在原點(diǎn),波源沿y方向振動(dòng),波沿x軸負(fù)方向傳播的一列平面簡(jiǎn)諧波的波方程為例說(shuō)明.令k=π,φ=π2k=π,φ=π2.則式(4)變?yōu)榫唧w的波形方程:y=2cos(πx+π2)(5)y=2cos(πx+π2)(5)從數(shù)學(xué)上看,式(5)是以x為自變量,以y為因變量的函數(shù)關(guān)系式.自變量的定義域未限定.其函數(shù)曲線如圖1.是沿x軸兩方無(wú)限延伸的函數(shù)曲線.因余弦函數(shù)是偶函數(shù),式(5)可變?yōu)?y=2cos(?πx?π2)(6)y=2cos(-πx-π2)(6)從數(shù)學(xué)上看,式(6)和式(5)是完全等價(jià)的.式(6)自變量的定義域也未限定.因此,式(6)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)曲線與圖1完全相同.1.2x軸實(shí)際波形圖.自然圖2.從物理上看,式(5)代表波源在原點(diǎn),波源沿y方向振動(dòng),波沿x軸負(fù)方向傳播的一列平面簡(jiǎn)諧波.因此式(5)代表的波形圖只存在于x軸的負(fù)半軸.波形圖如圖2;而式(6)代表波源在原點(diǎn),波沿y方向振動(dòng),波沿x軸正向傳播的一列平面簡(jiǎn)諧波.因此式(6)所對(duì)應(yīng)的波形圖只存在于x軸的正半軸.其波形圖如圖3.1.3改進(jìn)波形圖的形成物理中給出的波形方程都具有特定的物理意義.式(5)代表波源在原點(diǎn)且沿x軸負(fù)向傳播的平面簡(jiǎn)諧波.波是由波源的振動(dòng)在彈性介質(zhì)中傳播而產(chǎn)生的.即波源是波的起始點(diǎn),而波又沿負(fù)向傳播,因此與式(5)對(duì)應(yīng)的波形圖只能存在于x軸的負(fù)半軸.同理,式(6)代表的波形圖也只能存在x軸的正半軸.也就是說(shuō)我們做式(5)的波形圖時(shí),應(yīng)該做成圖2的形式.做式(6)的波形圖時(shí),應(yīng)該做成圖3的形式.在通常的教學(xué)實(shí)踐和學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中,主要是基于做函數(shù)圖象時(shí)習(xí)慣首先做出x軸正向的圖象,再由余弦函數(shù)具有的對(duì)稱(chēng)性得出x負(fù)向的圖象.于是我們也經(jīng)常將式(5)的波形圖做成圖3或圖1的形式.也經(jīng)常將式(6)的波形圖做成圖2或圖1的形式.再由波形方程所具有的對(duì)稱(chēng)性得出波形圖所在的確切位置.數(shù)學(xué)中的函數(shù)曲線和物理中的波形圖是兩個(gè)不同的概念.數(shù)學(xué)中已知函數(shù)及函數(shù)的定義域和值域就可畫(huà)其函數(shù)曲線;而用數(shù)學(xué)函數(shù)來(lái)表示物理中的波形方程時(shí)就有其明確而特定的物理意義.兩函數(shù)僅相差一個(gè)符號(hào),其物理意義可能完全不同.因此,如果把式(5)的波形做成圖3或把式(6)的波形做成圖2是沒(méi)有任何物理意義的,這只是習(xí)慣上從數(shù)學(xué)的角度順接出的函數(shù)曲線而已.實(shí)際上波形在這里并不存在.我們畫(huà)波形時(shí)若仍沿用習(xí)慣做法去做波形方程的圖象,就很可能忽略了波形方程所代表的具體物理意義.因此,在此特別強(qiáng)調(diào)這個(gè)容易被人們混淆的問(wèn)題.由以上分析和波的物理意義可得一個(gè)波方程只能代表沿某一方向傳播的一列波的結(jié)論.2波源的位置以及波的圖像的影響2.1介質(zhì)中波源在原位處的振動(dòng)方程式(2)代表x0處體元的振動(dòng)方程.當(dāng)取x0=0時(shí),式(2)變?yōu)?y=Acos(ωt+α)(7)式(7)表示位于坐標(biāo)原點(diǎn)處體元的振動(dòng)方程.此式不含x項(xiàng),因此與空間變量x無(wú)關(guān),為一純振動(dòng)方程.說(shuō)明介質(zhì)中各體元的振動(dòng)由原點(diǎn)的振動(dòng)引起,即波源在坐標(biāo)原點(diǎn)處,由此可知,波方程式(1)中若關(guān)于x的項(xiàng)只有一項(xiàng).則表明此波的波源必在原點(diǎn)(x=0)處.2.2純振動(dòng)方程法若式(3)中關(guān)于x的項(xiàng)有兩項(xiàng).則式(3)變?yōu)?y=Acos[±k(x±x1)+ωt0+α](8)使此方程變?yōu)橐患冋駝?dòng)方程,即方程中不含x項(xiàng),則x=±x1方可滿足,那么此波的波源將不在原點(diǎn)處.2.2.1波沿x軸向傳播x1項(xiàng)取“-”號(hào)時(shí),波源位于+x1處,k前取“-”號(hào)時(shí),波沿x軸正向傳播,波形圖只存在于x1的右側(cè).k前取“+”號(hào)時(shí),波沿x軸負(fù)向傳播,波形圖只存在于x1的左側(cè).2.2.2波沿x軸向傳播x1項(xiàng)取“+”號(hào)時(shí),波源位于-x1處,k前取“-”號(hào)時(shí),波沿x軸正向傳播,波形只存在于-x1的右側(cè).k前取“+”號(hào)時(shí),波沿x軸負(fù)向傳播,波形只存在于-x1的左側(cè).2.3軸類(lèi)波的傳播“x”b我們經(jīng)常說(shuō)來(lái)自無(wú)限遠(yuǎn)處的波,或波源在無(wú)限遠(yuǎn)處。在這里我們分析一下其真正的內(nèi)涵.在式(8)中,若取x1=∞,則式(8)可寫(xiě)為:y=Acos[±k(x±∞)+ωt0+α](9)表示波源分別位于“+∞”和“-∞”處的兩列平面簡(jiǎn)諧波.但波源在“+∞”時(shí),波只能向x軸負(fù)向傳播,所以k前只能取“+”號(hào);同理,當(dāng)波源在“-∞”時(shí),波只能沿x軸正向傳播,所以k前只能取“-”號(hào)。因此,波源在“+∞”的波形方程為:y=Acos[k(x-∞)+ωt0+α](10)波源在“-∞”的波形方程為:y=Acos[-k(x+∞)+ωt0+α](11)物理中所謂的無(wú)窮是指相對(duì)于研究對(duì)象很大或很遠(yuǎn)的量而已,因此式(10)或式(11)中的“-∞”和“+∞”是很大的正數(shù)或負(fù)數(shù).余弦函數(shù)又是以2π為周期的函數(shù),令式(10)中的“-k∞+ωt0+α”項(xiàng)被2π除后的余數(shù)為φ.則式(10)可化簡(jiǎn)為:y=Acos(kx+φ)(12)式(12)中的φ在物理上是已知的有限量,A和k在具體的問(wèn)題中是給定的.因此式(12)的波形就能精確畫(huà)出.同理,式(11)也可經(jīng)同樣的化簡(jiǎn).其波形也同樣可精確做出.2.4y=acos波和y+acos波如果波源在原點(diǎn),波源的振動(dòng)將引起沿x軸正、負(fù)半軸傳播的兩列波,兩列波的初相相同,且波形關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).例如波形方程分別為y=Acos(?πx+π2)(13)y=Acos(-πx+π2)(13)和y=Acos(πx+π2)(14)y=Acos(πx+π2)(14)的兩列波,波源在原點(diǎn)且初相相同,其波形圖如圖4。圖4中x正半軸的圖象是式(13)的波形圖,x負(fù)半軸的圖象是式(14)的波形圖.即一點(diǎn)的振動(dòng)