2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版課時(shí)分層作業(yè)7　單調(diào)性與最大(小)值

課時(shí)分層作業(yè)（七）單調(diào)性與最大（?。┲?/p>

［4組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底］

一、選擇題

1.（2021.全國(guó)甲卷）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）

A.fix）=~xB.危）=停）

C.段）=/D.火工）=/

D［如圖，在坐標(biāo)系中分別畫(huà)出A,B,C,D四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的大致圖象,

即可快速直觀(guān)判斷D項(xiàng)符合題意.故選D.

2.函數(shù)_/U）=—在2,一1］上的最大值是（）

38

A.2B.一C.—2D.2

A［函數(shù)於）=-x+;在（-8,0）上是減函數(shù)，則函數(shù)於）在一2,一；上

13,

的最大值為2）=2—5=］,故選A.］

3.（2021?北京高考）設(shè)函數(shù)九x）的定義域?yàn)椋?,1］,則“函數(shù)於）在［0,1］上單

調(diào)遞增”是“函數(shù)/U）在［0,1］上的最大值為11）”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

A［前推后，一定成立.

后推前，若風(fēng)￥）在［0,1］上的最大值為.*1）,找反例，開(kāi)口向上對(duì)稱(chēng)軸為X=

:的二次函數(shù).］

4.（2021.濰坊中學(xué)模擬）定義在［-2,2］上的函數(shù)/U）滿(mǎn)足（九1一切＞區(qū)R）一/（及）］

＞0,用工尤2，且人。2一°）＞42.-2）,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.[-1,2)B.[0,2)

C.[0,1)D.[-1,1)

C［因?yàn)楹瘮?shù)火X）滿(mǎn)足（汨一及）/汨）一段2）］>0,X1H尤2，

所以函數(shù)_/U）在［-2,2］上單調(diào)遞增，

所以一2W2a—2〈。2一。忘2,解得OWaVl,故選C.］

5.已知函數(shù),/）=/—2ax+a在區(qū)間（一8,1）上有最小值，則函數(shù)g（x）=

L在區(qū)間（1,+8）上一定（）

A.有最小值B.有最大值

C.單調(diào)遞減D.單調(diào)遞增

D［因?yàn)楹瘮?shù)?r）=9一2ar+a=（x—ap+a一屋在區(qū)間（一8,1）上有最小

f（x）

所以函數(shù)人x）的對(duì)稱(chēng)軸x=a應(yīng)當(dāng)位于區(qū)間（一8,1）內(nèi)，即a<l,又g（x）=---

=x+~x—2a,

所以當(dāng)a<0時(shí),g（x）=x+：—2。在區(qū)間（1,+8）上為增函數(shù)，此時(shí),g（x）min>g（1）

=l-a>l：

當(dāng)。=0時(shí)，g（X）=X在區(qū)間（1,+8）上為增函數(shù)，此時(shí)，g（x）min>g（l）=l；

當(dāng)0<。<1時(shí)，g（x）=x+：—2a,%G（L+8）,g'（x）=l—g〉l一?！?,所以

g（x）在區(qū)間（1,+8）上單調(diào)遞增,此時(shí)，g（x）min>g⑴=1—a.

綜上，g（x）在區(qū)間（1,+8）上單調(diào)遞增.］

%2—ar+1>xNO,

6.已知函數(shù)3a-在x（）（xoC（O，+8））處取得最小值,

77^,%<0

且人一配）<6。，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

A.{4}[4,6]

C.[1,2]D.[1,6)

D［由題意知_/U）的最小值在（0，+8）上取得，所以x（）=T>0,當(dāng)xVO時(shí),

2

3。3。a。2〃2

.*x)=w*＞半，當(dāng)x20時(shí)，./(x)=f-av+1=X+1—亍21一亍，所以

?！?,

片一3小解得。2L

3a-3+21

因?yàn)榛鹨粁o)V6a,所以/＜6a,即一Y6a,整理得22＞今

-S+2

22

故一5+2>—1,解得。<6.綜上，l〈aV6,故選D.]

e"一ex>0,3

7.(2021.鄭州模擬)已知函數(shù)yu)=<2若a=5°叫b=Rog32,

X79xSO.

c=log30.9,則有()

A..穴匕)>,*a)>,*c)B.,Ac)>X?)>X^)

C./?)>Xc)>^)D.氏a)>為b)>為c)

D[當(dāng)x>0時(shí)，段)=厘一er單調(diào)遞增，且次0)=0；當(dāng)尤W0時(shí)，y(x)=—%2

單調(diào)遞增，且八0)=0,所以函數(shù)八月在R上單調(diào)遞增.因?yàn)閍=50°】>l,0<h

=log32啦VI,c=log30.9<0,所以a>/?>c,所以八。)>火與

8.(2021?山東濰坊模擬)定義運(yùn)算?:①VmdR,m?Q=Q?m=m.②V〃z,n,

pGR,(屣>")@0=「@(〃2〃)+〃慮夕+〃物.若火工)=&'-1@8=,則有()

A.函數(shù)火x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)尤=1對(duì)稱(chēng)

B.函數(shù)7U)在R上單調(diào)遞增

C.函數(shù)1x)的最小值為2

23

D.苻)>>2為

A[依題意，/(x)=ex_I?eI_v=(ex_1?e1_v)?O=eo+ex-1+e,~A=:ev'_I+e1--r+1,

故人1—x)=e-r+eA+1,/(I+x)=eA+e-A+L即/U—x)=/(l+x),故函數(shù)?x)的

圖象關(guān)于直線(xiàn)光=1對(duì)稱(chēng)，故A正確.汽幻=6廠(chǎng)1+61「+1=U「1+*+1,可以

看出它是由)=〃+}+1,〃=e*T復(fù)合而成的，當(dāng)xVl時(shí)，〃=eLi單調(diào)遞增，

且〃￡(0,1),此時(shí)y=〃+[+l單調(diào)遞減，故y=y(x)在(一8,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)

3

x>l時(shí)，"=e'T單調(diào)遞增，且“6(1,+°°),此時(shí))="+[+1單調(diào)遞增，故y

=/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤.根據(jù)對(duì)B項(xiàng)的分析知，y=/(x)在x=l

23

時(shí)取得最小值>U)=e°+e°+l=3,故C錯(cuò)誤.因?yàn)?V2)V21,所以根據(jù)人x)

23

的單調(diào)性知加由勺松)，故D錯(cuò)誤.故選A.]

二、填空題

9.函數(shù).*》)=%+出-1的最小值為.

1[(單調(diào)性法)因?yàn)楹瘮?shù)y=x和y=y]x—l在定義域內(nèi)均為增函數(shù)，故函數(shù)y

=x+Mx—1在[1,+8)內(nèi)為增函數(shù)，所以當(dāng)x=1時(shí)y取最小值，ymin=l.]

10.若函數(shù)y=|2x+c|是區(qū)間(一8,1]上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)C的取值范圍

是.

2月+c,xJ-.

(—8,—2][由函數(shù)y=|2x+c|=<

cc

—2x~c,x<-y

得函數(shù)y=|2x+c|在(一8,一，上單調(diào)遞減，

在一1,+8)上單調(diào)遞增.

由題知，函數(shù)y在區(qū)間(-8,1]上單調(diào)，

所以一，21,解得c<—2.]

*2

(—?—3x]

11.已知函數(shù)段)=<X則.例-3)]=,段)的最

,1g(f+l),x<1,

小值是.

0272-3[因?yàn)?(_3)=lg[(_3)2+l]=lg10=1,所以/(_3)]=人1)=1

+2-3=0.

當(dāng)時(shí)，x+:一3=26一3,當(dāng)且僅當(dāng)x=*即時(shí)，

等號(hào)成立，此時(shí)式x)min=2吸-3<0;

當(dāng)X<1時(shí)，IgM+D與lgO+D：。，此時(shí)危)min=0.

4

所以於)的最小值為26一3.］

三、解答題

12.已知函數(shù)/(x)=ax+y2—：|m>0),且凡r)在(0,1］上的最大值為g(a),

求g(a)的最小值.

12

［解］Xx)=ax-—+-(a>0),

f(九)=。+*>0，

.?JU)在(0,1］上單調(diào)遞增，

.?../Wmax=/U)=a+十，

.,.g(a)=a+1》2,當(dāng)且僅當(dāng)a=5，即a=l時(shí)等號(hào)成立，

，g(a)的最小值為2.

,4r1

13.已知函數(shù)凡r)=x+：,g(x)=2"+a,若\/為￡于3,3x2G［2,3］使得

./Ui)2g(X2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

［解］當(dāng)3時(shí)，/U)22|=4,

當(dāng)且僅當(dāng)X=2時(shí)，?min=4；

當(dāng)x￡［2,3］時(shí)，g(x)為增函數(shù)，故g(x)min=22+a=4+a.依題意可得/(x)min

2g(x)min，解得aWO.

［B組在綜合中考查關(guān)鍵能力］

1.如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間/上單調(diào)遞增，且函數(shù)y='r-在區(qū)間/上單調(diào)

遞減，那么稱(chēng)函數(shù)y=/(x)是區(qū)間/上的“緩增函數(shù)”，區(qū)間/叫做“緩增區(qū)

間”.若函數(shù).*》)=+—》+|是區(qū)間/上的“緩增函數(shù)”，則“緩增區(qū)間”/為

()

A.［1,+8)B.［0,小］

C.［0,1］D.［1,?。?/p>

13

D［因?yàn)楹瘮?shù)?0=/一x+另的對(duì)稱(chēng)軸為x=l,所以函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［1,

5

+8)上單調(diào)遞增.又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，,(")—1+令g(x)=%—1+確"

j33/f(x)j

(尤21),則g'(x)=/-]?=2F，由g'(x)WO得1WXWA/5,即函數(shù)一—=2X~

a

1+呆在區(qū)間［1,小］上單調(diào)遞減，故“緩增區(qū)間”/為［1,?。?］

乙4

2.已知定義在R上的函數(shù)式x)滿(mǎn)足/U+y)=/U)+_/(y)+1,且當(dāng)x>0時(shí),段)>

-1.

(1)求人0)的值，并證明./U)在R上是增函數(shù)；

(2)若yu)=i,解關(guān)于x的不等式y(tǒng)cd+Zjo+yu—x)>4.

［解］(1)令x=y=0,得火0)=-1.

在R上任取尤1>X2，則Xl—X2>0，

所以/(X1—X2)>—1.

又/Ui)=/1(汨一及)+及]=/3—X2)+4及)+1次T2),

所以函數(shù);(X)在R上是增函數(shù).

(2)由41)=1,得/2)=3,/3)=5,

由“x2+2x)+/(1—x)>4得"r2+x+1)次3),

因?yàn)楹瘮?shù)/U)在R上是增函數(shù)，

所以x2+x+1>3,

解得x<-2或x>\,

故原不等式的解集為{x\x<-2或x>l}.

3.對(duì)于定義域?yàn)椤５暮瘮?shù)1x),若存在區(qū)間的，川包。，同時(shí)滿(mǎn)足下列條件:

①/U)在阿，網(wǎng)上是單調(diào)的；②當(dāng)定義域是阿，川時(shí)，7U)的值域也是［>n,n］,

則稱(chēng)［〃?，〃］為該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.試判斷下列四個(gè)函數(shù)是否存在“和諧區(qū)

間”？

2

0/0)=9；(2)/(x)=3—-；(3)/(x)=e'—1；物x)=lnx+2.

A-

［解］對(duì)于①，於尸X3在R上單調(diào)遞增，若存在區(qū)間阿，川，機(jī)V〃，使

m,=m,[m=—1,m=Q,

3解得￥或1所以存在區(qū)間[-1,0],[-1,1],[0,1]上

n—n,5=0或1,71=1,

滿(mǎn)足條件，所