第三章 趨勢面分析課件

第三章地理學中的經(jīng)典統(tǒng)計分析

方法第三章趨勢面分析第6節(jié)趨勢面分析方法

趨勢面分析的用途趨勢面分析的一般原理

趨勢面模型的適度檢驗

趨勢面分析應用實例趨勢面分析的軟件實現(xiàn)第三章趨勢面分析一、趨勢面分析的用途趨勢面分析(trendsurfaceanalysis,TSA)的主要功能是找出研究區(qū)域內(nèi)變量的空間分布格局。描述地理要素的空間分布及變化趨勢（如地質(zhì)勘探、海底地形、生態(tài)環(huán)境、經(jīng)濟要素的空間分布、評估等等）。許多現(xiàn)象在空間都具有復雜的分布特征，它們常常呈現(xiàn)為不規(guī)則的曲面。欲研究這些現(xiàn)象的空間分布趨勢，就要用適當?shù)臄?shù)學方法將現(xiàn)象的空間分布及其區(qū)域變化趨勢模擬出來，這就用到趨勢面分析方法。趨勢面分析方法常常被用來模擬資源、環(huán)境、人口及經(jīng)濟要素在空間上的分布規(guī)律，它在空間分析方面具有重要的應用價值。進行空間插值.是空間內(nèi)插的一種方法。在區(qū)域內(nèi)通過已知點的數(shù)據(jù)，推求任意點數(shù)據(jù)的方法稱為空間數(shù)據(jù)的內(nèi)插。

在其他學科的應用（工程技術、傳染病學、化學等）第三章趨勢面分析二、趨勢面分析的一般原理

定義：趨勢面分析，是利用數(shù)學曲面模擬地理系統(tǒng)要素在空間上的分布及變化趨勢的一種數(shù)學方法。它實質(zhì)上就是通過回歸分析原理，運用最小二乘法擬合一個二維非線性函數(shù)，模擬地理要素在空間上的分布規(guī)律，展示地理要素在地域空間上的變化趨勢。只不過多元線性回歸分析考察的是多個自變量因素對因變量的影響程度，而趨勢面分析是將三維坐標系中坐標點x,y作為自變量，點z的值作為因變量來考察這個z值在空間上的變化趨勢。

目的：找到一個空間趨勢面去擬合地理要素的實際分布面。

第三章趨勢面分析

空間趨勢面是一種光滑的數(shù)學曲面，它能集中地代表地理數(shù)據(jù)在大范圍內(nèi)的空間變化趨勢。它與實際上的地理曲面不同，它只是實際曲面的一種近似值。趨勢面是一種抽象的數(shù)學曲面，它抽象并過濾掉了一些局域隨機因素的影響，使地理要素的空間分布規(guī)律明顯化。實際曲面=趨勢面+剩余曲面。趨勢面反映了區(qū)域性的變化規(guī)律，它受大范圍的系統(tǒng)性因素影響，屬于確定性因素作用的結(jié)果。而剩余面反映局部性變化特點，它受局部因素和隨機因素的影響。二、趨勢面分析的一般原理

第三章趨勢面分析趨勢面分析的一個基本要求，就是所選擇的趨勢面模型應該是剩余值最小，而趨勢值最大，這樣擬合度精度才能達到足夠的準確性。空間趨勢面分析，正是從地理要素分布的實際數(shù)據(jù)中分解出趨勢值和剩余值，從而揭示地理要素空間分布的趨勢與規(guī)律。觀測值=確定性函數(shù)值+隨機性函數(shù)值=趨勢值+剩余值

我們通常用回歸分析的方法來求趨勢值和剩余值。

二、趨勢面分析的一般原理

第三章趨勢面分析（一）建立趨勢面模型

設某地理要素的實際觀測數(shù)據(jù)為，趨勢面擬合值為，則有

式中：εi即為剩余值（殘差值）。顯然，當（xi，yi）在空間上變動時，（3.6.1）式就刻畫了地理要素的實際分布曲面、趨勢面和剩余面之間的互動關系。

（3.6.1）

第三章趨勢面分析趨勢面分析的核心從實際觀測值出發(fā)推算趨勢面，使得殘差平方和趨于最小，即

以此來估計趨勢面參數(shù)。這就是在最小二乘法意義下的趨勢面擬合。

第三章趨勢面分析

用來計算趨勢面的數(shù)學方程式有多項式函數(shù)和傅立葉級數(shù)，其中最為常用的是多項式函數(shù)形式。因為任何一個函數(shù)都可以在一個適當?shù)姆秶鷥?nèi)用多項式來逼近，而且調(diào)整多項式的次數(shù)，可使所求的回歸方程適合實際問題的需要。

第三章趨勢面分析多項式趨勢面的形式①一次趨勢面模型②二次趨勢面模型③三次趨勢面模型（3.6.2）

（3.6.3）

（3.6.4）

第三章趨勢面分析（二）估計趨勢面模型的參數(shù)實質(zhì)

根據(jù)觀測值zi，xi，yi（i=1,2,…,n）確定多項式的系數(shù)a0，a1，…，ap，使殘差平方和最小。過程

①

將多項式回歸（非線性模型）模型轉(zhuǎn)化為多元線性回歸模型。第三章趨勢面分析令

則②其殘差平方和為

（3.6.5）

第三章趨勢面分析③求Q對a0，a1，…，ap的偏導數(shù)，并令其等于0，得正規(guī)方程組(式中為p+1個未知量）（3.6.6）

第三章趨勢面分析一般采用消元法求解正規(guī)方程組。解此正規(guī)方程組，即得p＋1個系數(shù)a0，a1，…，ap。帶入原擬合模型，即得到趨勢面方程。第三章趨勢面分析三、趨勢面模型的顯著性檢驗

趨勢面擬合適度的R2檢驗趨勢面擬合適度的顯著性F檢驗趨勢面適度的逐次檢驗

趨勢面分析擬合程度與回歸模型的效果直接相關，因此，對趨勢面分析進行適度性檢驗是一個關系到趨勢面能否在實際研究中加以應用的關鍵問題，也是趨勢面分析中不可缺少的重要環(huán)節(jié)。這可以通過以下檢驗來完成：第三章趨勢面分析（一）趨勢面擬合適度的R2檢驗

趨勢面與實際面的擬合度系數(shù)R2是測定回歸模型擬合優(yōu)度的重要指標。一般用變量z的總離差平方和中回歸平方和所占的比重表示回歸模型的擬合優(yōu)度。總離差平方和等于回歸平方和與剩余平方和之和。即第三章趨勢面分析

越大（或越小）就表示因變量與自變量的關系越密切，回歸的規(guī)律性越強、效果越好。記

越大，趨勢面的擬合度就越高。

為剩余平方和，它表示隨機因素對離差的影響，為回歸平方和，它表示自變量對因變量的離差的總影響。

（3.6.9）

第三章趨勢面分析（二）趨勢面擬合適度的顯著性F檢驗趨勢面適度的F檢驗，是對趨勢面回歸模型整體的顯著性檢驗。

方法：是利用變量z的總離差平方和中回歸平方和與剩余平方和的比值，確定變量z與自變量x、y之間的回歸關系是否顯著。即結(jié)果分析：在顯著性水平α下，查F分布表得Fα，若計算的F值大于臨界值Fα，則認為趨勢面方程顯著；反之則不顯著。（3.6.10）

第三章趨勢面分析（三）趨勢面適度的逐次檢驗

方法

(1)求出較高次多項式方程的回歸平方和與較低次多項式方程的回歸平方和之差;(2)將此差除以回歸平方和的自由度之差，得出由于多項式次數(shù)增高所產(chǎn)生的回歸均方差;(3)將此均方差除以較高次多項式的剩余均方差，得出相繼兩個階次趨勢面模型的適度性比較檢驗值F。若所得的F值是顯著的，則較高次多項式對回歸作出了新貢獻，若F值不顯著，則較高次多項式對于回歸并無新貢獻。相應的方差分析表見表3.6.1。

第三章趨勢面分析

表3.6.1多項式趨勢面由K次增高至（K+1）次的回歸顯著性檢驗離差來源平方和自由度均方差F檢驗（K+1）次回歸

p

（K+1）次剩余

n–p–1K次回歸

qK次剩余

n–q–1由K次增高至（K+1）次的回歸p–q總離差SST第三章趨勢面分析四、趨勢面分析應用實例

某流域1月份降水量與各觀測點的坐標位置數(shù)據(jù)如表3.6.2所示。下面，我們以降水量為因變量z，地理位置的橫坐標和縱坐標分別為自變量x、y，進行趨勢面分析，并對趨勢面方程進行適度F檢驗。

第三章趨勢面分析表3.6.2流域降水量及觀測點的地理位置數(shù)據(jù)序號降水量Z/mm橫坐標x/104m縱坐標y/104m12345678910111227.638.42424.73255.540.437.53131.75344.901.11.82.953.41.80.70.20.851.652.653.6510.6000.21.71.323.353.153.12.55第三章趨勢面分析建立趨勢面模型

(1)

首先采用二次多項式進行趨勢面擬合，用最小二乘法求得擬合方程為

解題步驟第三章趨勢面分析圖3.6.1某流域降水量的二次多項式趨勢面

第三章趨勢面分析

(2)再采用三次趨勢面進行擬合，用最小二乘法求得擬合方程為

第三章趨勢面分析圖3.6.2某流域降水量的三次多項式趨勢面

第三章趨勢面分析

(1)趨勢面擬合適度的R2檢驗:根據(jù)R2檢驗方法計算，結(jié)果表明，二次趨勢面的判定系數(shù)為R22=0.839，三次趨勢面的判定系數(shù)為R32=0.965，可見二次趨勢面回歸模型和三次趨勢面回歸模型的顯著性都較高，而且三次趨勢面較二次趨勢面具有更高的擬合程度。

模型檢驗第三章趨勢面分析

(2)

趨勢面適度的顯著性F檢驗:根據(jù)F檢驗方法計算，結(jié)果表明，二次趨勢面和三次趨勢面的F值分別為F2=6.236和F3=6.054。在置信水平α=0.05下，查F分布表得F3α=。顯然，，故二次趨勢面的回歸方程顯著而三次趨勢面不顯著。因此，F(xiàn)檢驗的結(jié)果表明，用二次趨勢面進行擬合比較合理。。第三章趨勢面分析

趨勢面比較：在二次和三次趨勢面檢驗中，對兩個階次趨勢面模型的適度進行比較，相應的方差分析計算結(jié)果見表3.6.3。(3)趨勢面適度的逐次檢驗：

離差來源平方和自由度均方差F檢驗三次回歸三次剩余二次回歸二次剩余由二次增高至三次的回歸

1129.78941.474982.244189.018147.545912-9-1512-5-14125.53220.737196.44931.50336.8866.0546.2361.779表3.6.3二次和三次趨勢面回歸模型的逐次檢驗方差分析表第三章趨勢面分析

分析：從二次趨勢面增加到三次趨勢面，F(xiàn)3→2=1.779。在置信度水平α=0.05下，查F分布表得F0.05(4,2)=6.94，由于F3→2<F0.05(4,2)=6.94，故將趨勢面擬合次數(shù)由二次增高至三次，對回歸方程并無新貢獻，因而選取二次趨勢面比較合適。這也進一步驗證了趨勢面擬合適度的顯著性F檢驗的結(jié)論。第三章趨勢面分析五、可用軟件Matlab6.0Sas8.0Arcview,Arcinfo趨勢面分析模塊第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析實際應用中，趨勢面分析具體計算方法步驟：1、以原始數(shù)據(jù)列表2、等間隔選取縱橫坐標網(wǎng)，將原始數(shù)據(jù)點入坐標3、用spss軟件建立并選擇趨勢面回歸方程即選取模型（xy等二次或三次項可通過數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，用compute功能產(chǎn)生新的變量，建立二元高次多項式，選取強迫進入法進行回歸。4、模型檢驗5、用matlab或arcgis繪制趨勢面分析圖第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析1202.29第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第三章趨勢面分析第