寒假高中知識點-樣本

智建領航者智建領航者§9.1隨機抽樣、用樣本估計總體考試要求1.理解隨機抽樣的必要性和重要性，會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣的方法.2.會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想．1．隨機抽樣(1)簡單隨機抽樣：一般地，設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．(2)分層抽樣：一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．2．用樣本的頻率分布估計總體分布(1)在頻率分布直方圖中，縱軸表示頻率/組距，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示．各小長方形的面積的總和等于1.(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖．②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線．(3)莖葉圖莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù)．3．用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．(2)中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排列，若有奇數(shù)個數(shù)，則最中間的數(shù)是中位數(shù)；若有偶數(shù)個數(shù)，則中間兩數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)．(3)平均數(shù)：eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平．(4)標準差：是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])

.(5)方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2](xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，eq\x\to(x)是樣本平均數(shù))．微思考1．三種抽樣方法有什么共同點和聯(lián)系？提示(1)抽樣過程中每個個體被抽取的機會均等．(2)系統(tǒng)抽樣中在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣；分層抽樣中各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣．2．平均數(shù)、標準差與方差反映了數(shù)據(jù)的哪些特征？提示平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標準差、方差反映了數(shù)據(jù)對平均數(shù)的波動情況，即標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；反之離散程度越小，越穩(wěn)定．題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)簡單隨機抽樣中，每個個體被抽到的機會不一樣，與先后有關．(×)(2)分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關．(×)(3)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個或幾個，那么中位數(shù)也具有相同的結(jié)論．(×)(4)如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變．(√)題組二教材改編2．某公司有員工500人，其中不到35歲的有125人，35～49歲的有280人，50歲以上的有95人，為了調(diào)查員工的身體健康狀況，從中抽取100名員工，則應在這三個年齡段分別抽取人數(shù)為()A．33,34,33 B．25,56,19C．20,40,30 D．30,50,20答案B解析設在不到35歲的員工中抽取x人，則eq\f(100,500)＝eq\f(x,125)，所以x＝25，同理可得這三個年齡段抽取人數(shù)分別為25,56,19.3．某射擊小組有20人，教練將他們某次射擊的數(shù)據(jù)繪制成如下表格，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是()環(huán)數(shù)5678910人數(shù)127631A．7,7 B．8,7.5C．7,7.5 D．8,6答案C解析從表中數(shù)據(jù)可知7環(huán)有7人，人數(shù)最多，所以眾數(shù)是7；中位數(shù)是將數(shù)據(jù)從小到大排列，第10個與第11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，第10個數(shù)是7，第11個數(shù)是8，所以中位數(shù)是eq\f(7＋8,2)＝7.5.4．如圖是100位居民月均用水量的頻率分布直方圖，則月均用水量在[2,2.5)范圍內(nèi)的居民有______人．答案25解析0.5×0.5×100＝25.題組三易錯自糾5．已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖，則眾數(shù)是______，平均數(shù)是________．答案6567解析因為最高小長方形中點的橫坐標為65，所以眾數(shù)為65；平均數(shù)eq\x\to(x)＝(55×0.030＋65×0.040＋75×0.015＋85×0.010＋95×0.005)×10＝67.6．若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)eq\x\to(x)＝5，方差s2＝2，則數(shù)據(jù)3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均數(shù)和方差分別為________．答案16,18解析∵x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為5，∴eq\f(x1＋x2＋x3＋…＋xn,n)＝5，∴eq\f(3x1＋3x2＋3x3＋…＋3xn,n)＋1＝3×5＋1＝16，∵x1，x2，x3，…，xn的方差為2，∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.題型一抽樣方法1．(2020·吉安模擬)總體由編號為00,01,02，…，48,49的50個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取6個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第6行的第9列和第10列數(shù)字開始從左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出的第3個個體的編號為()附：第6行至第9行的隨機數(shù)表如下：26357900337091601620388277574950321149197306491676778733997467322748619871644148708628888519162074770111163024042979799196835125A．33B．16C．38D．20答案D解析按隨機數(shù)法，從隨機數(shù)表第6行的第9列和第10列數(shù)字開始從左到右依次選取兩個數(shù)字，超出49及重復的不選，則編號依次為33,16,20,38,49,32，…，則選出的第3個個體的編號為20，故選D.2．用簡單隨機抽樣的方法從含有10個個體的總體中，抽取一個容量為3的樣本，其中某一個體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性分別是()A.eq\f(1,10)，eq\f(1,10)B.eq\f(3,10)，eq\f(1,5)C.eq\f(1,5)，eq\f(3,10)D.eq\f(3,10)，eq\f(3,10)答案A解析在抽樣過程中，個體a每一次被抽中的概率是相等的，因為總體容量為10，故個體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性均為eq\f(1,10).故選A.3．為了調(diào)查城市PM2.5的情況，按地域把48個城市分成大型、中型、小型三組，相應的城市數(shù)分別為24,16,8.若用分層抽樣的方法抽取12個城市，則應抽取的中型城市數(shù)為()A．3B．4C．5D．6答案B解析根據(jù)分層抽樣的特點可知，抽樣比為eq\f(12,48)＝eq\f(1,4)，則應抽取的中型城市數(shù)為16×eq\f(1,4)＝4.思維升華(1)簡單隨機抽樣是分層抽樣的基礎，是一種等概率的抽樣，由定義應抓住以下特點：①它要求總體個數(shù)較少；②它是從總體中逐個抽取的；③它是一種不放回的抽樣.(2)分層抽樣適用于總體中個體差異較大的情況.題型二統(tǒng)計圖表及應用命題點1扇形圖例1(2018·全國Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是()A．新農(nóng)村建設后，種植收入減少B．新農(nóng)村建設后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半答案A解析設新農(nóng)村建設前，農(nóng)村的經(jīng)濟收入為a，則新農(nóng)村建設后，農(nóng)村的經(jīng)濟收入為2a.新農(nóng)村建設前后，各項收入的對比如下表：新農(nóng)村建設前新農(nóng)村建設后新農(nóng)村建設后變化情況結(jié)論種植收入60%a37%×2a＝74%a增加A錯其他收入4%a5%×2a＝10%a增加了一倍以上B對養(yǎng)殖收入30%a30%×2a＝60%a增加了一倍C對養(yǎng)殖收入＋第三產(chǎn)業(yè)收入(30%＋6%)a＝36%a(30%＋28%)×2a＝116%a超過經(jīng)濟收入2a的一半D對故選A.命題點2折線圖例2下面兩個圖是2020年6月25日由國家衛(wèi)健委發(fā)布的全國疫情累計趨勢圖，每圖下面橫向標注日期，縱向標注累計數(shù)量．現(xiàn)存確診為存量數(shù)據(jù)，計算方法為：累計確診數(shù)－累計死亡數(shù)－累計治愈數(shù)．則下列對新冠肺炎敘述錯誤的是()A．自1月20日以來一個月內(nèi)，全國累計確診病例屬于快速增長時期B．自4月份以來，全國累計確診病例增速緩慢，疫情擴散勢頭基本控制C．自6月16日至24日以來，全國每日現(xiàn)存確診病例平緩增加D．自6月16日至24日以來，全國每日現(xiàn)存確診病例逐步減少答案D解析由圖1可知A，B均正確；由圖2數(shù)據(jù)計算得16日的現(xiàn)存確診病例為84867－79926－4645＝296，同理可計算18,20,22,24日現(xiàn)存確診分別為346,383,441,473.命題點3莖葉圖例3如圖所示的莖葉圖記錄了甲，乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件)．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均數(shù)也相等，則x和y的值分別為()A．3,5B．5,5C．3,7D．5,7答案A解析甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65，由甲，乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，得y＝5.又甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，∴eq\f(1,5)×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝eq\f(1,5)×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x＝3.故選A.命題點4頻率分布直方圖例4(2020·天津)從一批零件中抽取80個，測量其直徑(單位：mm)，將所得數(shù)據(jù)分為9組：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間[5.43,5.47]內(nèi)的個數(shù)為()A．10B．18C．20D．36答案B解析因為直徑落在區(qū)間[5.43,5.47]內(nèi)的頻率為0.02×(6.25＋5.00)＝0.225，所以個數(shù)為0.225×80＝18.思維升華(1)通過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚的表示出各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關系．(2)折線圖可以顯示隨時間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢．(3)由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這一點同頻率分布直方圖類似．它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失，第二點是莖葉圖便于記錄和表示．其缺點是當樣本容量較大時，作圖較煩瑣．(4)準確理解頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)特點：①頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距的結(jié)果，不要誤以為縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率，不要和條形圖混淆．②頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1，這是解題的關鍵，常利用頻率分布直方圖估計總體分布．跟蹤訓練(1)由于受疫情的影響，學校停課，同學們通過三種方式在家自主學習，現(xiàn)學校想了解同學們對假期學習方式的滿意程度，收集如圖1所示的數(shù)據(jù)；教務處通過分層抽樣的方法抽取4%的同學進行滿意度調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2.下列說法錯誤的是()A．樣本容量為240B．若m＝50，則本次自主學習學生的滿意度不低于四成C．總體中對方式二滿意的學生約為300人D．樣本中對方式一滿意的學生為24人答案B解析選項A，樣本容量為6000×4%＝240，該選項正確；選項B，根據(jù)題意得自主學習的滿意率為eq\f(600＋300＋1250,6000)≈0.358<0.4，該選項錯誤；選項C，樣本可以估計總體，但會有一定的誤差，總體中對方式二滿意人數(shù)約為1500×20%＝300，該選項正確；選項D，樣本中對方式一滿意人數(shù)為2000×4%×30%＝24，該選項正確．(2)(2021·貴陽模擬)某網(wǎng)站為了了解某“跑團”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期間該“跑團”每月跑步的平均里程(單位：公里)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．根據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是()A．月跑步平均里程的中位數(shù)為6月份對應的里程數(shù)B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在8,9月份D．1月至5月的月跑步平均里程相對于6月至11月波動性更小，變化比較平穩(wěn)答案D解析由折線圖可知月跑步平均里程比6月份高的只有9,10,11，共3個月，比6月份低的有1,2,3,4,5,7,8，共7個月，故6月份對應里程數(shù)不是中位數(shù)，因此A不正確；月跑步平均里程在1月到2月，6月到7月，7月到8月，10月到11月都是減少的，故不是逐月增加，因此B不正確；月跑步平均里程高峰期大致在9,10,11三個月，8月份是相對較低的，因此C不正確；從折線圖來看，1月至5月的跑步平均里程相對于6月至11月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，因此D正確．(3)(2020·成都模擬)如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員9場比賽所得分數(shù)的莖葉圖，則下列說法錯誤的是()A．甲所得分數(shù)的極差為22B．乙所得分數(shù)的中位數(shù)為18C．兩人所得分數(shù)的眾數(shù)相等D．甲所得分數(shù)的平均數(shù)低于乙所得分數(shù)的平均數(shù)答案D解析甲所得分數(shù)的極差為33－11＝22，A正確；乙所得分數(shù)的中位數(shù)為18，B正確；甲所得分數(shù)的眾數(shù)為22，乙所得分數(shù)的眾數(shù)為22，C正確，故選D.(4)如圖是某班50名學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖，其中成績分組區(qū)間為[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，則圖中x的值為________．答案0.018解析由題圖可知縱軸表示eq\f(頻率,組距)，故x＝0.1－0.054－0.010－0.006×3＝0.018.題型三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征1．(2019·全國Ⅱ)演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是()A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．極差答案A解析記9個原始評分分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i(按從小到大的順序排列)，易知e為7個有效評分與9個原始評分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A.2．某項測試成績滿分為10分，現(xiàn)隨機抽取30名學生參加測試，得分情況如圖所示，假設得分值的中位數(shù)為me，平均數(shù)為eq\x\to(x)，眾數(shù)為m0，則()A．me＝m0＝eq\x\to(x) B．me＝m0<eq\x\to(x)C．me<m0<eq\x\to(x) D．m0<me<eq\x\to(x)答案D解析由圖知m0＝5，由中位數(shù)的定義知應該是第15個數(shù)與第16個數(shù)的平均值，由圖知將數(shù)據(jù)從小到大排，第15個數(shù)是5，第16個數(shù)是6，所以me＝eq\f(5＋6,2)＝5.5，eq\x\to(x)＝eq\f(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2,30)≈5.97>5.5，所以m0<me<eq\x\to(x).3．(2019·全國Ⅱ)我國高鐵發(fā)展迅速，技術先進．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為________．答案0.98解析經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.4．甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)缦卤?單位：環(huán))：甲108999乙1010799如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應是________．答案甲解析由題可得eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙＝9，又∵seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝eq\f(2,5)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝eq\f(6,5)>seq\o\al(2,甲)，∴甲更穩(wěn)定，故最佳人選應是甲．思維升華(1)用樣本估計總體時，樣本的平均數(shù)、標準差只是總體的平均數(shù)、標準差的近似值．實際應用時，需先計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，分析平均水平，再計算方差(標準差)分析穩(wěn)定情況．(2)若給出圖形，一方面可以由圖形得到相應的樣本數(shù)據(jù)，再計算平均數(shù)、方差(標準差)；另一方面，可以從圖形直觀分析樣本數(shù)據(jù)的分布情況，大致判斷平均數(shù)的范圍，并利用數(shù)據(jù)的波動性大小比較方差(標準差)的大小．課時精練1．要完成下列兩項調(diào)查：(1)某社區(qū)有100戶高收入家庭，220戶中等收入家庭，80戶低收入家庭，從中抽取100戶調(diào)查購買力的某項指標；(2)從某中學高二年級的10名體育特長生中抽取3人調(diào)查學習負擔情況．應采取的抽樣方法是()A．(1)(2)都用簡單隨機抽樣法B．(1)用分層抽樣法，(2)用簡單隨機抽樣法C．(1)用簡單隨機抽樣法，(2)用分層抽樣法D．(1)(2)都用分層抽樣法答案B解析(1)中收入差距較大，采用分層抽樣法較合適；(2)中總體容量較小，采用簡單隨機抽樣法較合適．2．某中學有高中生3500人，初中生1500人，為了解學生的學習情況，用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為()A．100B．150C．200D．250答案A解析方法一由題意可得eq\f(70,n－70)＝eq\f(3500,1500)，解得n＝100.方法二由題意，得抽樣比為eq\f(70,3500)＝eq\f(1,50)，總體容量為3500＋1500＝5000，故n＝5000×eq\f(1,50)＝100.3．(2021·四川雙流中學檢測)某調(diào)研機構(gòu)隨機調(diào)查了2020年某地區(qū)n名業(yè)主物業(yè)費的繳費情況，發(fā)現(xiàn)繳費金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.5,1.1]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，若第五組的頻數(shù)為32，則樣本容量n等于()A．200B．400C．800D．1600答案B解析根據(jù)頻率分布直方圖，第五組的頻率為0.8×0.1＝0.08，又第五組的頻數(shù)為32，所以樣本容量為n＝eq\f(32,0.08)＝400.4.如圖是某樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖，則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是()A．323432 B．334535C．344532 D．333635答案B解析從莖葉圖中知共16個數(shù)據(jù)，按照從小到大排序后中間的兩個數(shù)據(jù)為32,34，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為33；45出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為45；最大值是47，最小值是12，故極差是35.5．(多選)下表為2020年某煤炭公司1～10月份的煤炭生產(chǎn)量：月份12345678910產(chǎn)量(單位：萬噸)23252417.517.52126293027則下列結(jié)論正確的是()A．極差為12.5萬噸B．平均數(shù)為24萬噸C．中位數(shù)為24萬噸D．眾數(shù)為17.5萬噸答案ABD解析將表格中的數(shù)據(jù)由小到大排列依次為17.5,17.5,21,23,24,25,26,27,29,30.極差為30－17.5＝12.5(萬噸)，A正確；平均數(shù)為eq\f(17.5×2＋21＋23＋24＋25＋26＋27＋29＋30,10)＝24(萬噸)，B正確；中位數(shù)為eq\f(25＋24,2)＝24.5(萬噸)，C錯誤；眾數(shù)為17.5(萬噸)，D正確．6．(多選)(2021·江蘇省南通市啟東中學模擬)某學校為了調(diào)查學生在一周生活方面的支出情況，抽出了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50,60)元的學生有60人，則下列說法正確的是()A．樣本中支出在[50,60)元的頻率為0.03B．樣本中支出不少于40元的人數(shù)為132C．n的值為200D．若該校有2000名學生，則一定有600人支出在[50,60)元答案BC解析樣本中支出在[50,60)元的頻率為1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A錯誤；樣本中支出不少于40元的人數(shù)為eq\f(0.036,0.03)×60＋60＝132，故B正確；n＝eq\f(60,0.3)＝200，故n的值為200，故C正確；若該校有2000名學生，則可能有0.3×2000＝600人支出在[50,60)元，故D錯誤．7．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，方差為s2，則2x1＋3,2x2＋3，…，2xn＋3的平均數(shù)和方差分別為________．答案2eq\x\to(x)＋3和4s2解析方法一平均數(shù)為eq\f(1,n)(2x1＋3＋2x2＋3＋…＋2xn＋3)＝eq\f(1,n)[2(x1＋x2＋…＋xn)＋3n]＝2eq\x\to(x)＋3；方差為eq\f(1,n){[(2x1＋3)－(2eq\x\to(x)＋3)]2＋[(2x2＋3)－(2eq\x\to(x)＋3)]2＋…＋[(2xn＋3)－(2eq\x\to(x)＋3)]2}＝eq\f(1,n)[4(x1－eq\x\to(x))2＋4(x2－eq\x\to(x))2＋…＋4(xn－eq\x\to(x))2]＝4s2.方法二原數(shù)據(jù)乘以2加上3得到一組新數(shù)據(jù)，則由平均數(shù)、方差的性質(zhì)可知得到的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是2eq\x\to(x)＋3和4s2.8．(2021·惠州調(diào)研)某高校調(diào)查了320名學生每周的自習時間(單位：小時)制成了下圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是[17.5,30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20]，(20,22.5]，(22.5,25]，(25,27.5]，(27.5,30]．根據(jù)頻率分布直方圖，這320名學生中每周的自習時間不足22.5小時的人數(shù)是________．答案72解析由頻率分布直方圖可得，320名學生中每周的自習時間不足22.5小時的人數(shù)是320×(0.02＋0.07)×2.5＝72(人)．9．某校為了解學生的身體素質(zhì)情況，采用按年級分層抽樣的方法，從高一、高二、高三學生中抽取一個300人的樣本進行調(diào)查，已知高一、高二、高三學生人數(shù)之比為k∶5∶4，抽取的樣本中高一學生為120人，則k的值為________．答案6解析由題意可知，eq\f(120,300)＝eq\f(k,k＋5＋4)，解得k＝6.10．(2019·江蘇)已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10，則該組數(shù)據(jù)的方差是________．答案eq\f(5,3)解析數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10的平均數(shù)是eq\f(6＋7＋8＋8＋9＋10,6)＝8，則方差是eq\f(4＋1＋0＋0＋1＋4,6)＝eq\f(5,3).11．如圖，從參加環(huán)保知識競賽的學生中抽出60名，將其成績(均為整數(shù))整理后畫出的頻率分布表和頻率分布直方圖如下，回答下列問題：分組人數(shù)頻率[39.5,49.5)a0.10[49.5,59.5)9x[59.5,69.5)b0.15[69.5,79.5)180.30[79.5,89.5)15y[89.5,99.5]30.05合計601.00(1)分別求出a，b，x，y的值，并補全頻率分布直方圖；(2)估計這次環(huán)保知識競賽的平均分．解(1)a＝6，b＝9，x＝0.15，y＝0.25，補全頻率分布直方圖如圖．(2)用組中值估計平均分：44．5×0.1＋54.5×0.15＋64.5×0.15＋74.5×0.3＋84.5×0.25＋94.5×0.05＝70.5.故這次環(huán)保知識競賽的平均分約為70.5.12．(2020·西安質(zhì)檢)某中學舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將參賽學生的成績進行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求參賽學生的成績的眾數(shù)、中位數(shù)；(2)求參賽學生的平均成績．解(1)因為頻率分布直方圖中最高小長方形所在的區(qū)間的中點值為65，所以眾數(shù)為65，又因為第一個小長方形的面積為0.3，第二個小長方形的面積為0.4,0.3＋0.4>0.5，所以中位數(shù)在第二組，設中位數(shù)為x，則0.3＋(x－60)×0.04＝0.5，解得x＝65，所以中位數(shù)為65.(2)依題意，可得平均成績?yōu)?55×0.03＋65×0.04＋75×0.015＋85×0.010＋95×0.005)×10＝67，所以參賽學生的平均成績?yōu)?7分．13．某校高二年級共有800名學生參加了數(shù)學測驗(滿分150分)，已知這800名學生的數(shù)學成績均不低于90分，將這800名學生的數(shù)學成績分組為[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150)，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法中正確的序號是________．①a＝0.045；②這800名學生中數(shù)學成績在110分以下的人數(shù)為160；③這800名學生數(shù)學成績的中位數(shù)約為121.4；④這800名學生數(shù)學成績的平均數(shù)為125.答案②③解析由題意得(0.005＋0.01＋0.01＋0.015＋0.025＋a)×10＝1，解得a＝0.035，①錯；110分以下的人數(shù)為(0.01＋0.01)×10×800＝160，②正確；120分以下的頻率是(0.01＋0.01＋0.025)×10＝0.45，設中位數(shù)為x，則eq\f(x－120,10)＝eq\f(0.005,0.035)，x≈121.4，③正確；平均分為95×0.1＋105×0.1＋115×0.25＋125×0.35＋135×0.15＋145×0.05＝120，④錯．14．氣象意義上從春季進入夏季的標志為：連續(xù)5天每天日平均溫度不低于22℃.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)(記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)，單位：℃)．①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，平均數(shù)為24；③丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，平均數(shù)為26，方差為10.2.則肯定進入夏季的地區(qū)有________個．答案2解析甲地肯定進入夏季，因為眾數(shù)為22，所以22℃至少出現(xiàn)兩次，若有一天低于22℃，則中位數(shù)不可能為24；丙地肯定進入，10.2×5－(32－26)2≥(26－x)2，所以15≥(26－x)2，所以x≤22不成立；乙地不一定進入，如13,23,27,2