閉環(huán)系統(tǒng)性能分析

17十二月20231通過頻率特性曲線獲得穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)頻率域性能指標(biāo)頻率域特性指標(biāo)與時域瞬態(tài)指標(biāo)的關(guān)系主要內(nèi)容17十二月20232一、穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)分析：

如果通過頻率特性曲線能確定系統(tǒng)的無差度階數(shù)（即積分環(huán)節(jié)的個數(shù)）和開環(huán)放大系數(shù)k的話，則可求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。（見第三章第六節(jié)穩(wěn)態(tài)誤差分析）由,可求得值；也可由 ，求。在波德圖上，低頻漸近線的斜率和的關(guān)系如下：17十二月20233②當(dāng)時，k也可由與橫軸的交點來求。當(dāng)時，，有：開環(huán)放大系數(shù)k的求法有兩種：①低頻漸近線為：當(dāng)時，有：，故： 低頻漸近線斜率=-20v17十二月20234二、時域性能指標(biāo)回顧

在時域分析中，瞬態(tài)性能指標(biāo)一般是最大超調(diào)量d%、調(diào)節(jié)時間ts、峰值時間tp等。⒈

對一階系統(tǒng)而言，性能指標(biāo)只有ts。⒉對二階系統(tǒng)而言，系統(tǒng)可根據(jù)阻尼系數(shù)z的不同分為：無阻尼系統(tǒng)欠阻尼系統(tǒng)臨界阻尼系統(tǒng)過阻尼系統(tǒng)17十二月20235典型欠阻尼二階系統(tǒng)：性能指標(biāo)與系統(tǒng)的特征參數(shù)有關(guān)。欠阻尼二階系統(tǒng)的特征參數(shù)是阻尼系數(shù)z和無阻尼震蕩頻率wn。對臨界阻尼二階系統(tǒng)：性能指標(biāo)只有ts

。17十二月20236⒊

對高階系統(tǒng)，如果有主導(dǎo)極點存在，也可利用上述公式進(jìn)行計算。過阻尼二階系統(tǒng)：性能指標(biāo)只有ts

。

當(dāng)阻尼系數(shù)z<1.25時，ts

的計算可查教材p70圖3-15。

當(dāng)阻尼系數(shù)z=1.25時，設(shè)T1>T2

當(dāng)阻尼系數(shù)z>1.25時，設(shè)T1>T217十二月20237三、頻域性能指標(biāo)（1）開環(huán)頻率特性性能指標(biāo)：

相角穩(wěn)定裕度g

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的幅值為1時，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的相角與180°之和定義為相角穩(wěn)定裕度，所對應(yīng)的頻率wc稱為系統(tǒng)截止頻率或幅值穿越頻率。即g=180°+j(wc)，wc滿足A(wc)=1

幅值穩(wěn)定裕度Kg(Lg)

系統(tǒng)開環(huán)相頻特性為－180°時，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性幅值的倒數(shù)定義為幅值穩(wěn)定裕度。所對應(yīng)的頻率wg稱為相角穿越頻率。即Kg=1/A(wg)，滿足j(wg)=－180°。實際中常用的對數(shù)幅值穩(wěn)定裕度Lg=-20lgA(wg)。17十二月20238（2）閉環(huán)頻率特性性能指標(biāo)

設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和開環(huán)頻率特性為閉環(huán)傳遞函數(shù)和頻率特性可表示為：17十二月20239

零頻值M(0)：閉環(huán)幅頻特性的零頻值

在單位階躍信號輸入時，根據(jù)終值定理，可得系統(tǒng)時域響應(yīng)的終值：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：當(dāng)n=0時，K越大穩(wěn)態(tài)誤差越小，M(0)越接近于1當(dāng)n>0時，

所以對單位反饋系統(tǒng)而言，可根據(jù)閉環(huán)頻率特性的零頻值M(0)來確定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差17十二月202310

諧振峰值Mp：系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性幅值的最大值。

系統(tǒng)帶寬和帶寬頻率：設(shè)為系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性，當(dāng)幅頻特性下降到時，對應(yīng)的頻率稱為帶寬頻率。頻率范圍稱為系統(tǒng)帶寬。

諧振頻率wp：系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性幅值出現(xiàn)最大值時的頻率。17十二月202311四、頻率特性的重要性質(zhì)（1）頻率尺度與時間尺度的反比關(guān)系若有兩個系統(tǒng)的頻率特性F1(jw)和F2(jw)有如下關(guān)系則兩個系統(tǒng)的階躍響應(yīng)有如下關(guān)系這個性質(zhì)說明頻率特性展寬多少倍，輸出響應(yīng)將加快多少倍。17十二月20231217十二月202313（2）頻率尺度與時間尺度的反比關(guān)系頻率響應(yīng)的低頻區(qū)(遠(yuǎn)低于幅值穿越頻率的區(qū)域)，表征了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性；頻率響應(yīng)的高頻區(qū)(遠(yuǎn)高于幅值穿越頻率的區(qū)域)，表征了閉環(huán)系統(tǒng)輸出響應(yīng)的起始部分；頻率響應(yīng)的中頻區(qū)(靠近幅值穿越頻率的區(qū)域)，表征了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和瞬態(tài)性能。閉環(huán)頻率特性的Mp、wp和wb開環(huán)頻率特性的wc、g、wg和Kg(Lg)都是中頻特性17十二月202314四、典型二階系統(tǒng)的頻域指標(biāo)與瞬態(tài)性能指標(biāo)的關(guān)系開環(huán)頻率特性為：典型二階系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)幅頻特性為：開環(huán)相頻特性為：令A(yù)(w)=1，可求得幅值穿越頻率代入j(w)，得系統(tǒng)的相角裕量17十二月202315幅頻特性為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)頻率特性為：令，可得當(dāng)時17十二月202316若將帶寬定義在波德圖上，則當(dāng)時，有：圖示如右：令時，可得帶寬頻率

在實際應(yīng)用中，一般用（或略大一些）來估計。顯然這種估計是偏于保守的。17十二月20231717十二月20231817十二月202319z00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0g012243545536165.2727578wc/wb0.6440.6420.6360.6290.6220.6180.6230.6440.6740.7140.75517十二月202320例：一系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為此時，wc=1，j(wc)<-180°，系統(tǒng)不穩(wěn)定改變K值，就可改變wc值，從而改變j(wc)及g值。一般而言，當(dāng)L(w)在wc處的斜率處于-20dB/dec時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)L(w)在wc處的斜率處于-40dB/dec時，系統(tǒng)可能穩(wěn)定也可能不穩(wěn)定，即使穩(wěn)定，g

也是較小的；當(dāng)L(w)在wc處的斜率處于-60dB/dec時，系統(tǒng)則肯定是不穩(wěn)定的。為使系統(tǒng)具有一定的相位裕量在系統(tǒng)設(shè)計時，應(yīng)使wc處于L(w)的斜率-20dB/dec的段內(nèi)。令K=1，畫Bode圖如下17十二月