2023年四川省綿陽市涪城區(qū)中考數學模擬試卷

2023年四川省綿陽市涪城區(qū)中考數學模擬試卷

一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.若|5—x|=x-5,則％的取值范圍為（）

A.%>5B.%>5C.%<5D.x<5

2.如圖所示的鋼塊零件的主視圖為（）

A.——

B.

c|----------

D.

3.中國信息通信研究院測算，2020—2025年，中國5G商用帶動的信息消費規(guī)模將超過8萬

億元，直接帶動經濟總產出達10.6萬億元.其中數據10.6萬億用科學記數法表示為（）

A.10.6x104B.1.06x1013C.10.6x1013D.1.06x108

4.關于等邊三角形，下列說法不正確的是（）

A.等邊三角形是軸對稱圖形B.所有的等邊三角形都相似

C.等邊三角形是正多邊形D.等邊三角形是中心對稱圖形

5.已知一組數據：1,2,a,b,5,8的平均數和中位數都是4（a,b均為正整數），在去掉其

中的一個最大數后，該組數據的（）

A.中位數不變B.眾數不變C,平均數不變D.方差不變

6.如圖，ABCDEF是中心為原點0,頂點4。在x軸上，半徑為4的正六邊形，則頂點尸的坐

標為（）

A.(2,2V-3)B.(-2,2)C.(-2,2，^)D.(-1,＜3)

7.正整數a、b分別滿足庫＜a＜儂、＜/?＜則/=()

A.4B.8C.9D.16

8.小明、小穎和小凡都想去影院看電影，但現在只有一張門票，三人決定一起做游戲，誰

獲勝誰就去，游戲規(guī)則是：連續(xù)擲兩枚質地均勻的硬幣，若兩枚正面朝上，則小明獲勝，若

兩枚反面朝上，則小穎獲勝；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，則小凡獲勝，關于這個游戲,

卜列判斷正確的是()

A.三人獲勝的概率相同B.小明獲勝的概率大

C.小穎獲勝的概率大D.小凡獲勝的概率大

9.等底、等體積的圓柱和圓錐,圓錐的高是6分米，圓柱的高是()

A.2分米B.3分米C.6分米D.18分米

10.如圖1,在菱形4BCD中，乙4=60。，動點P從點4出發(fā)，沿折線AC-DCrCB方向勻

速運動，運動到點B停止.設點P的運動路程為x,AAPB的面積為y,y與％的函數圖象如圖2所

示，貝MB的長為()

11.二次函數丫=(1/+/^+，的圖象不經過第二象限，則a、氏c的取值范圍是()

A.a>0,b<0,c=0B.a<0,b<0,c<0

C.a<0,b<0,c>0D.a<0,b>0,c<0

12.如圖，在矩形ABCD中，。為AC中點，EF過。點且EFJ.4C分別交

DC于F,交48于E,點G是AE中點且乙4OG=30。，則下列結論正確的

個數為（）

①DC=3OG;②。G=^BC；③AOGE是等邊三角形；@S^A0E=

%S矩形ABCD，

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）

13.分解因式a3-81a的結果是

14.方程々=丁二的解是.

15.如圖1,△ABC中，。是4c邊上的點，先將4BD沿著BD翻折，使點4落在點4'處，且&D〃BC,

4B交4c于點E（如圖2）,又將ABCE沿著AB翻折，使點C落在點C'處，若點C'恰好落在8。上（

如圖3),且NC'EB=75°,則NC=

16.如圖，地面上兩個村莊C、。處于同一水平線上，一飛行器

在空中以12千米/小時的速度沿MN方向水平飛行，航線MN與C、

。在同一鉛直平面內.當該飛行器飛至村莊C的正上方力處時，測

得ZM4D=6O。，該飛行器從4處飛行40分鐘至B處時，測得

乙ABD=75°,則村莊C、D間的距離為千米.（門x1.732,

結果保留一位小數）

fx+3

2

17.不等式組亍-的解集為

lx-4<0

18.如圖，點4是半徑為2的。0上一點，點C是。。上一動點（不與點

4重合），以C為直角頂點畫等腰直角△ABC,0,C在直線AB的兩側,

則線段0B長的最小值為.

三、計算題（本大題共1小題，共12.0分）

19.陳老師的家鄉(xiāng)出產青李，因雪峰山特殊的地形形成特殊的氣候，所以青李的品質很高.家

鄉(xiāng)人成立了雪峰商會，其中有一專項就是青李的銷售.去年青李成熟之際，商會收集了大量的

青李，用4,B兩種型號的貨車，分兩批裝箱運往C市銷售，具體運輸情況如下表：

第一批第二批

力型貨車的輛數（單位：輛）815

B型貨車的輛數（單位：輛）410

累計運輸物資的噸數（單位：噸）4495

備注：第一批、第二批每輛貨車均滿載

（1）求4、8兩種型號貨車每輛滿載分別能運多少噸青李？

（2）己知4型車滿載運往C市一趟的運費為540元，8型車滿載運往C市一趟的運費需要740元,

商會后續(xù)又籌集了40噸青李，現需要10輛貨車運送青李.為控制運費不超過6600元，試問有

哪兒種方案可以一次性將這批青李運往目的地？

四、解答題（本大題共6小題，共78.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

20.（本小題16.0分）

先化簡，再求值：曜+密孚_也|,其中。=（3一，虧L+

a+Za4—4a+3J

21.（本小題12.0分）

青少年“心理健康”問題越來越引起社會的廣泛關注，某區(qū)為了解學生的心理健康狀況，對

中學初二學生進行了一次“心理健康”知識測試，隨機抽取了部分學生的成績作為樣本，繪

制了頻率分布表和頻率分布直方圖的一部分.

學生心理健康測試成績頻率統(tǒng)計表

分組頻數頻率

50?6040.08

60?70140.28

70?80m0.32

80-9060.12

90-100100.20

合計1.00

請解答下列問題:

（1）學生心理健康測試成績頻率統(tǒng)計表中的m=

（2）請補全學生心理健康測試成績頻數統(tǒng)計圖;

（3）若成績在60分以下（不含60分）心理健康狀況為不良，60分-70分（含60分）為一般，70分

-90分（含70分）為良好，90分（含90分）以上為優(yōu)秀，請補全學生心理健康狀況扇形統(tǒng)計圖.

22.（本小題12.0分）

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=ax+b與雙曲線y=/相交于8（九,一2）兩點,

直線與x軸、y軸交于C,D兩點，且tanZTlOC=1.

⑴求k,a,b的值;

（2）求AAOB的面積.

23.(本小題12.0分)

如圖，點E,F分別為矩形2BCD邊ZD,CD上的點，以BE為直徑作。。交BF于點G,且EF與

。。相切，連結EG.

(1)若4E=EG,求證：AABENAGBE.

(2)若AB=2,tanzfBF=

①求。E的長.

②連結4G,若A/IBG是以4G為腰的等腰三角形，求所有滿足條件的BC的長.

(3)連結CG,若CG的延長線經過點4,且EC=EG,求霧的值.

24.(本小題12.0分)

如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線與％軸交于4(2,0)、B兩點,與y軸交于點C,頂點。的坐

標為(4,—2).

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知直線I：y=:x與拋物線交于E、尸兩點(點E在F的左側)，點G為線段EF上的一個動點，

過6作丁軸的平行線交拋物線于點H,求GH+GF的最大值及此時點G的坐標；

(3)在(2)的條件下，如圖2,若點G是OF的中點，將AOBG繞點。旋轉，旋轉過程中，點B的

對應點為夕、點G的對應點為G',將拋物線沿直線4F的方向平移(兩側均可)，在平移過程中點

。的對應點為D',在運動過程中是否存在點B'和點D'關于△4BF的某一邊所在直線對稱(B'與

o'不重合），若存在，請直接寫出點夕的坐標;若不存在，請說明理由.

圖2

25.（本小題14.0分）

定義：我們把一組對邊平行另一組對邊相等且不平行的四邊形叫做等腰梯形.

【性質初探】如圖1,已知，°ABCD,4B=80。，點E是邊4。上一點，連結CE,四邊形A8CE恰

為等腰梯形.求NBCE的度數;

【性質再探】如圖2,已知四邊形4BCD是矩形，以BC為一邊作等腰梯形BCEF,BF=CE,

連結BE、CF.求證：BE=CF：

【拓展應用】如圖3,Q4BC。的對角線AC、BD交于點0,AB=2,^ABC=45°,過點0作4c

的垂線交BC的延長線于點G,連結。G.若NCDG=90。，求BC的長.

圖1

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：：|5-x|=x-5,

???5—x<0,

即％>5,

故選：B.

根據絕對值的定義得到5-x<0即可.

本題考查絕對值，理解絕對值的定義是正確解答的前提.

2.【答案】A

【解析】解：從正面看是一個“凹”字形，

故選：A.

根據從正面看得到的視圖是主視圖，可得答案.

本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的視圖是主視圖.

3.【答案】B

【解析】解：10.6萬億=10600000000000=1.06x1013.

故選：B.

科學記數法的表示形式為axIO11的形式，其中n為整數.確定n的值時，要看把原

數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值210時，

n是非負數；當原數的絕對值<1時，n是負數.

此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為ax10'的形式，其中1<|a|<10,n

為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

4【答案】D

【解析】解：4、根據軸對稱圖形的定義，沿邊上的垂直平分線折疊能夠重合，所以本選項錯誤；

B、因為所有的等邊三角形的角都是60。，所以本選項錯誤；

C、因為等邊三角形的角相等，邊相等，所以本選項錯誤；

。、根據中心對稱圖形的定義，等邊三角形不是中心對稱圖形，所以本選項正確；

故選：D.

根據軸對稱圖形的定義，沿邊上的垂直平分線折疊能夠重合，即可判斷；根據所有的等邊三角形

的角都是60。，即可判斷；根據等邊三角形的角相等，邊相等，即可判斷；根據中心對稱圖形的定

義即可判斷.

本題主要考查對等邊三角形的性質，多邊形，相似三角形的判定，軸對稱圖形，中心對稱圖形等

知識點的理解和正確，能熟練地運用這些性質進行推理是解此題的關犍.

5.【答案】B

【解析】解：根據數據1,2,a,b,5,8的平均數為4,得(l+2+a+b+5+8)=6x4,解

得a+b=8；

由中位數是4,所以a=b=4或a=3,b=5；

去掉一個最大數8后，該組數據的平均數和方差都變小，中位數可能是4,也可能是3,

當￡1=/?=4時，眾數與原來相同，都是4；

當a=3,b=5時，眾數與原來也相同，都是5.

故選：B.

根據該組數據的平均數得出a+b的值，再根據中位數得出a、b的值，討論去掉一個最大數后，該

組數據的平均數、標準差和中位數、眾數的變化情況.

本題考查了數據的分析與應用問題，解題的關鍵是掌握眾數、中位數、平均數，方差的定義以及

求解方法，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了正多邊形和圓，坐標與圖形性質，得出OF=4,4GOF=30。是解題的關鍵.

連接OF,由于正六邊形的中心角是60。，貝必4。尸是等邊三角形，OF=4,設EF交y軸于G,那么

/.GOF=30°,然后在RtaGOF中，利用勾股定理求出GF與0G的值，進而得到點F的坐標.

【解答】

解：連接?？?/p>

??.△40戶是等邊三角形，

0A=0F=4.

設片產交丫軸于G,貝叱G0F=30°.

^.Rt^GOF^,

???AGOF=30°,OF=4,

GF=2,OG=2V-3.

F(-2,2/^).

故選：C.

7.【答案】D

【解析】解：,：V53<V64<V98>V_7<<4<V-7，

a=4,b=2.

???24—16.

故選：D.

根據a、b的取值范圍，先確定a、b,再計算

本題考查了無理數的估值，掌握立方根、平方根的意義，并能根據a、b的取值范圍確定a、b的值

是解決本題的關鍵.

8.【答案】D

【解析】解：如圖所示:

所有的可能為；（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），

故小明獲勝的概率為：小穎獲勝的概率為：;，小凡獲勝的概率為：;，

故此游戲小凡獲勝概率大，

故選：D.

利用樹狀圖法得出所有的可能，進而分別求出獲勝的概率即可.

本題主要考查列表法和樹狀圖，正確利用樹狀圖法求概率是解題關鍵.

9.【答案】A

【解析】解：???圓柱的體積公式U=s九，圓錐的體積公式V=gs/t,

.??等底等體積的圓柱和圓錐，圓柱的高是圓錐高的今

6xg=2（分米），

故選：A.

根據圓柱的體積公式U=S/1與圓錐的體積公式U=gsh得出等底等體積的圓錐與圓柱，圓柱的高是

圓錐的高的主由此可得出答案.

考查了圓柱與圓錐的計算，解題的關鍵是了解圓錐與圓柱的計算公式，難度不大.

10.【答案】B

【解析】解：在菱形ZBCD中，乙4=60。，

為等邊三角形，

設4B=a,由圖2可知，A4BD的面積為34百，

4BD的面積=a2=3\/~3>

解得：a=2y/~3f

故選:B.

根據圖1和圖2判定三角形ZBD為等邊三角形，它的面積為32解答即可.

本題考查了動點問題的函數圖象，根據菱形的性質和函數圖象，能根據圖形得出正確信息是解此

題的關鍵.

II.【答案】D

【解析】解：???二次函數y=ax2+bx+c的圖象不經過第二象

限，

則大致圖象為右圖所示，

由圖象即可判斷出a<0,b>0,c<0,

故選：D.

根據二次函數y=ax2+bx+c的圖象不經過第二象限可畫出大致圖象，圖象開口決定a的符號，

與y軸交點決定c的符號，對稱軸所在位置決定b的符號.

本題考查了二次函數圖象與系數的關系，根據二次函數y=ax2+bx+c不過第二象限畫出大致圖

象是解題的關鍵.

12.【答案】C

【解析】解：???EFJ.4C,點G是4E中點，

AOG=AG=GE=^AE,

???乙AOG=30°,

???WAG=AAOG=30°,乙GOE=90°-乙4OG=90°-30°=60°,

；.△OGE是等邊三角形，故③正確；

設AE=2a,貝iJOE=OG=a,

由勾股定理得，AO=VAE2-0E2=V(2a)2-a2=Ga,

???。為AC中點，

AC—2A0——2V-3a,

BC=^AC=1x2ca=Ca,

在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=I(2V~3a)2-(V-3a)2=3a，

???四邊形4BCD是矩形,

CD=AB-3a,

DC=30G,故①正確；

OG=a,iBC——a>

OG^^BC,故②錯誤；

2

"SMOE=|a-V-3a=1a?,S^ABCD=3a-=3Ha,

"S^AOE=%S矩形ABCD，故④正確；

綜上所述，結論正確的是①③④，

故選：C.

由直角三角形斜邊上的中線性質得0G=4G=GE=^AE,再求出求出NGOE=60。，得△OGE是

等邊三角形，則③正確；設4E=2a,由等邊三角形的性質表示出OE,再由勾股定理列式求出40,

從而得到AC,再求出BC,然后由勾股定理求出4B=3a,得①正確，②錯誤；最后由三角形的

面積和矩形的面積得④正確即可.

本題考查了矩形的性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判

定與性質，勾股定理等知識；熟練掌握矩形的性質，由勾股定理求出BC的長是解題的關鍵.

13.【答案】a(a+9)(a-9)

【解析】解:原式=磯。2一81)

=CL[CL+9)(a—9).

故答案為：a(a+9)(a—9).

先提取公因式，再利用平方差公式.

本題考查了整式的因式分解，掌握提公因式法、平方差公式是解決本題的關鍵.

14.【答案】x

【解析】解：去分母得：2x=l,

解得：x=

檢驗：當x=g時，2(%-1)片0,

???分式方程的解為x=

故答案為：X=

分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到％的值，經檢驗即可得到分式方程的解.

此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗.

15.【答案】80

【解析】解："A'D//BC,

???/.A'=乙CBE,

由折疊可得：乙ABD=LDBE=iCBE,ABC'E=zC,

:.Z.A=乙ABD=Z-DBE—乙CBE,

???(BC'E+乙CEB+乙DBE=180°,乙C'EB=75°,

???乙BC'E+乙DBE=105°,

，乙C+乙DBE=105°,

v+NC+Z.ACB=180°,

???ZC+4乙DBE=180°,

???ZC=80°,

故答案為：80.

先由平行線性質得：/4'=4CBE,再由折疊可得：44=AA',AABD=乙DBE=乙CBE,乙BC'E=AC,

則乙4=乙43。=NDBE=4CBE,由三角形內角和定理知4BC'E+NC'EB+NDBE=180。，而

Z.CEB=75°,可求得NC+NDBE=105。，然后由+4C+Z71CB=180。，則4C+4/DBE=

180°,即可求出NC度數.

本題考查平行線的性質，折疊性質，三角形內角和定理，求出NC+"BE=105。和4c+4/DBE=

180。是解題的關鍵.

16.【答案】5.5

【解析】解：如圖，過B作BEJ.4D于E,

CD

???4NAD=60°,4ABD=75°,

Z.ADB=45°,

■：AB=12x卷=8（千米），

AE=4（千米）.BE=41彳（千米），

???DE=BE=4C（千米），

--.AD=（4+4門）（千米），

vZC=90,/.CAD=30°,

ACD=^AD=2+2^J~3?5.5（千米）.

故答案為：5.5.

過B作BE14。于E,三角形的內角和得到4力。8=45°,根據直角三角形的性質得到4E=4

米.BE=4c米，求得2D=（4+4，忑）米，即可得到結論.

本題考查的是解直角三角形的應用，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形求出40=（4+

4V~q）米是解答此題的關鍵.

17.【答案】3sx<4

【解析】解：解不等式號22,得：x>3,

解不等式x—4<0,得：x<4,

則不等式組的解集為3sx<4.

故答案為：3Wx<4.

分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無

解了確定不等式組的解集.

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小

取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

18.【答案】冷

【解析】解：如圖延長CB交。。于點0,連接4D,

???"=90。，D［二^>^4

???4D是O0的直徑，\J

???AD過點。，

當0B1CD時，OB有最小值,

???BD=BC,

???△4BC是等腰直角，

???AC=BC,

■?AC=BC=BD,

設4C=x,則DC=2x,

???O。半徑為2,

AD—4,

在RtAACB中，根據勾股定理得，

DC2+AC2=DA2,

4x2+x2=16,

解得x=警，

即相=等

???。點是中點，B點是CD中點，

???0B是A4DC的中位線，

0B=；4。=胃，

故答案為：亨.

延長CB交。0于點D,連接4D,根據NC=90。，得AD是。。的直徑，當OBJ.CD時，0B有最小

值，根據垂徑定理得BC=BC,。是D4中點得0B是△4DC的中位線，所以先求4c的長，根據△ABC

是等腰直角，再根據勾股定理求出C4長，從而得出。8長.

本題考查了等腰直角三角形、勾股定理、三角形中位線性質，熟練掌握這三個定理的綜合應用，

輔助線的做法是解題關鍵.

19.【答案】解：（1）設4種型號貨車每輛滿載能運x噸青李，8種型號貨車每輛滿載能運y噸青李，

依題意,得：朦篇魂

解得:［；：5-

答：A種型號貨車每輛滿載能運3噸青李，B種型號貨車每輛滿載能運5噸青李.

（2）設需m輛4種型號貨車，（10-m）輛8種型號貨車可以一次性將這批青李運往目的地，

優(yōu)師*俎f3m+5（1°-機）240

依壯忌‘倚：［540m+740（10—6600'

解得：4<m<5,

又???m為正整數，

???m=4或5,

二運輸方案有兩種：①4輛4種型號貨車，6輛B種型號貨車；

②5輛4種型號貨車，5輛B種型號貨車.

【解析】（1）設4種型號貨車每輛滿載能運x噸青李，B種型號貨車每輛滿載能運y噸青李，根據前

兩批具體運輸情況數據表，即可得出關于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

（2）設需tn輛4種型號貨車，（10-6）輛B種型號貨車可以一次性將這批青李運往目的地，由題意列

出一元一次不等式組可得出答案.

本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關

系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組.

2。.【答案】解：原式=窸+(逅a+3)詔2a+1

Q+3

Q+3(Q+2)(Q—2)a+1

a+2(Q+3)2a+3

a—2a+1

a+3a+3

-3

0+3,

va=l+3-l=3,

?.?原式=基=一"

【解析】先根據分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再由零指數幕、負整數指數幕及算術

平方根得出a的值，繼而代入計算可得.

本題主要考查了分式的化簡求值，掌握分式的混合運算順序和運算法則及零指數募、負整數指數

事及算術平方根是關鍵.

21.【答案】（1）16

補全的學生心理健康測試成績頻數統(tǒng)計圖如下圖所示,

(3)由題意可得，

良好率：(0.32+0.12)x100%=44%,

優(yōu)秀率：0.2X100%=20%,

故補全的學生心理健康狀況扇形統(tǒng)計圖，如上圖所示，

【解析】

解：(1)由表格可得，抽取的學生數為：4+0.08=50,

???m=50x0.32=16,

故答案為：m=16；

(2)見答案

(3)見答案

【分析】

(1)根據表格中的數據可以算出抽取的學生總數，從而可以得到m的值；

(2)根據表格中數據和計算出的m的值，可以將條形統(tǒng)計圖補充完整；

(3)根據題意可以得到良好率和優(yōu)秀率，從而可以將扇形統(tǒng)計圖補充完整.

本題考查扇形統(tǒng)計圖、頻數分布表、頻數分布直方圖，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需

要的條件.

22.【答案】解：(1)過點4作4E_Lx軸于點E,如圖

tan乙40c=1,4(1,m),-2)

m=1

1=—

2x1

???/c=2

二-2=f

2n

1

???n=--

???4(1,1),8(一±-2)

把4(1,1),B(——2)分別代入y=ax+b得:

(a+b=1

[—+b=-2

解得於三1

Ay=2%—1

：?k,a,b的值分別為2,2,-1.

(2)vy=2x-1

???當％=0時，y=-1,即。(0,—1)

?1■S&AOB=~ODXXA+^ODX(-xF)

=jODX(xA-XB)

=1xlx(l+i)

_3

一4

???△40B的面積為

4

【解析】(1)過點4作軸于點E,解直角三角形得4點坐標，再用待定系數法求得雙曲線的解

析式，再代入B點坐標求得n,進而用待定系數法求得a、b；

(2)求得。點坐標，再由△40B的面積等于△40D的面積加上△BOD的面積即可求得結果.

本題考查了反比例函數與一次函數的交點、待定系數法求函數的解析式、銳角三角函數及函數與

坐標軸圍成的三角形的面積問題，熟練掌握相關性質并數形結合是解題的關鍵.

23.【答案】⑴證明：???BE為直徑，

A^BAE=Z.BGE=90°.

^.Rt^ABE^\Rt^GBE^,

(AE=GE

(BE=BE'

.-.Rt△ABE^Rt△GBE(HL)；

(2)解：①「EF與。。相切，

?,.BE±EF,

???乙BEF=90°,

???Z,AEB+乙DEF=90°.

???四邊形48CD為矩形，

???Z,BAE=90°,

???Z.ABE+乙AEB=90°,

???Z,ABE=乙DEF,

vZ.BAE=ZD=90°,

???△ABE^LDEF,

.竺_些

“瓦=喬

在RtABEF中,

vtan乙EBF=

:.——EF=—1,

BE2

DE=^AB=^x2=1；

②若△48G是以4G為腰的等腰三角形,

I.當GA=GB時，

vGA=GB,

???乙GAB=Z.GBA,

v乙DAB=乙CBA=90°,

:.Z-EAG=Z-FBC.

???Z-EAG=Z-EBG,

???乙EBG=乙FBC.

在ABEF和aBCF中,

Z-BEF=ZC=90°

乙EBG=Z-CBF

BF=FB

BEF任BCF(AAS),

:.BE=BC.

設=則AD=BC=%,

:.AE=AD—DE=x-1,

vAB24-AE2=BE2,

:.22+(%-l)2=x2,

解得：%=I，

BC=I；

n.當G4=2時，

vGA=AB,

：?Z-ABG=Z-AGB.

vZ.AEB=Z-AGB.

???Z-AEB=Z-ABG.

???/.AEB+Z-ABE=90°,/.ABG+乙FBC=90°,

:.Z-ABE=乙FBC,

vZ-BAE=zC=90°,

*'?△BAE~〉BCF,

.竺_些

??麗一而

由(2)知：g=

BE_2

'而=7T

22

‘前=%'

-

：?BC=A/5.

綜上，若ATIBG是以4G為腰的等腰三角形，滿足條件的BC的長為?或，虧;

(3)解：:BE為圓的直徑，

???Z-EGF=90°.

在Rt△EGF^Rt△EOF中，

(EG=ED

lEF=EFf

???Rt△EGF三Rt△EDF(HL),

???乙DEF=CGEF,DF=FG.

???AAEG+Z.GEF=90°,乙DEF+乙AEB=90°,

???Z.AEB=乙GEB.

在出△￡7!/□/?￡ZkEGB中，

Z.EAB=乙EGB=90°

Z.AEB=乙GEB,

EB=EB

:.Rt△EAB三Rt△EGB(44S),

:.AB=BG,AE=EG,

:.AE=EG=DE,

???BE1AC.

??,BE1EF,

/.EF//AC.

???E尸為△O4C的中位線，

???DF=FC,

.?.DF=FC=FG.

設。尸=FC=FG=af貝IJAB=CD=BG=2a,

???BF=BG+GF=3a.

取8尸的中點H,連接EH,如圖，

則EH為梯形ABFD的中位線，

「廠AB+DF3

???EF=---=-a.

???EF"AC,

??.Z.FGC=Z-EFH.

vEH//CD,

???乙CFG=乙EHF,

:.xCFGsXEHF,

.CG_CF__a__2

''EF=EH=^=3-

【解析】(1)利用圓周角定理和全等三角形的判定定理解答即可；

(2)①利用切線的性質定理，矩形的性質和相似三角形的判定與性質，通過證明得

到黑=獸,再利用直角三角形的邊角關系定理解答即可得出結論；

DEEF

②利用分類討論的思想方法分兩種情況討論解答：I.當G4=GB時，利用全等三角形的判定與性

質得到BE=BC,設BC=x,則4D=BC=x,則4E=力。一DE=x-1,利用勾股定理列出方

程解答即可；口.當GA=AB=2時，利用相似三角形的判定得到△BAEfBCF,進而得到黑=需

BCBF

再利用(2)①的結論，利用勾股定理解答即可得出結論；

(3)利用全等三角形的判定定理證明得到Rt△EGF^Rt△EDF^Rt△EAB^Rt△EGB,得到4E=

EG=DE,利用三角形的中位線得到。F=FC=FG,設OF=FC=FG=a,貝必B=CD=BG=

2a,貝ljBF=BG+GF=3a,取BF的中點從連接EH,利用梯形的中位線定理得到EF,最后利

用相似三角形的判定定理得到4CFGfEHF,由相似三角形的性質即可得出結論.

本題主要考查了圓的有關性質，圓周角定理，圓的切線的性質定理，等腰三角形的性質，直角三

角形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質三角形的中位線定理，利用分

類討論的思想方法解答是解題的關鍵.

24.【答案】解：(1)設拋物線解析式為y=a(x—4)2—2,

把x=2,y=0代入，得：

4a—2—0,

1

??.a=E，

???y=1(x-4)2-2；

(2)設F(X[(X_4)2_2),

.??1(X-4)2-2=1x,

???%=8,

???F(8,6),

設G(47n,3m),

H(4mg(4m-4)2-2),

GW=3m-1(4m-4)2+2

=-8m2+19m—6,

GF=1(8-4m)=10-5m,

???GH+GF=-8m2+14m+4

c,7、,81

.??當m時,GH+G尸最大=等,

oo

此時G(L

(3)v(2,0),F(8,0),D(4,-2),B(6,0)

二直線2F：y=x—2,直線BC：y=x-6,直線4D：y=-x+2,

直線BF：y=3x-18,

圖1,若夕與D'關于AF對稱，

B'l=D'l=AD=^AB,

在等腰中,B'l=qJB\

JB'=AB=4,

設B'(a,b),

???]k=AK=a—2,

:.b=KB'=4+(a—2)=a+2,

由OB'=6得，

M+(Q+2尸=36,

***CL=V_17—1或a=—>!~17—1,

：?夕1,V17+1)或夕(一AAI7—1,—V"T7+1)；

②當夕與D'關于AB對稱時，如圖2,

?,?直線BB'：y——x4-6,

**?B'(x,—x+6),

???x24-(—x+6)2=36,

?,?%=0,或％=6(舍去)

???B'(0,6)；

③當B'與D'關于8?對稱時，如圖3,

設B'(a,b),

???a2+b2=36,

VB'D'1BF,

MB?