x軸上的平面簡諧波方程

x軸上的平面簡諧波方程

簡合波是彈性介質(zhì)中的簡合振動傳播的波源沿y方向振動，波源在x軸上傳播的平面簡合波方程如下所示。y=Acos[ωt±kx+α](1)式(1)描述了介質(zhì)中各體元在各時刻的振動情形.當(dāng)變量x取一定值x0時,方程只描述介質(zhì)中x0處一個體元的簡諧振動,式(1)變?yōu)?y=Acos[ωt±kx0+α](2)即為x0處體元的振動方程.當(dāng)變量t取一定值t0時,則方程所表達的是在t0時刻介質(zhì)中各個體元的瞬時狀態(tài).式(1)變?yōu)?y=Acos[ωt0±kx+α](3)即為t0時刻的波形方程.1簡單的波形圖像1.1變形態(tài)型的函數(shù)關(guān)系令Φ=ωt0+α,將式(3)化簡為:y=Acos(±kx+Φ)(4)為方便,以波源在原點,波源沿y方向振動,波沿x軸負方向傳播的一列平面簡諧波的波方程為例說明.令k=π,φ=π2k=π,φ=π2.則式(4)變?yōu)榫唧w的波形方程:y=2cos(πx+π2)(5)y=2cos(πx+π2)(5)從數(shù)學(xué)上看,式(5)是以x為自變量,以y為因變量的函數(shù)關(guān)系式.自變量的定義域未限定.其函數(shù)曲線如圖1.是沿x軸兩方無限延伸的函數(shù)曲線.因余弦函數(shù)是偶函數(shù),式(5)可變?yōu)?y=2cos(?πx?π2)(6)y=2cos(-πx-π2)(6)從數(shù)學(xué)上看,式(6)和式(5)是完全等價的.式(6)自變量的定義域也未限定.因此,式(6)所對應(yīng)的函數(shù)曲線與圖1完全相同.1.2x軸實際波形圖.自然圖2.從物理上看,式(5)代表波源在原點,波源沿y方向振動,波沿x軸負方向傳播的一列平面簡諧波.因此式(5)代表的波形圖只存在于x軸的負半軸.波形圖如圖2;而式(6)代表波源在原點,波沿y方向振動,波沿x軸正向傳播的一列平面簡諧波.因此式(6)所對應(yīng)的波形圖只存在于x軸的正半軸.其波形圖如圖3.1.3改進波形圖的形成物理中給出的波形方程都具有特定的物理意義.式(5)代表波源在原點且沿x軸負向傳播的平面簡諧波.波是由波源的振動在彈性介質(zhì)中傳播而產(chǎn)生的.即波源是波的起始點,而波又沿負向傳播,因此與式(5)對應(yīng)的波形圖只能存在于x軸的負半軸.同理,式(6)代表的波形圖也只能存在x軸的正半軸.也就是說我們做式(5)的波形圖時,應(yīng)該做成圖2的形式.做式(6)的波形圖時,應(yīng)該做成圖3的形式.在通常的教學(xué)實踐和學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中,主要是基于做函數(shù)圖象時習(xí)慣首先做出x軸正向的圖象,再由余弦函數(shù)具有的對稱性得出x負向的圖象.于是我們也經(jīng)常將式(5)的波形圖做成圖3或圖1的形式.也經(jīng)常將式(6)的波形圖做成圖2或圖1的形式.再由波形方程所具有的對稱性得出波形圖所在的確切位置.數(shù)學(xué)中的函數(shù)曲線和物理中的波形圖是兩個不同的概念.數(shù)學(xué)中已知函數(shù)及函數(shù)的定義域和值域就可畫其函數(shù)曲線;而用數(shù)學(xué)函數(shù)來表示物理中的波形方程時就有其明確而特定的物理意義.兩函數(shù)僅相差一個符號,其物理意義可能完全不同.因此,如果把式(5)的波形做成圖3或把式(6)的波形做成圖2是沒有任何物理意義的,這只是習(xí)慣上從數(shù)學(xué)的角度順接出的函數(shù)曲線而已.實際上波形在這里并不存在.我們畫波形時若仍沿用習(xí)慣做法去做波形方程的圖象,就很可能忽略了波形方程所代表的具體物理意義.因此,在此特別強調(diào)這個容易被人們混淆的問題.由以上分析和波的物理意義可得一個波方程只能代表沿某一方向傳播的一列波的結(jié)論.2波源的位置以及波的圖像的影響2.1介質(zhì)中波源在原位處的振動方程式(2)代表x0處體元的振動方程.當(dāng)取x0=0時,式(2)變?yōu)?y=Acos(ωt+α)(7)式(7)表示位于坐標原點處體元的振動方程.此式不含x項,因此與空間變量x無關(guān),為一純振動方程.說明介質(zhì)中各體元的振動由原點的振動引起,即波源在坐標原點處,由此可知,波方程式(1)中若關(guān)于x的項只有一項.則表明此波的波源必在原點(x=0)處.2.2純振動方程法若式(3)中關(guān)于x的項有兩項.則式(3)變?yōu)?y=Acos[±k(x±x1)+ωt0+α](8)使此方程變?yōu)橐患冋駝臃匠?即方程中不含x項,則x=±x1方可滿足,那么此波的波源將不在原點處.2.2.1波沿x軸向傳播x1項取“-”號時,波源位于+x1處,k前取“-”號時,波沿x軸正向傳播,波形圖只存在于x1的右側(cè).k前取“+”號時,波沿x軸負向傳播,波形圖只存在于x1的左側(cè).2.2.2波沿x軸向傳播x1項取“+”號時,波源位于-x1處,k前取“-”號時,波沿x軸正向傳播,波形只存在于-x1的右側(cè).k前取“+”號時,波沿x軸負向傳播,波形只存在于-x1的左側(cè).2.3軸類波的傳播“x”b我們經(jīng)常說來自無限遠處的波,或波源在無限遠處。在這里我們分析一下其真正的內(nèi)涵.在式(8)中,若取x1=∞,則式(8)可寫為:y=Acos[±k(x±∞)+ωt0+α](9)表示波源分別位于“+∞”和“-∞”處的兩列平面簡諧波.但波源在“+∞”時,波只能向x軸負向傳播,所以k前只能取“+”號;同理,當(dāng)波源在“-∞”時,波只能沿x軸正向傳播,所以k前只能取“-”號。因此,波源在“+∞”的波形方程為:y=Acos[k(x-∞)+ωt0+α](10)波源在“-∞”的波形方程為:y=Acos[-k(x+∞)+ωt0+α](11)物理中所謂的無窮是指相對于研究對象很大或很遠的量而已,因此式(10)或式(11)中的“-∞”和“+∞”是很大的正數(shù)或負數(shù).余弦函數(shù)又是以2π為周期的函數(shù),令式(10)中的“-k∞+ωt0+α”項被2π除后的余數(shù)為φ.則式(10)可化簡為:y=Acos(kx+φ)(12)式(12)中的φ在物理上是已知的有限量,A和k在具體的問題中是給定的.因此式(12)的波形就能精確畫出.同理,式(11)也可經(jīng)同樣的化簡.其波形也同樣可精確做出.2.4y=acos波和y+acos波如果波源在原點,波源的振動將引起沿x軸正、負半軸傳播的兩列波,兩列波的初相相同,且波形關(guān)于y軸對稱.例如波形方程分別為y=Acos(?πx+π2)(13)y=Acos(-πx+π2)(13)和y=Acos(πx+π2)(14)y=Acos(πx+π2)(14)的兩列波,波源在原點且初相相同,其波形圖如圖4。圖4中x正半軸的圖象是式(13)的波形圖,x負半軸的圖象是式(14)的波形圖.即一點的振動