專題12 解題技巧專題：勾股定理與面積問(wèn)題、方程思想之七大類型（原卷版）

專題12解題技巧專題：勾股定理與面積問(wèn)題、方程思想之七大類型【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一三角形中，利用面積求邊上的高】 1【類型二結(jié)合乘法公式巧求面積或長(zhǎng)度】 6【類型三巧妙割補(bǔ)求面積】 9【類型四“勾股樹”及其拓展類型求面積】 13【類型五幾何圖形中的方程思想—折疊問(wèn)題（利用等邊建立方程）】 21【類型六幾何圖形中的方程思想—公邊問(wèn)題（利用公邊建立方程）】 28【類型七實(shí)際問(wèn)題中的方程思想】 31【典型例題】【類型一三角形中，利用面積求邊上的高】例題：（2023春·新疆阿克蘇·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是和，則斜邊上的高為多少（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·安徽亳州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，若是的高，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．2．（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得，則邊上的高長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．3．（2023春·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考期末）直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為6、8，則它的斜邊上的高是．4．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在Rt中，，，，于．求：（1）斜邊的長(zhǎng)；（2）高的長(zhǎng)．5．如圖，在中，，，在中，是邊上的高，，．(1)求的長(zhǎng)．(2)求斜邊邊上的高．6．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）在中，，，，是斜邊上高．(1)求的面積；(2)求斜邊；(3)求高．【類型二結(jié)合乘法公式巧求面積或長(zhǎng)度】例題：已知在中，所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．在中，AD是BC邊上的高，，則的面積為（

）A．18 B．24 C．18或24 D．18或303．直角三邊長(zhǎng)分別是x，和5，則的面積為__________．【類型三巧妙割補(bǔ)求面積】例題：（2023春·河南許昌·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，已知，，，，．

(1)求證：是直角三角形；(2)求四邊形的面積．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級(jí)校考期中）如圖所示，是一塊地的平面圖，其中米，米，米，米，，求這塊地的面積.

2．（2023春·安徽馬鞍山·八年級(jí)?？计谀┮阎?，，是的三邊，且，，．(1)試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求的面積．3．（2023春·山東菏澤·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）四邊形草地中，已知，，，，且為直角．

(1)求這個(gè)四邊形草地的面積；(2)如果清理草地雜草，每平方米需要人工費(fèi)20元，清理完這塊草地雜草需要多少錢？4．（2022春·重慶綦江·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．

(1)求線段與的長(zhǎng)；(2)求四邊形的面積；(3)求證：．【類型四“勾股樹”及其拓展類型求面積】例題：（2023春·江西南昌·八年級(jí)南昌市第三中學(xué)?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮氖畟€(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①如圖2，3，4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別為，，，利用勾股定理，判斷這3個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有________個(gè)．②如圖5，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三角形面積為，也滿足嗎？若滿足，請(qǐng)證明；若不滿足，請(qǐng)求出，，的數(shù)量關(guān)系．(2)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”．在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長(zhǎng)為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，則__________．【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣西柳州·校考一模）如圖，，正方形和正方形的面積分別是289和225，則以為直徑的半圓的面積是（）A． B． C． D．2．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)合肥市五十中學(xué)西校?？计谥校┤鐖D，中，，，，分別以三邊為直徑畫半圓，求兩個(gè)月牙形圖案的面積之和（陰影部分的面積）．3．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的邊長(zhǎng)為．(1)求A，B，C，D四個(gè)正方形的面積之和．(2)若其中每個(gè)直角三角形的最短邊與最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度之比都為3：5，求正方形A，B，C，D的面積．4．（2023春·吉林松原·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）問(wèn)題再現(xiàn)：數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀，從而可以幫助我們快速解題，初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過(guò)表示幾何圖形積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．如圖1，是一個(gè)重要公式的幾何解釋，請(qǐng)你寫出這個(gè)公式：如圖2，在中，，以的三邊長(zhǎng)向外作正方形的面積分別為，試猜想之間存在的等量關(guān)系，直接寫出結(jié)論．如圖3，如果以的三邊長(zhǎng)為直徑向外作半圓，那么第問(wèn)的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．如圖4，在中，，三邊分別為，分別以它的三邊為直徑向上作半圓，求圖4中陰影部分的面積．5．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖②，它可以看作是由邊長(zhǎng)為a、b、c的兩個(gè)直角三角形（如圖①C為斜邊）拼成的，其中A、C、D三點(diǎn)在同一條直線上，(1)請(qǐng)從面積出發(fā)寫出一個(gè)表示a、b、c的關(guān)系的等式；（要求寫出過(guò)程）(2)如圖③④⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有_______個(gè)．(3)如圖⑥，直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3，5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_______．【類型五幾何圖形中的方程思想—折疊問(wèn)題（利用等邊建立方程）】例題：（2023春·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6，8，現(xiàn)將按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則的長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北咸寧·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，有一塊直角三角形紙片，，將斜邊翻折，使點(diǎn)B落在直角邊的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．32．（2023春·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，將折疊，使點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，折痕交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為．

3．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿所在直線把翻折到的位置，交于點(diǎn)．若為直角三角形，則的長(zhǎng)為．

4．（2022秋·河北張家口·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，點(diǎn)分別在邊上（不與端點(diǎn)重合）．將沿折疊，點(diǎn)A落在的位置．

(1)如圖①，當(dāng)與點(diǎn)重合且．①直接寫出的長(zhǎng)；②求的面積．(2)當(dāng)．①與點(diǎn)在直線的異側(cè)時(shí)．如圖②，直接寫出的大小；②與點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，且的一邊與平行，直接寫出的度數(shù)．【類型六幾何圖形中的方程思想—公邊問(wèn)題（利用公邊建立方程）】例題：如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，則BC邊上的高為_______．【變式訓(xùn)練】1．已知：如圖，在中，是的角平分線，，則____．

2．如圖，在和中，，，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．

(1)求證：點(diǎn)A在的平分線上；(2)若，，，求的長(zhǎng)．【類型七實(shí)際問(wèn)題中的方程思想】例題：（2022·全國(guó)·八年級(jí)）明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地……”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千繩索OA懸掛于O點(diǎn)，靜止時(shí)豎直下垂，A點(diǎn)為踏板位置，踏板離地高度為一尺（AC＝1尺）．將它往前推進(jìn)兩步（EB⊥OC于點(diǎn)E，且EB＝10尺），踏板升高到點(diǎn)B位置，此時(shí)踏板離地五尺（BD＝CE＝5尺），則秋千繩索（OA或OB）長(zhǎng)______尺．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·山西晉城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）折竹抵地（源自《九章算術(shù)》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺、問(wèn)折者高幾何?大意是：在點(diǎn)C處生長(zhǎng)的一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子在點(diǎn)A處折斷，其竹梢點(diǎn)B恰好抵地，尺，求竹子折斷后，留在原處的竹子的長(zhǎng)為多少尺?（1丈尺）．

2．（2023春·廣東惠州·八年級(jí)校考期末）有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少尺？（丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈尺，）．

3．（2023春·山西朔州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)山西省教育廳“2023年度基礎(chǔ)教育領(lǐng)域重點(diǎn)工作推進(jìn)會(huì)”要求，扎實(shí)推進(jìn)建設(shè)100所公辦幼兒園任務(wù)落實(shí)，某地計(jì)劃要在如圖所示的直線上，新建一所幼兒園，該區(qū)域有兩個(gè)小區(qū)所在的位置在點(diǎn)和點(diǎn)處，于A，于B．已知，，求該幼兒園應(yīng)該建在距點(diǎn)A為多少處，可以使兩個(gè)小區(qū)到幼兒園的距離相等．

4．（2023春·安徽六安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在一條東西走向的公路的一側(cè)有一村莊A，和是連接村莊與公路的兩條小路，其中，為方便村民出行，新修了一條鄉(xiāng)村公路，經(jīng)實(shí)際測(cè)量千米，千米，千米．

(1)村莊A到公路的最近距離是多少？并說(shuō)明理由．(2)求小路長(zhǎng)為多少千米？5．（2023春·江西上饒·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，地面上放著一個(gè)小凳子（與地面平行），點(diǎn)A到墻面（墻面與地面垂直）的距離為．在圖①中，一木桿的一端與墻角O重合，另一端靠在點(diǎn)A處，．(1)求小凳子的高度；(2)在圖②中另一木桿的一端與點(diǎn)B重合，另一端靠在墻上的點(diǎn)C處．