2022年高考數(shù)學(xué)真題解讀（全國(guó)乙卷理）

2022高考數(shù)學(xué)真題完全解讀（全國(guó)乙卷理）

冷赍料今依皋使用地區(qū)、曲泉總評(píng)、考克今布阿目表、伏要深點(diǎn)解核四個(gè)楔塊，其中曲要課

度解錢根塊又合為【命奧意圖】【答案】【解析】【直評(píng)】【加積鋌接】等捏目.碎資料辱臺(tái)由

容束源孑網(wǎng)珞

一、武春箕用他區(qū)

2022年全國(guó)乙卷使用地區(qū)為安徽、河南、陜西、山西、江西、甘肅、黑龍江、吉林、寧夏、

青海、新疆、內(nèi)蒙古

二、武卷是坪

1.2022年高考數(shù)學(xué)乙卷理命題堅(jiān)持思想性與科學(xué)性的統(tǒng)一,發(fā)揮數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛、聯(lián)系

實(shí)際的學(xué)科特點(diǎn),設(shè)置真實(shí)情境，命制具有教育意義的試題，發(fā)揮教育功能和引導(dǎo)作

用.如第19題以生態(tài)環(huán)境建設(shè)為背景材料，考查學(xué)生應(yīng)用統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)和基礎(chǔ)方

法解決實(shí)際問題的能力，對(duì)數(shù)據(jù)處理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)也作了相應(yīng)的考查.如第4題，

以嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽飛

行的人造行星為情境，考查學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)列、函數(shù)、不等式等基本知識(shí)觀察問題、

分析問題和解決問題的能力.該題選取我國(guó)科技發(fā)展與進(jìn)步中取得的重要成就作為

試題背景，體現(xiàn)教學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和時(shí)代特征，激發(fā)青年學(xué)生樹立為國(guó)家服務(wù)、奉獻(xiàn)科

技事業(yè)的信念.

2.該試卷依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)命題，深化基礎(chǔ)考查，突出主干知識(shí)，創(chuàng)新試題設(shè)計(jì)，加強(qiáng)教考

銜接，發(fā)揮高考試題對(duì)中學(xué)教學(xué)改革的引導(dǎo)和促進(jìn)作用.命題貫徹高考內(nèi)容改革要求，依

據(jù)高中課程標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)一步增強(qiáng)考試與教學(xué)的銜接.試題的考查內(nèi)容范圍和比例、要求層次與課

程標(biāo)準(zhǔn)保持一致，注重考查內(nèi)容的全面性,同時(shí)突出主干、重點(diǎn)內(nèi)容的考查,引導(dǎo)教學(xué)依標(biāo)施教.

試題突出對(duì)學(xué)科基本概念、基本原理的考查，強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生形成學(xué)科知

識(shí)系統(tǒng)；注重本原性方法,淡化特殊技巧，強(qiáng)調(diào)對(duì)通性通法的深入理解和綜合運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生將

知識(shí)和方法內(nèi)化為自身的知識(shí)結(jié)構(gòu).如第21題考查分類與整合的思想.數(shù)學(xué)試題力圖引導(dǎo)中

學(xué)遵循教學(xué)規(guī)律、提高課堂教學(xué)效果,實(shí)現(xiàn)作業(yè)題、練習(xí)題減量提質(zhì).

3.該試卷在選擇題、填空題、解答題3種題型上都加強(qiáng)了對(duì)主干知識(shí)的考查.注重

創(chuàng)新試題形式，引導(dǎo)教學(xué)注重培養(yǎng)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力，增強(qiáng)試題開放性，鼓勵(lì)學(xué)生

運(yùn)用創(chuàng)造性、發(fā)散性思維分析問題和解決問題，引導(dǎo)教學(xué)注重培育學(xué)生的創(chuàng)新精神,

如第14題，設(shè)置一個(gè)開放型試題,要求學(xué)生不僅僅會(huì)做，還要有選擇最佳方案的意識(shí).

4.該試卷加強(qiáng)學(xué)科核心素養(yǎng)考查，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的滲透，深入考查關(guān)鍵能力，優(yōu)化試題設(shè)

計(jì)，發(fā)揮數(shù)學(xué)科高考的選拔功能，助力提升學(xué)生綜合素質(zhì).通過設(shè)置綜合性的問題和較為復(fù)

雜的情境,加強(qiáng)關(guān)鍵能力的考查，如第12題，通過抽象函數(shù)考查學(xué)生靈活應(yīng)用函數(shù)思

想解決抽象問題的能力，對(duì)抽象思維能力和邏輯推理能力有較高的要求.

5.該試卷突出思維品質(zhì)考查，強(qiáng)調(diào)獨(dú)立思考和創(chuàng)新意識(shí).如第9題，研究球內(nèi)四棱錐體

積的最大值問題，要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和分析問題能力，將問題轉(zhuǎn)化為

三次函數(shù)的最值問題，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求解.

三、考點(diǎn)分布細(xì)目表

題號(hào)命題點(diǎn)模塊（題目數(shù)）

1集合的補(bǔ)集運(yùn)算集合（共1題）

2復(fù)數(shù)相等及復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)（共1題）

3平面向量的數(shù)量積平面向量（共1題）

4數(shù)列項(xiàng)的大小比較1.數(shù)列（共2題）

2.不等式（共1題）

5拋物線的幾何性質(zhì)解析幾何（共4題）

6程序框圖算法初步（共1題）

7空間中的線面位置關(guān)系立體幾何（共3題）

8等比數(shù)列數(shù)列（共2題）

9四棱錐的外接球立體幾何（共3題）

10相互獨(dú)立事件的概率概率統(tǒng)計(jì)（共3題）

11雙曲線的離心率解析幾何（共4題）

12抽象函數(shù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（共3題）

13古典概型概率統(tǒng)計(jì)（共3題）

14圓的方程解析幾何（共4題）

15三角函數(shù)性質(zhì)三角函數(shù)與解三角形（共2題）

16函數(shù)的極值函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（共3題）

17解三角形三角函數(shù)與解三角形（共2題）

18面面垂直的證明與線面角立體幾何（共3題）

19用樣本估計(jì)總體、回歸分析概率統(tǒng)計(jì)（共3題）

20橢圓方程及定點(diǎn)問題解析幾何（共4題）

21導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)零點(diǎn)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（共3題）

22極坐標(biāo)與參數(shù)方程選修4-4（共1題）

23不等式證明選修4-5(共1題)

皿、試題深度解凄

1.設(shè)全集。={1,2,3,4,5},集合M滿足6M={1,3},則()

A.2GMB.3GMC.D.5^M

【命題意圖】本題考查集合的補(bǔ)集運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).難度：容易

【答案】A

【解析】由題知〃={2,4,5},對(duì)比選項(xiàng)知,A正確,BCD錯(cuò)誤，故選A

【點(diǎn)評(píng)】集合是高考每年必考知識(shí)點(diǎn)，一般以容易題面目呈現(xiàn)，位于選擇題的前3題的位置上，

考查熱點(diǎn)一是集合的并集、交集、補(bǔ)集運(yùn)算,二是集合之間的關(guān)系，所給集合多為簡(jiǎn)單不等式

的解集、離散的數(shù)集或點(diǎn)集，這種考查方式多年來保持穩(wěn)定.

【知識(shí)鏈接】

1.求解集合的運(yùn)算問題的三個(gè)步驟：

(1)看元素構(gòu)成,集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問題的

關(guān)鍵,即辨清是數(shù)集、點(diǎn)集還是圖形集等，如{My=/5)},=/＜》)},{(x,y)ly=/U)}三者是不同的；

(2)對(duì)集合化簡(jiǎn)，有些集合是可以化簡(jiǎn)的，先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問題簡(jiǎn)單明了、

易于解決；

(3)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和韋恩圖(Venn).

2.已知z=1-2i,且z+應(yīng)+/?=0,其中〃力為實(shí)數(shù)廁()

A.a-l,b--2B,。=-1,。=2C,a=l,b=2D.

a=-l,b=-2

【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)相等，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).難度：

容易.

【答案】A

【解析】因?yàn)閦=l-2i,所以』=l+2i，代入z+應(yīng)+8=0得

z+應(yīng)+)=1-2i+a(l+2i)+。=(1+a+力+(2a-2)i

1+67+Z?—0a—1

由2+應(yīng)+〃=(),得Cc，即',故選A.

2a—2=0b=-2

【點(diǎn)評(píng)】復(fù)數(shù)是高考每年必考知識(shí)點(diǎn)，一般以容易題面H呈現(xiàn)，位于選擇題的前3題的位置匕

考查熱點(diǎn)一是友數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的幾何意義,如復(fù)數(shù)的模、共規(guī)復(fù)數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)相等、

復(fù)數(shù)的幾何意義等，二是復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算.去年與今年復(fù)數(shù)的考查回避了往年考查的熱點(diǎn):

復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的共輾復(fù)數(shù)及方程思想在求值中的應(yīng)用.

【知識(shí)鏈接】

解復(fù)數(shù)運(yùn)算問題的常見類型及解題策略

(1)復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類

項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可.

(2)復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共朝復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的事寫成

最簡(jiǎn)形式.

(3)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，一般化為“+砥。/GR)的

形式，再結(jié)合相關(guān)定義解答.

(4)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，一般化為。+

歷(“力6R)的形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答.

3.已知向量滿足時(shí)=1,網(wǎng)=JG,|a-2〃|=3,則()

A.-2B.-1C.1D.2

【命題意圖】本題考查平面向量的數(shù)量積，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).難度：容易

【答案】C

【解析】由題意得卜―2W=/一牝［l+4A2=l_4a?)+12=9,所以a./?=l,故選C.

【點(diǎn)評(píng)】平面向量是高考數(shù)學(xué)必考知識(shí)點(diǎn)，一般以客觀題形式考查，熱點(diǎn)是平面向量的線性運(yùn)

算及平面向量的數(shù)量積，可以是容易題,也可以是中等難度題，中等難度題常用平面幾何、不等

式等知識(shí)交匯考查.本題屬于常規(guī)題型，難度與課本練習(xí)中的基礎(chǔ)題相當(dāng)，且學(xué)生訓(xùn)練比較多,

所以此題屬于得分題.

【知識(shí)鏈接】平面向量數(shù)量積求解問題的策略

(1)求兩向量的夾角：8$。=麗,要注意6G［0,兀］.

(2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：a_Lga力=0%一臼=|a+b|.

(3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問題的處理方法有：/=?？?|02或同=而;|?！?=

yja2+2a-b+b2.

4.嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽飛行的人

造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列｛2｝：伉=1+」-,

?,+——，…，依此類推，其中4eN*供=1,2,…).則()

6Z]H--------'

a,H---

。2%

A.

瓦＜瓦B.仇＜4C.b6＜b2D.

【命題意圖】本題考查不等式的性質(zhì)，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等.

【答案】D

,11

【解析】解法一：因?yàn)椤秂N僅=1,2,…).所以%<%+——，％,得到4>a，

%g十

/a2

111

11—>------------

Ct\H--->OCx-\--------,,a.1

同理的“上」_,可得也<。3也>4,又因?yàn)?a2+------r

一%%+——

?4

11

?+-----「<?1+--------j—

%+—%+-----「，故仇<仇,仇>仇；以此類推，可得4>b、>b、>b]

%%+

%

I1

屋〉1

2

%>々,故A錯(cuò)誤；々，故B錯(cuò)誤；?2+--------「，得故C錯(cuò)誤；

4+-----

?6

11

?i+-------j—>?i+-----------j—

?2+------[…]，得也<白，故D正確.故選D.

%+―af>+一

%?7

解法二：特例法，取a?=1廁鼠=1+：,則

,,1,,13,15,18,113

瓦=l+-=2,h2=l+-=-,i3=l+—=-,^=l+—=-,/?5=1+—=—,

142b23by5bA8

"=亮也=1+!=答々=1+[=(^,由此可排除ABC,故選D.

b513b621b-j34

【點(diǎn)評(píng)】本題以我國(guó)科技發(fā)展與進(jìn)步中取得的重要成就作為試題背景命題，考查學(xué)生

綜合應(yīng)用數(shù)列、函數(shù)、不等式等基本知識(shí)觀察問題、分析問題和解決問題的能力.

由于背景新、解題思路新，致使不少學(xué)生無從下手,難度明顯較大，放到6題以后比較

合適，但以實(shí)際問題為背景命題，是近年高考熱點(diǎn),請(qǐng)同學(xué)們務(wù)必重視.

【知識(shí)鏈接】我們來談?wù)劷夥ǘ乩袛?shù)列項(xiàng)的大小問題：由4=2抱川=1+1.可得

351

"=:<々4=9<4，結(jié)合/。)=1+—在(0,+8)是減函數(shù)可得：

23x

,,,

力]>仇=/<么=4>仇=仇〈仇「一，>Z^=>Z?2<Zzt=>/?3>Z^=>/zt</^,?所以有

b2n7>瓦M(jìn)，b2n<%,+],&〃_]>偽〃+]力2〃<力2〃+2-

5.設(shè)尸為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上,點(diǎn)8(3,0),若[4同=忸同則AB|=()

A.2B.25/2C.3D.3V2

【命題意圖】本題考查拋物線的定義及性質(zhì)，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：容易

【答案】B

【解析】由題意得，網(wǎng)1,0）,則用=忸司=2,即點(diǎn)A到準(zhǔn)線尤=一1的距離為2,所以點(diǎn)A的

橫坐標(biāo)為-1+2=1,不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，代入得A（l,2）,所以

\AB\=,（37）2+（（）_2『=2A/2.故選B

【點(diǎn)評(píng)】本題雖然在第4題位置上，難度顯然小于第3題.解析幾何在高考中一般有3到4道

試題，若有3道試題，則這3道試題分別涉及橢圓、雙曲線、拋物線；若有4道試題，則這4道

試題分別涉及圓、橢圓、雙曲線、拋物線.

【知識(shí)鏈接】

1.客觀題中的拋物線一般考查拋物線定義、幾何性質(zhì)及運(yùn)算能力,特別是求解有關(guān)線段長(zhǎng)度時(shí)

要注意定義、方程思想及根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用.

2.設(shè)AB是過拋物線）2=2/“（/?0）焦點(diǎn)F的弦，若4為,力）,8（刀2,”）,則

①和2=?,3”=—p2.

②|AF|=X[+§|/18|=制+及+〃=弁次31為弦A8的傾斜角）.

6.執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的"=（）

/輸入夕=1,h=\,n=\/

A.3B.4C.5D.6

【命題意圖】本題考查程序框圖，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等偏易

【答案】B

I1321

【解析】執(zhí)行第一次循環(huán),/?=1+2=3?=3-1=2,〃=2,不一2=*—2=->0.01,

否;

b2721

執(zhí)行第二次循環(huán),3=3+4=7,a=7—2=5,"=3,——2=^—>0.01，否；

b21721

執(zhí)行第二次循環(huán),b=7+l（）=17,a=17-5=I2,〃=4，r-2=--2=—<0.01,

a~12144

是，結(jié)束循環(huán)，此時(shí)輸出〃=4.故選B

【點(diǎn)評(píng)】算法初步曾經(jīng)是高考每年必考問題，由于教材改革,對(duì)算法初步的考查頻率降低，高考

對(duì)算法初步的考查形式比較穩(wěn)定，一般都是考查程序框圖，且以循環(huán)結(jié)構(gòu)為主，難度都不大.

【知識(shí)鏈接】解決循環(huán)結(jié)構(gòu)框圖問題,要先找出控制循環(huán)的變量的初值、步長(zhǎng)、終值（或控制

循環(huán)的條件），然后看循環(huán)體，循環(huán)次數(shù)比較少時(shí)，可依次列出，循環(huán)次數(shù)較多時(shí)，可先循環(huán)幾次,

找出規(guī)律，要特別注意最后輸出的是什么，不要出現(xiàn)多一次或少一次循環(huán)的錯(cuò)誤.

7.在正方體ABCC-A及GR中,分別為的中點(diǎn)，則（）

A.平面B.EF±平面BDD[B,平面B.EF1平面A.BD

C.平面片以7//平面AACD.平面耳族//平面AG。

【命題意圖】本題考查空間幾何體中線面位置關(guān)系的判斷，考查直觀想象與邏輯推理的核心

素養(yǎng).難度：中等偏易.

【答案】A

【解析】在正方體AB8-ABCQ中,ACLB。ROD,J■平面ABCO.EFu平面ABC。,

所以EELDA，因?yàn)橥邚S分別為的中點(diǎn)，所以所以MLB。，又

BDn=。,所以E產(chǎn)，平面BDD]，又EFu平面5EF，所以平面B.EF，平面BDD「

故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,如圖所示，設(shè)AiBC\B]E=M.EFpiBD^N.^MN為平面B}EF與平面

ABD的交線，在/\BMN內(nèi)，作BP1MN于點(diǎn)P,在AEMN內(nèi)，作GP±MN、交EN于點(diǎn)

G，連結(jié)BG廁NBPG或其補(bǔ)角為平面BXEF與平面\BD所成二面角的平面角，

由勾股定理可知：PB2+PN2=BN-PG2+PN2=GN2,

底面正方形ABCD中.瓦F為中點(diǎn)，則所，BO.

由勾股定理可得NB2+NG2=BG2,

從而有.：NB2+NG2=(PB2+PN2)+(PG2+PN2)=BG-,

據(jù)此可得PB2+PG2豐BG?,即ZBPG豐90,

據(jù)此可得平面B.EF±平面48。不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,取44的中點(diǎn)“，則AH\\ByE,

由于與平面AAC相交,故平面B\EF〃平血A,AC不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D,取AO的中點(diǎn)M,很明顯四邊形4用月0為平行四邊形，則||B.F,

由于AM與平面AG。相交,故平面用石/〃平面AG。不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選A

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)空間線面位置關(guān)系的考查，一直是高考中的熱點(diǎn)，高考考查此類問題，以正方體模型

為載體的頻率非常高，故請(qǐng)同學(xué)們一定要重視正方體這個(gè)重要的幾何體.

【知識(shí)連接】

1.證明或判斷面面平行的方法

(1)利用定義(常用反證法)；

⑵利用判定定理：a,buB，aC\b=P,a//a,b//ana//p；

推論：〃力uQwua,〃八。=尸,〃洎"=。,4〃加力〃〃(或a〃〃/〃"?)=>a〃4；

(a//B

⑶利用面面平行的傳遞性：〃廣>?〃Y；

\y//p

(4)利用線面垂直的性質(zhì)：〃夕.

2.應(yīng)用判定定理時(shí),注意由“低維”到“高維Z“線線平行”n“線面平行』“面面平行”；

應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，注意由“高維”到“低維”：“面面平行』"線面平行』“線線平行”.

8.已知等比數(shù)歹ij{4}的前3項(xiàng)和為168,。2—6=42,貝1」。6=()

A.14B.12C.6D.3

【命題意圖】本題考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).難度：中等偏易.

【答案】D

【解析】解法一：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,4#0,若q=l,則4=°，與題意矛胤則

q=96

q+a,+%==168,

-1--1一qM，解得<1，所以4==3.故選D.

4q

a2-a5=aiq-aiq=42

解法二：設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為￥0,由4+4+%=168及%-%=42,得

4（1+4+/）=]68%=96

?,八，解得《1，所以4=。4=3.故選D.

）=421=5

【點(diǎn)評(píng)】本題利用方程思想求基本量，屬于常規(guī)題型，課本有類似習(xí)題，且本題難度不超過課本

習(xí)題.在高考試卷中若解答題中有數(shù)列題，在客觀題中一般沒有數(shù)列題,若解答題中沒有數(shù)列

題,客觀題中一般有兩道數(shù)列題，一道考查等差數(shù)列，一道考查等比數(shù)列.

【知識(shí)鏈接】等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個(gè)量

m,一般可以“知三求二”，通過列方程（組）可迎刃而解.注意為使問題有確定的解所列

方程的個(gè)數(shù)應(yīng)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相等.

9.已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為。，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面上，則當(dāng)該四棱

錐的體積最大時(shí),其高為（）

A1R±D四

A.D?--D.

3232

【命題意圖】本題考查四棱錐的外接球及幾何體體積的計(jì)算，考查直觀想象與邏輯推理的核

心素養(yǎng).難度：中等.

【答案】C

【解析】解法一：設(shè)該四棱錐底面為四邊形A8CD,四邊形ABC。所外接圓半徑為r,設(shè)四邊

2

形AHCD對(duì)角線夾角為a,WiJSzlBCD=-AC-BD-sina<--AC-B￡><--2r-2r=2r,

（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形48CC為正方形時(shí)等號(hào)成立）即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面A8CO所在小

圓距離一定時(shí)，底面A8CC面積最大值為2r2

又產(chǎn)+肥=1,則

222

v_192,_V2/22舊〈夜Ifr+r+2/?Y_473

vf>cn=_>2r,h=—vF?r,2/z<—,I---------------=-----

n°-ABCD333火3J27

當(dāng)且僅當(dāng)r=2/r即〃邛時(shí)等號(hào)成立，故選C.

解法二：由于該四棱錐的底面是圓內(nèi)接四邊形，當(dāng)圓內(nèi)接四邊形面積最大時(shí)該四邊形為正方

形,設(shè)該正方形的邊長(zhǎng)為正方形外接圓半徑為r,則/-也”,該四棱錐的高的最大值為

2

，此時(shí)該四棱錐的體積丫=；"2一1，設(shè)/（”）="4-q（0<q<2）,

則/（4）=4/-3a，,令/（°）=0得/=g,所以當(dāng)/=g時(shí)/g）最大，V最大，此時(shí)

）=J1工=且,故選C.

V23

【點(diǎn)評(píng)】高考試卷中立體幾何?般有2道客觀題，一道解答題，客觀題中球與幾何體的切接是

高考熱點(diǎn)，此類問題對(duì)空間想象能力要求比較高,難度比較大.

【知識(shí)鏈接】

1.幾何體的外接球問題關(guān)鍵是確定球心位置,主要方法有:①將幾何體還原或補(bǔ)為正方體或長(zhǎng)

方體，進(jìn)而確定球心；②幾何體的外接球球心一定在過底面的外心與底面垂直的宜線上；③

球心到各頂點(diǎn)的距離都相等；④球心一定在外接球的直徑上.

2.求解幾何體外接球的半徑主要從兩個(gè)方面考慮：一是根據(jù)球的截面的性質(zhì)，利用球的半徑R、

截面圓的半徑r及球心到截面圓的距離”三者的關(guān)系膽=3+/求.

10.某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、

丙比賽獲勝的概率分別為P”P2，P3,且P3>P2>P|>0.記該棋手連勝兩盤的概率為P，則

（）

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽,P最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽,p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽,p最大

【命題意圖】本題考查相互獨(dú)立事件的概率，考查數(shù)學(xué)建模與邏輯推理的核心素養(yǎng),難度：中

等偏難

【答案】D

【解析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序?yàn)橐壹妆?/p>

及丙甲乙的概率均為巳則此時(shí)連勝兩盤的概率為P甲

則。甲=j［（1一。2）PlP-3+P2Pl（1-P3）］+g［（1一，3）PlP2+P3Pl（1一P2）］

=P1（P2+P3）-2p】PiP3:

記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為P乙，則。乙=P2（Pl+。3）-20。2P3

記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為P丙，則P丙=〃3（Pl+〃2）-2Plp2P3

則為一。乙=乩（〃2+'3）-2P|P2P3Tp25+〃3）一2〃"3］=（一〃2）“3<0.

P乙一，丙=〃2（Pl+〃3）一2〃/2〃3-[PAP\+〃2）-2Plp2P3]=（〃2一〃3）<°，

即Pi,，<P乙、P乙<，丙，則該棋手在第二盤與內(nèi)比賽.P最大.選項(xiàng)D正確；選項(xiàng)BC錯(cuò)誤；

p與該棋手與甲、乙、內(nèi)的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A錯(cuò)誤.故選D

【點(diǎn)評(píng)】本題易錯(cuò)之處無法用相互獨(dú)立事件及互斥事件準(zhǔn)確表示出第二盤與甲（乙或丙）比

賽連勝兩盤這個(gè)復(fù)雜事件,客觀題中對(duì)概率計(jì)算的考查是高考熱點(diǎn)，考查頻率比較高的是古典

概型、相互獨(dú)立事件的概率、條件概率等.

【知識(shí)鏈接】對(duì)于復(fù)雜概率的計(jì)算一般要先設(shè)出事件，準(zhǔn)確地確定事件的性質(zhì)，把問題化歸為

古典概型、互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)四類事件中的某一種；其次判斷事件是A

+8還是AB事件，確定事件至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件公式；

最后選用相應(yīng)的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨(dú)立事件、〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公

式求解.

11.雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為片,鳥，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為。，過K作。的切線與C交于

3

MN兩點(diǎn)，且cos/片Ng=《，則C的離心率為（）

A.正B.-C.D.

2222

【命題意圖】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：難

【答案】AC

【解析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在*軸,設(shè)過片作圓。的切線切點(diǎn)為G,若分別在左

右支，

因?yàn)?。G_LN6,且cos=g>0,所以N在雙曲線的右支，又=。1。周=c,

@娟=乩

|可居|WE2c

沒NF,NF,=a.NF,FN=0,在4F、NF,中南」““、=二一，

sinpsm（a+〃）sina

故=工即二一a—q

sin（6Z+/?）-sin/?sinasin（a+/?）-sin/?sina

sinacosp+cosasin/?-sinpsina

，3.0。門b生.4

而cosa=—,sin』二一,cos〃=一，故sma=—,

See5

13

代入整理得到2b=3a，即2=二,所以雙曲線的離心率e

a2

\NF\2Cb

同理有L_^?=-----------，其中/為鈍角，故cos/?=一一，

sinpsm(a+1)sinac

\NF2\-\NF]2CC

sin〃一sin(a+尸)sinasin/?-sinacosp-cosasinpsina

代入cosa=」.sin￡=q.sina=整理得到：—--=—,

5c546+2a4

亞，故選AC.

故a=2b,故e

2

【點(diǎn)評(píng)】本題運(yùn)算量比較大,解題過程有涉及其他知識(shí)點(diǎn)，是一道難題，另外本題求解時(shí)需要考

慮分別在左右支上、都在左支上兩種情況，從備選項(xiàng)中兩個(gè)結(jié)果都有，可以看出命題

者也想到了這兩種情況，但單選題不應(yīng)該有兩個(gè)答案,不知命題者是如何考慮的.

【知識(shí)鏈接】求橢圓或雙曲線的離心率問題的一般思路

求橢圓或雙曲線的離心率或其范圍時(shí)，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于a,h,c的等式或不等式,

利用a,b,c的關(guān)系消去6,構(gòu)造關(guān)于?,c的齊次式,再轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，求離心率

或取值范圍.

12.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,且/(x)+g(2—x)=5,g(x)-/(%-4)=7.若

22

y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱,g(2)=4，則Zf(k)=()

*=i

A.-21B.-22C.-23D.-24

【命題意圖】本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng),難度：難

【答案】D

【解析】因?yàn)閥=g(x)的圖像關(guān)于直線X=2對(duì)稱，所以g(2-x)=g(x+2),

因?yàn)間(x)-/(x-4)=7,所以g(x+2)-/(x-2)=7,即g(x+2)=7+f(x-2),

因?yàn)?(x)+g(2-x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5,

代入得/(x)+[7+/(x—2)]=5,即/(%)+/(x-2)=-2.

所以/⑶+〃5)+…+"21)=(-2)*5=—10.

/(4)+/(6)+...+/(22)=(-2)x5=-10.

因?yàn)?(x)+g(2-x)=5,所以f(0)+g(2)=5,即/(0)=1,所以/(2)=—2—/(0)=-3.

因?yàn)間(x)—/(尤-4)=7,所以g(x+4)—/(x)=7,又因?yàn)?(尤)+g(2-x)=5,

聯(lián)立得,g(2—x)+g(x+4)=12,取x=-l得2g⑶=12,g⑶=6,因?yàn)?(x)+g(x+2)=5,

22

所以/⑴=5—g(3)=—1.所以Z./W=〃1)+〃2)+[〃3)+〃5)+...+〃21)]

k=\

+[/(4)+〃6)+…+〃22)]=_1_3_10_10=_24.故選D.

【點(diǎn)評(píng)】以抽象函數(shù)為載體,考查函數(shù)的對(duì)稱性、周期性，是近年高考的熱點(diǎn)，由于此類問題抽

象思維能力及對(duì)邏輯思維能力要求較高,一般-客觀題壓軸題出現(xiàn).

【知識(shí)連接】關(guān)于對(duì)稱性與周期性的幾個(gè)結(jié)論

⑴若/(X)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(a+x)=/(a-x)或f(2a-x)=/(x)

⑵若/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱，則/(a+尤)+/(a-x)=2b或/(2“-x)+/(x)=2)

(3)若函數(shù)/(x)的圖象既關(guān)于直線x=a對(duì)稱，又關(guān)于直線X=。對(duì)稱(ahb)，則/(x)是周

期函數(shù)，且2(。—。)是它的個(gè)周期.

(4)若函數(shù)/(X)的圖象既關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)伍,0)對(duì)稱(a豐。),則/(%)是周期函

數(shù)，且2(。一a)是它的一個(gè)周期.

(5)若函數(shù)/(x)的圖象既關(guān)于直線x=a對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)他,())對(duì)稱(a則f(x)是周期

函數(shù)，且4僅一。)是它的一個(gè)周期.

二、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為

【命題意圖】本題考查古典概型，考查數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).難度：容易

3

【答案】—

10

【解析】從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為C；=10,甲、乙都入選的方法數(shù)為C；=3,所

3

以甲、乙都入選的概率尸=一.

【點(diǎn)評(píng)】占典概型是高考高頻考點(diǎn),若作為客觀題考查，一般為容易題.

【知識(shí)鏈接】利用古典概型求事件A的概率，關(guān)鍵是要分清基本事件總數(shù)〃與事件A包含的

基本事件數(shù)，九如果基本事件的個(gè)數(shù)比較少，可用列舉法把古典概型試驗(yàn)所含的基本事件一一

列舉出來，然后再求出事件A中的基本事件數(shù)，利用公式P(A)=：求出事件A的概率，注意列舉

時(shí)必須按照某一順序做到不重不漏；如果基本事件個(gè)數(shù)比較多，列舉有一定困難時(shí)，也可借助

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及排列組合知識(shí)直接計(jì)算孫”，再運(yùn)用公式P(A)=：求概率.

14.過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為.

【命題意圖】本題考查圓的方程，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).難度：容易

[答案](x—2)2+(y_3)2=]3或(x_2j+(y_l)2=5或(x—g+(,一(='^或

—+(>一1)2=詈(寫出其中一個(gè)即可)

【解析】解法一：依題意設(shè)圓的方程為尤2+尸+瓜+￡>+尸=。,若過(0,0),(4,0),(-1,1),

F=Q[F=0

則人6+4。+尸=0，解得(。=一4,所以圓的方程為爐+丁―4》一6卜=0，即

l+l-D+E+F=0[E=-6

(x-2『+(y-3)2=13；

F=0F=0

若過（0,0）,（4,0）,（4,2）,則<16+4。+尸=0，解得《D=-4.

16+4+4￡>+2E+F=0E=-2

所以圓的方程為J+V—4x—2y=0,即（x—2）2+（y—l）2=5；

[F=0F=。

Q

若過(0,0),(4,2).(-1,1),則1+1-。+E+尸=0，解得￡>=—§,

16+4+4D+2E+F=0..

E=——

I3

所以圓的方程為X?+y2—=0,即(x—g)+(y_g

rL=---1-6-

l+l-D+E+F^05

D=*

若過(-1』),(4,0).(4,2)廁<16+4。+/=0，解得，

5

16+4+4￡>+2E+F=0

E=-2

所以圓的方程為X?+y2___x_2y__，=0,即(1_])+(>_])-=5

故答案為：(x-2)2+(y-3)2=13^(X-2)2+(J-1)2=y

或小|)169

+(yT)~

25

解法二：由于只要求寫出其中一個(gè)圓的方程，我們寫最簡(jiǎn)單的一個(gè)：設(shè)

。(0,0),4(4,0),3(4,2),可知。4，相,所以以08為直徑的圓就是過點(diǎn)。,48的圓,因?yàn)?/p>

08中點(diǎn)為(2,1).|AM=26，所以過點(diǎn)QA8的圓的方程為(x—2『+(y—爐=5.

【點(diǎn)評(píng)】近兩年在填空題中開始出現(xiàn)開放題，此類問題一般答案不唯一，做題時(shí)不僅要求答案

正確,還要求用最短的時(shí)間寫出正確答案，所以思路的選擇很關(guān)鍵，不同的思路有時(shí)所用時(shí)間

相差比較大.

【知識(shí)鏈接】

求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程.-一般來說，求圓的方程有兩種方法：(1)兒

何法,通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量.確定圓的方程時(shí)，常用到的圓的三個(gè)性質(zhì)：①

圓心在過切點(diǎn)且垂直于切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時(shí),

切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線.(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程,用待定系數(shù)法求解.大致步驟為：

①根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或?般方程；②根據(jù)條件列出關(guān)于。力，，或。、￡、尸的方程組；

③解出a、b、r或。、E、F代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.

15.記函數(shù)/(x)=cos(3X+e)(<y>0,0<°<7i)的最小正周期為T,若/(7)=且，

TT

x=一為/(x)的零點(diǎn)，則o的最小值為.

9

【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難點(diǎn)：中等偏

難

【答案】3

【解析】因?yàn)?(x)=cos(s+e).(6y＞0,0＜夕＜兀)所以其最小正周期T=—,因?yàn)?/p>

CD

2兀

/(T)=cos0)----\-(p=cos(2n+^)=cos(p=,又。＜9＜兀,所以(/)=~，即

co

/(x)=COSCOX+—.

I6廣

又％=四為/(X)的零點(diǎn)，所以三啰+乙=殳+而次wZ,解得＜y=3+9k《eZ,因?yàn)?。＞o,

9962

所以當(dāng)2=0時(shí)/min=3.

【點(diǎn)評(píng)】三角函數(shù)與解三角形在高考中的高考規(guī)律一般是這樣的：若解答題中有解三角形試

題,則客觀題中一般只有一道相關(guān)試題，多為考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的試題,若解答題中沒

有解三角形試題，則客觀題中一般有3道相關(guān)試題,分別考查三角變換、三角函數(shù)的圖象與性

質(zhì)、解三角形.

【知識(shí)鏈接】三角函數(shù)的極值、零點(diǎn)、對(duì)稱性是高考熱點(diǎn)，其中關(guān)于對(duì)稱性的結(jié)論為

/(x)=Asin(s+g)(A0H0)，或/(x)=Acos(azr+。)(AORO)的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱

＜=＞/(x0)=A或-4；/(x)=Asin(＜yx+(p)^Aa＞0)，或/(x)=Acos(3x+e)(A(o40)的圖象

關(guān)于點(diǎn)(*。，0)對(duì)稱=/(x0)=0.

16.已知x=X1和x=4分別是函數(shù)/(x)=2相一ef(a＞o且的極小值點(diǎn)和極大

值點(diǎn).若不＜%，則a的取值范圍是.

【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)極值中的應(yīng)用，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng),

難度：難

【答案】

【解析】/'(X)=2"Ina—2ex,因?yàn)榉謩e是函數(shù)"力=2ax-ex2的極小值點(diǎn)和極

大值點(diǎn)，

所以“X)在(Y0,%,)和(看,+30)上遞減，在(X|，W)上遞增，所以當(dāng)

》€(wěn)(—0,占)0(%2，小)時(shí),/'(%)＜。，當(dāng)兀€(王，X2)吐/'(力＞。,

若時(shí)，當(dāng)x＜0時(shí),21na,優(yōu)＞0,2ex＜0,則此時(shí)/'(力＞0,不滿足題意，舍去

若Ovav1時(shí),則方程2屋Ino-2ex=()兩個(gè)根為芯,電，即方程優(yōu)In〃=ex的兩個(gè)根為

X,,x2,

即函數(shù)y=a*lna與函數(shù)y=ex的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖所示：

設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)＞=g(x)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為(%*Ina),則切線的斜率為

r2

g(x0)=a^Ina,

故切線方程為y-a%Ina=a"In?a(x-%),則有一a~Ina=-x()a*In?a.解得/=」一