中考河南·專題：二次函數(shù)壓軸題

專題二次函數(shù)壓軸題二次函數(shù)壓軸題主要有線段、面積類問(wèn)題，圖形判定問(wèn)題，三角形全等、相似類問(wèn)題等．主要涉及的知識(shí)點(diǎn)有：二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角形、四邊形的相關(guān)性質(zhì)與判定等．基本解題思路為：綜合分析題干信息建立函數(shù)模型，求出函數(shù)解析式，結(jié)合圖象中的相關(guān)信息求解對(duì)應(yīng)線段、面積等關(guān)系式，再結(jié)合圖形的性質(zhì)與判定解答符合題意要求的三角形與四邊形問(wèn)題．河南省中考對(duì)此問(wèn)題的考查：2013年、2014年、2015年、2016年、2017年中考試題第23題均以解答題的形式考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題．類型一線段、面積類問(wèn)題這類問(wèn)題通常是先給出二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)一些特殊點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式建立有關(guān)線段、面積的函數(shù)模型，然后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解．解決這類題目的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想，建立函數(shù)模型．例1(2015·河南)如圖，邊長(zhǎng)為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A，C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，點(diǎn)D，E的坐標(biāo)分別為(0，6)，(－4，0)，連接PD，PE，DE.(1)請(qǐng)直接寫出拋物線的解析式；(2)小明探究點(diǎn)P的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時(shí)，PD與PF的差為定值．進(jìn)而猜想：對(duì)于任意一點(diǎn)P，PD與PF的差為定值．請(qǐng)你判斷該猜想是否正確，并說(shuō)明理由；(3)小明進(jìn)一步探究得出結(jié)論：若將“使△PDE的面積為整數(shù)”的點(diǎn)P記作“好點(diǎn)”，則存在多個(gè)“好點(diǎn)”，且使△PDE的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)P也是一個(gè)“好點(diǎn)”．請(qǐng)直接寫出所有“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，并求出△PDE周長(zhǎng)最小時(shí)“好點(diǎn)”的坐標(biāo)．【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；(2)首先表示出P，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間距離公式得出PD，PF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出即可；(3)根據(jù)題意當(dāng)P，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，PE＋PF最小，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)以及利用△PDE的面積可以等于4到13之間的所有整數(shù)，在面積為12時(shí)，a的值有兩個(gè)，進(jìn)而得出答案．【自主解答】(1)拋物線的解析式為y＝－x2＋8.(2)猜想正確．理由：設(shè)P(x，－x2＋8)，則PF＝8－(－x2＋8)＝x2.如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，則(3)“好點(diǎn)”共有11個(gè)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，DE大小不變，∴PE與PD的和最小時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最?。逷D－PF＝2，∴PD＝PF＋2.∴PE＋PD＝PE＋PF＋2，當(dāng)P，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，PE＋PF最小．此時(shí)點(diǎn)P，E的橫坐標(biāo)都為－4.將x＝－4代入y＝－x2＋8，解得y＝6.∴P(－4，6)，此時(shí)△PDE的周長(zhǎng)最小，且△PDE的面積是12，點(diǎn)P恰為“好點(diǎn)”．∴△PDE的周長(zhǎng)最小時(shí)“好點(diǎn)”的坐標(biāo)是(－4，6)．提示：直線ED的解析式是y＝x＋6，如圖，設(shè)P(x，－x2＋8)，N(x，x＋6)，由－8≤x≤0，知4≤S≤13，∴S的整數(shù)值有10個(gè)．由圖象可知，當(dāng)S＝12時(shí)，對(duì)應(yīng)的“好點(diǎn)”有2個(gè)，∴“好點(diǎn)”共有11個(gè)．1．(2014·河南)如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A(－1，0)，B(5，0)兩點(diǎn)，直線y＝－x＋3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D.點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線CD于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.(1)求拋物線的解析式；(2)若PE＝5EF，求m的值；(3)若點(diǎn)E′是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)E′落在y軸上？若存在，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)∵拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A(－1，0)，B(5，0)兩點(diǎn)，∴拋物線的解析式為y＝－x2＋4x＋5.(2)∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P(m，－m2＋4m＋5)，E(m，－m＋3)，F(xiàn)(m，0)．∵點(diǎn)P在x軸上方，要使PE＝5EF，點(diǎn)P應(yīng)在y軸右側(cè)，∴0＜m＜5.PE＝－m2＋4m＋5－(－m＋3)＝－m2＋m＋2.分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F上方時(shí)，EF＝－m＋3.∵PE＝5EF，∴－m2＋m＋2＝5(－m＋3)，即2m2－17m＋26＝0，解得m1＝2，m2＝(舍去)．(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(－，)，P2(4，5)，P3(3－，2－3)．提示：∵點(diǎn)E和E′關(guān)于直線PC對(duì)稱，∴∠E′CP＝∠ECP.又∵PE∥y軸，∴∠EPC＝∠E′CP＝∠PCE，∴PE＝EC.又∵CE＝CE′，∴四邊形PECE′為菱形．如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥y軸于點(diǎn)M，∴△CME∽△COD，∴CE＝|m|.∵PE＝CE，類型二圖形判定問(wèn)題這類問(wèn)題通常是先求出二次函數(shù)解析式，結(jié)合特殊三角形、四邊形的性質(zhì)與判定，利用數(shù)形結(jié)合思想，分類討論解決圖形判定問(wèn)題．解決這類題目的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想，注意分類討論涉及多種情況．例2(2013·河南)如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與直線y＝x＋2交于C，D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，)，點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F.(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若存在點(diǎn)P，使∠PCF＝45°，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】(1)首先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出解析式；(2)采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想求解，聯(lián)立解析式解方程組，即可求出m的值；(3)充分挖掘已知條件，構(gòu)造直角三角形或相似三角形，解方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【自主解答】(1)∵直線y＝x＋2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，∴C(0，2)．∵拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0，2)和D(3，)，00002．(2017·信陽(yáng)二模)如圖，拋物線y＝ax2＋bx－4與x軸交于A(－2，0)，B(8，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，以BC為一邊，點(diǎn)O為對(duì)稱中心作菱形BDEC.點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，0)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q.(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l分別交BD，BC于點(diǎn)M，N，試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，此時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形CQBM的形狀，并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx－4過(guò)點(diǎn)A(－2，0)，B(8，0)，∴m1＝0(舍去)，m2＝4，此時(shí)M(4，2)，∴M是BD的中點(diǎn)．∵CQ＝DM，CQ∥DM，∴CQ＝BM且CQ∥BM，∴四邊形CQBM是平行四邊形．(3)存在Q(6，－4)或(－2，0)類型三三角形全等、相似類問(wèn)題這類問(wèn)題通常是先求出二次函數(shù)解析式，結(jié)合三角形全等或相似相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想，分類討論解決三角形全等或相似等問(wèn)題．解決這類題目的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想，注意分類討論多種情況．例3(2017·信陽(yáng)一模)如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，－3)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P在拋物線位于第四象限的部分上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積；(3)直線l經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線位于y軸左側(cè)的部分上運(yùn)動(dòng)，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)Q，是否存在直線m，使得直線l，m與x軸圍成的三角形和直線l，m與y軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線m的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】(1)利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；(2)先確定使四邊形ABPC的面積最大的點(diǎn)P的位置，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形ABPC的最大面積；(3)根據(jù)已知條件證得△AOC≌△NOB，從而求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，利用B，N兩點(diǎn)坐標(biāo)可求得直線m的解析式．【自主解答】

(1)把B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得∴拋物線解析式為y＝x2－2x－3.(2)如圖，連接BC，過(guò)P作y軸的平行線，交BC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)H.在y＝x2－2x－3中，令y＝0可得0＝x2－2x－3，解得x＝－1或x＝3.∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，0)，∴AB＝3－(－1)＝4，且OC＝3，∴S△ABC＝AB·OC＝×4×3＝6.∵B(3，0)，C(0，－3)，∴直線BC的解析式為y＝x－3.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，x2－2x－3)，則M點(diǎn)坐標(biāo)為(x，x－3)．∵P點(diǎn)在第四象限，∴PM＝x－3－(x2－2x－3)＝－x2＋3x，(3)如圖，設(shè)直線m交y軸于點(diǎn)N，交直線l于點(diǎn)G，則∠AGB＝∠GNC＋∠GCN.當(dāng)△AGB和△NGC相似時(shí)，必有∠AGB＝∠CGB，又∠AGB＋∠CGB＝180°，∴∠AGB＝∠CGB＝90°，∴∠ACO＝∠OBN.在△AOC和△NOB中，∴△AOC≌△NOB，∴ON＝OA＝1，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－1)．3．(2016·濰坊)如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A(0，1)，點(diǎn)B(－9，10)，AC∥x軸，點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐