2023年福建省中考數(shù)學真題（解析版）

數(shù)學試題

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合要求的.

I.下列實數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.-1B.OC.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】有理數(shù)比較大小的法則：正數(shù)大于負數(shù)，正數(shù)大于0,兩個負數(shù)中絕對值大的反而小，據(jù)此判斷即

可.

【詳解】解：正數(shù)大于0,正數(shù)大于負數(shù)，且2>1，所以—1、0、1、2中最大的實數(shù)是2.

故選：D

【點睛】本題主要考查了有理數(shù)比較大小，熟練掌握其方法是解題的關鍵.

2.下圖是由一個長方體和一個圓柱組成的幾何體，它的俯視圖是（）

視方向

【解析】

【分析】根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖即可解答.

【詳解】解：從上面看下邊是一個矩形，矩形的上邊是一個圓，

故選：D.

【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，掌握從上面看得到的圖形是俯視圖是解答本題的關鍵.

3.若某三角形的三邊長分別為3,4,m,則,〃的值可以是（）

A.1B.5C.7D.9

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三角形的三邊關系求解即可.

【詳解】解：由題意，得4一3<加<4+3,B|Jl<m<7,

故加的值可選5,

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系是解答的關鍵.

4.黨的二十大報告指出，我國建成世界上規(guī)模最大的教育體系、社會保障體系、醫(yī)療衛(wèi)生體系，教育普及

水平實現(xiàn)歷史性跨越，基本養(yǎng)老保險覆蓋十億四千萬人，基本醫(yī)療保險參保率穩(wěn)定在百分之九十五、將數(shù)

據(jù)1040000000用科學記數(shù)法表示為（）

A.104xl07B.10.4xl08C.1.04xl09D.0.104x10'0

【答案】C

【解析】

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)

變成“時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.

【詳解】解：1040000000=1.04X109?

故選：C.

【點睛】此題主要考查了科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中

l<|a|<10,〃為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定。的值以及w的值.

5.下列計算正確的是（）

A.（a，）-a6B.a6-^-a2=o'C.o,-a4=a'2D.a1-a=a

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)基的乘方法、同底數(shù)幕的除法法則、同底數(shù)幕的乘法以及合并同類項逐項判斷即可.

【詳解】解：A.（/丫=。2*3=。6,故A選項計算正確，符合題意；

B.a6^a2^a6-2=a4，故B選項計算錯誤，不合題意；

C././=。3+4=。7,故c選項計算錯誤，不合題意；

D.1與一。不是同類項，所以不能合并，故D選項計算錯誤，不合題意.

故選：A.

【點睛】本題主要考查同底數(shù)幕的乘除運算、幕的乘方運算以及整式的加減運算等知識點，同底數(shù)幕相乘，

底數(shù)不變，指數(shù)相加；同底數(shù)嘉相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；塞的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

6.根據(jù)福建省統(tǒng)計局數(shù)據(jù)，福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元，2022年的地區(qū)生產(chǎn)總值為

53109.85億元.設這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x,根據(jù)題意可列方程()

A.43903.89(1+%)=53109.85B.43903.89(1+%)2=53109.85

C.43903.89/=53109.85D.43903.89(l+x2)=53109.85

【答案】B

【解析】

【分析】設這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x,根據(jù)題意列出一元二次方程即可求解.

【詳解】設這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x,根據(jù)題意可列方程

43903.89(1+x)2=53109.85,

故選:B.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關鍵.

7.閱讀以下作圖步驟：

①在。4和。8上分別截取使OC=OD；

②分別以為圓心，以大于工的長為半徑作弧，兩弧在NAO3內(nèi)交于點M；

2

③作射線連接如圖所示.

根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結論是()

OD

A.N1=N2且=B.N1=N3且。/=ZW

N2且=D.N2=/3且

【答案】A

【解析】

［分析】由作圖過程可得：OD=OC,CM=DM,再結合DM=DM可得一COMADOM(SSS),由

全等三角形的性質可得N1=N2即可解答.

【詳解】解：由作圖過程可得：OD=OC,CM=DM,

:DM=DM，

.COM&DOM(SSS).

，N1=N2.

；.A選項符合題意；

不能確定0C=CM，則Nl=N3不一定成立，故B選項不符合題意；

不能確定OD=DM,故C選項不符合題意，

OD〃CM不一定成立,則/2=/3不一定成立，故D選項不符合題意.

故選A.

【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質等知識點，理解尺規(guī)作圖過程是

解答本題的關鍵.

8.為貫徹落實教育部辦公廳關于“保障學生每天校內(nèi)、校外各1小時體育活動時間”的要求，學校要求學

生每天堅持體育鍛煉.小亮記錄了自己一周內(nèi)每天校外鍛煉的時間(單位：分鐘)，并制作了如圖所示的

統(tǒng)計圖.

本時間/分鐘

100

90

80

70匹流失片

60

50

4

~二二二二二二二贏

根據(jù)統(tǒng)計圖，下列關于小亮該周每天校外鍛煉時間的描述，正確的是()

A.平均數(shù)為70分鐘B.眾數(shù)為67分鐘C.中位數(shù)為67分鐘D.方差為0

【答案】B

【解析】

【分析】分別求出平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差，即可進行判斷.

【詳解】解：A.平均數(shù)為」“67X2+7°+7”79+88=73(分鐘)，故選項錯誤，不符合題意;

7

B.在7個數(shù)據(jù)中，67出現(xiàn)的次數(shù)最多，為2次，則眾數(shù)為67分鐘，故選項正確，符合題意;

c.7個數(shù)據(jù)按照從小到大排列為：65,67,67,70,75,79,88,中位數(shù)是70分鐘，故選項錯誤，不符合題

意;

65+67x2+70+75+79+88

D.平均數(shù)為=73,

7

方差為（65-73『+（67—73）2x2+（70-73『+（75-73）2（9-73）2+（88-73）2

+7史2,故選項錯

77

誤，不符合題意.

故選：B.

【點睛】此題考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差，熟練掌握各量的求解方法是解題的關鍵.

9.如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)＞=士3和丁=n—的圖象的四個分支上，則實數(shù)〃的值為

xx

()

A.一3B.—C.—D.3

33

【答案】A

【解析】

3

【分析】如圖所示，點B在丫=三上，證明二AOCg二OBO,根據(jù)上的幾何意義即可求解.

x

【詳解】解：如圖所示，連接正方形對角線，過點A,B分別作x軸的垂線，垂足分別為C,。，點B在

上,

X

VOB=OA,ZAOB=ZBDO=ZACO=90°,

ZCAO=90。—ZAOC=NBOD.

：.jAOCAOBD.

；A點在第二象限，

n——3-

故選：A.

【點睛】本題考查了正方形性質，反比例函數(shù)的我的幾何意義，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

10.我國魏晉時期數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼

近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所

失矣”.“割圓術”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率乃的近似值為3.1416.如圖，。的

半徑為1,運用“割圓術”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計。的面積，可得乃的估計值為主叵，若用

2

圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，可得》的估計值為（）

A.6B.272C.3D.2>/3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質可得4403=30。，根據(jù)30度的作對的直角邊是斜邊的一半可得

BC=-,根據(jù)三角形的面積公式即可求得正十二邊形的面積，即可求解.

2

【詳解】解：圓的內(nèi)接正十二邊形的面積可以看成12個全等的等腰三角形組成，故等腰三角形的頂角為

30°,設圓的半徑為1,如圖為其中一個等腰三角形。鉆，過點8作交04于點于點C,

則SOAB=—xlx—,

OAB224

故正十二邊形的面積為12s0AB=12x；=3,

圓的面積為％xlxl=3,

用圓內(nèi)接正十二邊形面積近似估計fO的面積可得兀=3,

故選：C.

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形性質，30度的作對的直角邊是斜邊的一半，三角形的面積公式，圓

的面積公式等，正確求出正十二邊形的面積是解題的關鍵.

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.

11.某倉庫記賬員為方便記賬，將進貨10件記作+10,那么出貨5件應記作.

【答案】-5

【解析】

【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示.

【詳解】解：；“正”和“負”相對，

進貨10件記作+10,那么出貨5件應記作-5.

故答案為：—5.

【點睛】本題主要考查了正數(shù)和負數(shù)，理解“正"和"負''的相對性，確定一對具有相反意義的量是解題關

鍵.

12.如圖，在YA3co中，。為30的中點，EF過點。且分別交于點瓦尸.若AE=1(),則

CE的長為.

【答案】10

【解析】

【分析】由平行四邊形性質可得。。〃45,。。=45即/0尸。=/。七氏/0。尸=/七50,再結合

OD=OB可得△￡3也△BOE(AAS)可得DF=EB，最進一步說明FC=AE=W即可解答.

【詳解】解：：ABC￡＞中,

DC〃AB,DC=AB,

ZOFD=ZOEB,ZODF=NEBO,

OD=OB,

：.ADO尸絲△BOE(AAS),

/.DF=EB，

：.DC-DF=AB-BE,即/C=AE=10.

故答案為：10.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質等知識點，證明三角形全等是解答

本題的關鍵.

13.如圖，在菱形ABCD中，AB=10,NB=60。，則AC的長為.

【答案】10

【解析】

【分析】由菱形ABCD中，/8=60°,易證得:一ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質即可得解.

【詳解】解：?.?四邊形A88是菱形，

4B=BC=10,

4=60°，

，ABC是等邊三角形,

；?AC=10.

故答案為：10.

【點睛】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，熟記菱形的性質并推出等邊三角形是解題的

關鍵.

14.某公司欲招聘一名職員.對甲、乙、丙三名應聘者進行了綜合知識、工作經(jīng)驗、語言表達等三方面的

測試，他們的各項成績?nèi)缦卤硭荆?/p>

X目

綜合知識工作經(jīng)驗語言表達

應M

甲758080

乙858()70

丙707870

如果將每位應聘者的綜合知識、工作經(jīng)驗、語言表達的成績按5:2:3的比例計算其總成績，并錄用總成績

最高的應聘者，則被錄用的是.

【答案】乙

【解析】

【分析】分別計算甲、乙、丙三名應聘者的成績的加權平均數(shù)，比較大小即可求解.

-523

【詳解】解：x甲=75x—+80x—+80x—=77.5,

101010

-523

尤乙=85x—+80x—+70x3=79.5,

101010

-523

龍丙=70x——+78x—+70x—=71.6,

101010

V71.6<77.5<79.5

.?.被錄用的是乙，

故答案為：乙.

【點睛】本題考查了加權平均數(shù)，熟練掌握加權平均數(shù)的計算方法是解題的關鍵.

15.已知,+2=1,且。。一力，則弛二@的值為.

aba+b

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)一+-=1可得b+2a=H,即出7—。=〃+4,然后將。〃一整體代入二一計算即

aba+h

可.

12

【詳解】解：???一+;=1

ab

.b+2a

.?-----=1,

ab

b+2a-ab,即。匕一a=/?+a.

ab-aa+b,

-----=----=1.

a+ba+b

【點睛】本題主要考查了分式的加減運算，根據(jù)分式的加減運算法則得到出?-a=人+。是解答本題的關

鍵.

16.已知拋物線y=ax2-2ax+b（a>0）經(jīng)過A（2〃+3,乂）,%）兩點，若A6分別位于拋物線對

稱軸的兩側，且％<必，則〃的取值范圍是.

【答案】-l<n<0

【解析】

【分析】根據(jù)題意，可得拋物線對稱軸為直線x=l,開口向上，根據(jù)已知條件得出點A在對稱軸的右側,

且,<%，進而得出不等式，解不等式即可求解.

【詳解】解：：y=a比2-2ax+人，a>0

—2a

???拋物線的對稱軸為直線X=-----=1,開口向上，

2a

???A（2〃+3,y）,3（〃一1,%）分別位于拋物線對稱軸的兩側，

假設點B在對稱軸的右側，則〃一1>1,解得“>2,

2〃+3——1）=〃+4>0

A點在8點的右側，與假設矛盾，則點A在對稱軸的右側，

.’2〃+3>1

,?n—\<1

解得：-1</?<2

又??,K<。2,

工K2〃+3)-1v11-(〃-1)

；?2〃+2V2—幾

解得：n<Q

；?—1v/?<0,

故答案為：—lv〃vO.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.

三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.計算：^-2°+|-1|.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)算術平方根，絕對值，零指數(shù)幕，有理數(shù)的混合運算法則計算即可.

【詳解】解：原式=3-1+1

=3.

【點睛】本題考查了算術平方根，絕對值，零指數(shù)累，有理數(shù)的混合運算，熟練掌握以上運算法則是解題

的關鍵.

2x+l<3,?

18.解不等式組：<

【答案】一34％<1

【解析】

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不

到確定不等式組的解集.

"2x+l<3,①

【詳解】解：\xl-3x9

尹寧ML②

解不等式①，得x<l.

解不等式②，得xN-3.

所以原不等式組的解集為-3Wx<l.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的關鍵.

19.如圖，0A=OC,OB=OD,ZAOD=ZCOB.求證：AB=CD.

AO

【答案】見解析

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件得出NA03=NCOD,進而證明△力如g△砌，根據(jù)全等三角形的性質即可得

證.

【詳解】證明：ZAOD=ZCOB,

ZAOD-ZBOD=NCOB-ZBOD,

即ZAOB=ZCOD.

在一AQB和△COD中，

0A=0C,

<ZAOB=NCOD,

OB=0D,

:._AOB^_COD

AB-CD.

【點睛】本小題考查等式的基本性質、全等三角形的判定與性質等基礎知識，考查幾何直觀、推理能力

等，掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵.

20.先化簡，再求值：上蟲］十馬二k其中x=0—l.

［XJX-X

1J2

【答案】—一—,士

x+12

【解析】

【分析】先根據(jù)分式的混合運算法則化簡，然后再將》=夜-1代入計算即可解答.

【詳解】解：(一上［+與二

(X)X-X

x+lAx2-x

二l丁K

x-(x+l)x(x—l)

--7+T

當尤=J5—i時，

V2

原式=—

V2-1+12

【點睛】本題主要考查了分式的基本性質及其運算、分母有理化，正確的化簡分式是解答本題的關鍵.

21.如圖，已知..ABC內(nèi)接于0,CO的延長線交AB于點。，交。于點￡,交:。的切線■于點

F，且AE〃5c.

（2）求證：AO平分NB4c.

【答案】（I）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】（1）由切線的性質可得ZOAF=90°,由圓周角定理可得ZCBE=90°,即ZOAF=ZCBE=90°,

再根據(jù)平行線的性質可得N84/=NABC，則根據(jù)角的和差可得NQ48=NABE,最后根據(jù)平行線的判

定定理即可解答；

（2）由圓周角定理可得NA5E=NAC￡,再由等腰三角形的性質可得NACE=NQ4C,進而得到

ZABE=ZOAC，再結合ZOAB=ZABE得到ZOAB=ZOAC即可證明結論.

【小問1詳解】

證明A尸是1。的切線，

AF1OA,即N（ME=90°.

CE是：。的直徑，

NCBE=90°.

：.NOAF=NCBE=90°.

AF〃BC,

:.ZBAF=ZABC,

Z.OAF-乙BAF=NCBE-ZABC,即ZOAB=ZABE,

:.AO//BE.

【小問2詳解】

解：NABE與NACE都是注E所對的圓周角，

：.ZABE^ZACE.

Q4=0C,

/.ZACE=AOAC,

二.ZABE=NOAC.

由（1）知NQ43=NA5石，

,.ZOAB=ZOAC,

.?.49平分/84。.

【點睛】本題主要考查角平分線、平行線的判定與性質、圓周角定理、切線的性質等知識點，靈活運用相

關性質定理是解答本題的關鍵.

22.為促進消費，助力經(jīng)濟發(fā)展，某商場決定“讓利酬賓”，于“五一”期間舉辦了抽獎促銷活動.活動

規(guī)定：凡在商場消費一定金額的顧客，均可獲得一次抽獎機會.抽獎方案如下：從裝有大小質地完全相同

的1個紅球及編號為①②③的3個黃球的袋中，隨機摸出1個球，若摸得紅球，則中獎，可獲得獎品：若

摸得黃球，則不中獎.同時:還允許未中獎的顧客將其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1個紅球或黃

球（它們的大小質地與袋中的4個球完全相同），然后從中隨機摸出1個球，記下顏色后不放回，再從中隨

機摸出1個球，若摸得的兩球的顏色相同，則該顧客可獲得精美禮品一份.現(xiàn)已知某顧客獲得抽獎機會.

(1)求該顧客首次摸球中獎的概率；

(2)假如該顧客首次摸球未中獎，為了有更大機會獲得精美禮品，他應往袋中加入哪種顏色的球？說明

你的理由

【答案】(1)-

4

(2)應往袋中加入黃球，見解析

【解析】

【分析】(1)直接由概率公式求解即可；

(2)根據(jù)列表法求分別求得加入黃球和紅球的概率即可求解.

【小問1詳解】

解：顧客首次摸球的所有可能結果為紅，黃①，黃②，黃③，共4種等可能的結果.

記“首次摸得紅球”為事件A,則事件A發(fā)生的結果只有1種，

所以「(A)=；,所以顧客首次摸球中獎的概率為:.

【小問2詳解】

他應往袋中加入黃球.

理由如下：

記往袋中加入的球為“新”，摸得的兩球所有可能的結果列表如下:

第X紅黃①黃②黃③新

紅紅，黃①紅，黃②紅，黃③紅，新

黃①黃①，紅黃①，黃②黃①，黃③黃①，新

黃②黃②，紅黃②，黃①黃②，黃③黃②，新

黃③黃③，紅黃③，黃①黃③，黃②黃③，新

新新，紅新，黃①新，黃②新，黃③

共有20種等可能結果.

(i)若往袋中加入的是紅球，兩球顏色相同的結果共有8種，此時該顧客獲得精美禮品的概率

(ii)若往袋中加入的是黃球，兩球顏色相同的結果共有12種，此時該顧客獲得精美禮品的概率

一二

2205

23

因為所以6<6,所作他應往袋中加入黃球.

【點睛】本小題考查簡單隨機事件的概率等基礎知識，考查抽象能力、運算能力、推理能力、應用意識、

創(chuàng)新意識等，考查統(tǒng)計與概率思想、模型觀念，熟練掌握概率公式是解題的關鍵.

23閱讀下列材料，回答問題

任務：測量一個扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度A8遠大于南北走向的最大寬

度，如圖1.

工具：一把皮尺(測量長度略小于和一臺測角儀，如圖2.皮尺的功能是直接測量任意可到達的

兩點間的距離(這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度)；

測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點。處，對其視線可及的尸，Q兩點，可測得NPOQ的大

小，如圖3.

圖1圖2圖3圖4

小明利用皮尺測量，求出了小水池的最大寬度AB,其測量及求解過程如下：測量過程：

(i)在小水池外選點C,如圖4,測得AC=am,BC=bm；

(ii)分別在AC,BC,上測得CN=-m；測得腸V=cm.求解過程:

33

ah

由測量知，AC=a,BC=h,CM=-,CN=-,

33

，/\CMN^/\CAB,----=

AB3

又MN=c,四二②_________(m).

故小水池的最大寬度為m.

(I)補全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容；

(2)小明求得用到的幾何知識是

（3）小明僅利用皮尺，通過5次測量，求得AB.請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾

何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度A8,寫出你的測量及求解過程.要求：測量得到

的長度用字母。，b,CL表示，角度用a,￡,/L表示；測量次數(shù)不超過4次（測量的幾何量能求

出AB，且測量的次數(shù)最少，才能得滿分）.

【答案】（1）①NC=NC；②3c

（2）相似三角形的判定與性質

（3）最大寬度為|acosa+------m,見解析

Itan/?）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質求解即可；

（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質進行回答即可；

（3）測量過程：在小水池外選點C,用測角儀在點8處測得NABC=a,在點A處測得N8AC=￡；

用皮尺測得BC=am；

求解過程：過點C作C0LA5,垂足為O,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義推得BO=acosa,

,八asina

CD=asina,AD=——,根據(jù)AB=AD+AD，即可求得.

tan.

【小問1詳解】

ah

VAC=a,BC=b,CM=-,CN=-,

33

.CMCN1

.>-----=------=-f

CACB3

又：zc=zc,

/\CMN^/\CAB,

.MN1

??----二一.

AB3

又?：MN=c,

A8=3c（m）.

故小水池的最大寬度為3cm.

【小問2詳解】

根據(jù)相似三角形的判定和性質求得AB=3MN=3c,

故答案為：相似三角形的判定與性質.

【小問3詳解】

測量過程:

(i)在小水池外選點C,如圖，用測角儀在點8處測得NA5C=a,在點A處測得=尸；

(ii)用皮尺測得BC-am.

求解過程:

由測量知，在中，ZABC=a,ZBAC=J3,BC=a.

過點C作CDLA3,垂足為。.

在RtZ\C8。中，cosZCBD=——,

BC

BD

即cosa=,所以8O=acosa.

a

同理，CD=asina?

在RtAACD中，tanZCAD=——,

AD

八asina,八八asina

即untan/?=-------,所以AQ=........-.

ADtan4

…八八A八asina/、

所以A8=BO+AZ)=acosa+-------(m).

tan夕

asina

故小水池的最大寬度為＜7cos?+———m.

ItanQJ

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，解直角三角形的實際應用，根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立

數(shù)學模型是解題的關鍵.

24.已知拋物線丁=以2+法+3交x軸于A(l,()),8(3,0)兩點，〃為拋物線的頂點，C,。為拋物線上不

與A,8重合的相異兩點，記A8中點為E,直線A2BC的交點為P.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)若C(4,3),O,",—1),且加＜2,求證：C2E三點共線；

(3)小明研究發(fā)現(xiàn)：無論在拋物線上如何運動，只要C,O,E三點共線，△AMPAMEP,AABP

中必存在面積為定值的三角形.請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由.

【答案】（1）j=？-4x+3

（2）見解析（3）.A8P的面積為定值，其面積為2

【解析】

【分析】⑴將A（1,O）,B（3,O）代入,=々？+加+3,即可解得；

（2）A（1,O）,B（3,O）,45中點為E,且C（4,3）,可求出過C,E兩點所在直線的一次函數(shù)表達式

3「33、3

y=3,O為拋物線上的一點，所以一jj,此點在y=]x—3,可證得C,O,E三點共線；

（3）設C,。'與。,C'分別關于直線對稱，則P,P關于直線￡2以對稱，且AMP與AMP的面積

不相等，所以，4WP的面積不為定值；如圖，當分別運動到點G，，的位置，且保持G，3，E三點

共線.此時與BC,的交點P｝到直線EM的距離小于P到直線EM的距離，所以△〃他的面積小于

△ME尸的面積，故/XMEP的面積不為定值；故A3P的面積為定值，由（2）求出「■，-2）,此時

的面積為2.

【小問1詳解】

解：因為拋物線>=依2+法+3經(jīng)過點A（l,0）,3（3,0）,

。+6+3=0,

所以I

[9。+3人+3=0.

a—1,

解得「,

b=-4.

所以拋物線的函數(shù)表達式為y=f—4%+3；

【小問2詳解】

解：

設直線CE對應的函數(shù)表達式為y=kx+n（k^Q）,

因為E為AB中點，所以￡（2,0）.

4%+〃=3

又因為。（4,3）,所以?c,Z解得2,

2%+〃=0

〃二一3

3

所以直線CE對應的函數(shù)表達式為丁=51-3.

因為點在拋物線上，所以加2-4加+3=—

35

解得，加=—或〃2=一.

22

3

又因為m<2,所以機=一.

2

3_3

所以。2，-4

3333_3

因為一x——3=--,即。，-滿足直線CE對應的函數(shù)表達式，所以點O在直線CE上，即

22424

C2E三點共線；

【小問3詳解】

解：ABP的面積為定值，其面積為2.

理由如下：（考生不必寫出下列理由）

如圖1,當C。分別運動到點的位置時，C,。'與。,C分別關于直線對稱，此時仍有

C',D',E三點共線.設AD與8C'的交點為P，則只P關于直線￡〃對稱，即「。〃工軸.此時,

尸尸'與AAT不平行，且朋/不平分線段PP，故P，P到直線A"的距離不相等，即在此情形下

AMP與4W〃的面積不相等，所以LAMP的面積不為定值.

如圖2,當C,。分別運動到點G，A的位置，且保持G，R,E三點共線.此時與8G的交點［到直

線RW的距離小于尸到直線的距離，所以的面積小于AWE尸的面積，故△ME尸的面積不

為定值.

又因為A4MP,△〃￡2,AA8P中存在面積為定值的三角形，故..A8P的面積為定值.

在（2）的條件下，直線8C對應的函數(shù)表達式為》=3%-9,直線A。對應的函數(shù)表達式為

y=--x+-