專題16 難點(diǎn)探究專題：平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律探究問題壓軸題四種模型全攻略（原卷版）

專題16難點(diǎn)探究專題：平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律探究問題壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一平面直角坐標(biāo)系中動點(diǎn)移動問題】 1【類型二平面直角坐標(biāo)系中圖形翻轉(zhuǎn)問題】 5【類型三平面直角坐標(biāo)系中圖形變換問題】 8【類型四平面直角坐標(biāo)系中新定義型問題】 10【過關(guān)檢測】 17【典型例題】【類型一平面直角坐標(biāo)系中動點(diǎn)移動問題】例題：（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，水平向左平移1個(gè)單位長度，再豎直向下平移1個(gè)單位長度得點(diǎn)；接著水平向右平移2個(gè)單位長度，再豎直向上平移2個(gè)單位長度得到點(diǎn)；接著水平向左平移3個(gè)單位長度，再豎直向下平移3個(gè)單位長度得到點(diǎn)；接著水平向右平移4個(gè)單位長度，再豎直向上平移4個(gè)單位長度得到點(diǎn)，…，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·安徽阜陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，一只小螞蟻在平面直角坐標(biāo)系中按圖中路線進(jìn)行“爬樓梯”運(yùn)動，第1次它從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)，第2次運(yùn)動到點(diǎn)，第3次運(yùn)動到點(diǎn)……按這樣的運(yùn)動規(guī)律，經(jīng)過第2023次運(yùn)動后，小螞蟻的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·黑龍江佳木斯·八年級佳木斯市第五中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，動點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動，第次從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)，第次接著運(yùn)動到點(diǎn)，第次接著運(yùn)動到點(diǎn)，……，按這樣的運(yùn)動規(guī)律，經(jīng)過第次運(yùn)動后，動點(diǎn)的坐標(biāo)是．

3．（2023春·四川內(nèi)江·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，把一條長為a個(gè)單位長度且沒有彈性的細(xì)線（線的粗細(xì)忽略不計(jì)）的一端固定在點(diǎn)A處，并按的規(guī)律緊繞在四邊形的邊上．（1）當(dāng)時(shí)，細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）當(dāng)時(shí)，細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)是．

【類型二平面直角坐標(biāo)系中圖形翻轉(zhuǎn)問題】例題：（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖所示，長方形的兩邊分別在x軸、y軸上，點(diǎn)C與原點(diǎn)重合，點(diǎn)，將長方形沿x軸無滑動向右翻滾，經(jīng)過一次翻滾，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)記為，經(jīng)過第二次翻滾，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)記為；……，依次類推，經(jīng)過第2023次翻滾，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·重慶九龍坡·七年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是直角三角形，點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，已知點(diǎn)，，，將按如圖方式在x軸負(fù)半軸上向左連續(xù)翻滾，依次得到、、、…，則的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．2．（2022·黑龍江大慶·大慶外國語學(xué)校校考模擬預(yù)測）如圖，將邊長為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2019次，點(diǎn)P依次落在點(diǎn)的位置，則的橫坐標(biāo)為（

）

A．2019 B．2018 C．2017 D．20163．（2023春·安徽蕪湖·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將沿軸向右滾動到的位置，再到的位置……依次進(jìn)行下去，若已知點(diǎn)，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．【類型三平面直角坐標(biāo)系中圖形變換問題】例題：（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對稱變換，若點(diǎn)坐標(biāo)是，則經(jīng)過第2022次變換后，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)點(diǎn)作“0”變換表示將它向右平移一個(gè)單位，一個(gè)點(diǎn)作“1”變換表示將它關(guān)于x軸作對稱點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)作“2”變換表示將它關(guān)于y軸作對稱點(diǎn)．由數(shù)字0，1，2組成的序列表示一個(gè)點(diǎn)按照上面描述依次連續(xù)變換．例如：如圖，點(diǎn)按序列“012”作變換，表示點(diǎn)A先向右平移一個(gè)單位得到，再將關(guān)于x軸對稱得到，再將關(guān)于y軸對稱得到．．．．．．依次類推．點(diǎn)經(jīng)過“012012012．．．．．．．”100次變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）．(注：“012”算3次變換)A． B． C． D．【類型四平面直角坐標(biāo)系中新定義型問題】例題：（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級?？计谥校┬露x：在平面直角坐標(biāo)系中中的點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（其中k為常數(shù)，），則稱點(diǎn)為點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”．例如：點(diǎn)的“3屬派生點(diǎn)”為，即．(1)點(diǎn)的“2屬派生點(diǎn)”的坐標(biāo)為________；(2)若點(diǎn)P在y軸的正半軸上，點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”為點(diǎn)，且線段的長為線段長的3倍，求k的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南漯河·七年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，我們把點(diǎn)叫做點(diǎn)P的友好點(diǎn)，已知點(diǎn)的友好點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的友好點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的友好點(diǎn)為點(diǎn)．……以此類推，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（2023春·吉林松原·七年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的“a級關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．(1)已知點(diǎn)的“級關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是點(diǎn)；(2)已知點(diǎn)的“級關(guān)聯(lián)點(diǎn)”N位于x軸上，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，若存在點(diǎn)H，且，直接寫出H點(diǎn)坐標(biāo)．3．（2023秋·安徽合肥·八年級?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P的“a階派生點(diǎn)”（其中a為常數(shù)，且）．例如：點(diǎn)的“2階派生點(diǎn)”為點(diǎn)，即點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則它的“3階派生點(diǎn)”的坐標(biāo)為________；(2)若點(diǎn)P的“5階派生點(diǎn)”的坐標(biāo)為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P先向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度后得到了點(diǎn)，點(diǎn)的“階派生點(diǎn)”位于坐標(biāo)軸上，求點(diǎn)P2的坐標(biāo)．4．（2023春·北京房山·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中,不同的兩點(diǎn)，,給出如下定義：若,則稱點(diǎn)，互為“等距點(diǎn)”．例如，點(diǎn),互為“等距點(diǎn)”．(1),，,四個(gè)點(diǎn)中，能與坐標(biāo)原點(diǎn)互為“等距點(diǎn)”的是________．(2)已知，①若點(diǎn)是點(diǎn)的等距點(diǎn)，且滿足的面積為,求點(diǎn)的坐標(biāo)；②若以點(diǎn)為中心，邊長為正方形上存在一點(diǎn)與點(diǎn)互為等距點(diǎn)，請直接寫出t的取值范圍．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·河南開封·七年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，我們把點(diǎn)叫做點(diǎn)P的友誼點(diǎn)．已知點(diǎn)的友誼點(diǎn)為，點(diǎn)的友誼點(diǎn)為，點(diǎn)的友誼點(diǎn)為…，這樣依次得到點(diǎn)，，，…，，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（2023春·廣西南寧·七年級統(tǒng)考期末）王老師要求同學(xué)們觀察生活中的現(xiàn)象編寫一個(gè)數(shù)學(xué)問題，小穎同學(xué)觀察臺球比賽臺球撞擊臺桌時(shí)受到啟發(fā)，把它抽象成數(shù)學(xué)問題：如圖，已知長方形，小球P從出發(fā)，沿所示的方向運(yùn)動，每當(dāng)碰到長方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，第一次碰到長方形的邊時(shí)的位置為，當(dāng)小球P第2023次碰到長方形的邊時(shí)，若不考慮阻力，點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．3．（2023春·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，動點(diǎn)M按圖中箭頭所示方向運(yùn)動，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)，第2次運(yùn)動到點(diǎn)，第3次運(yùn)動到點(diǎn)，…，按這樣的規(guī)律運(yùn)動，則第2023次運(yùn)動到點(diǎn)（

）

A． B． C． D．4．（2023春·湖北武漢·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，小明同學(xué)做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)：他將小長方形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使得小長方形一個(gè)頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，一邊與軸重合．接下來，小明每次將小長方形向右順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得小長方形一邊與軸重合．經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)，小明總結(jié)出：當(dāng)旋轉(zhuǎn)2023次時(shí)，小長方形最右側(cè)與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2530．則圖中點(diǎn)A的坐標(biāo)可能為（

）

A． B． C． D．5．（2023春·山東濟(jì)寧·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，軸，軸，點(diǎn)D、C、P、H在x軸上，，，，，，把一條長為2023個(gè)單位長度且沒有彈性的細(xì)線（線的粗細(xì)忽略不計(jì)）的一端固定在點(diǎn)A處，并按…的規(guī)律緊繞在圖形“凸”的邊上，則細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．二、填空題6．（2023春·湖北荊州·七年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，我們把叫做點(diǎn)P的友好點(diǎn)．已知點(diǎn)的友好點(diǎn)為，點(diǎn)的友好點(diǎn)為，點(diǎn)的友好點(diǎn)為，這樣依次得到各點(diǎn)．若的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．7．（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，軸上有一點(diǎn)，點(diǎn)第1次向上平移2個(gè)單位至點(diǎn)，接著又向左平移2個(gè)單位至點(diǎn)，然后再向上平移2個(gè)單位至點(diǎn)，向左平移2個(gè)單位至點(diǎn)，照此規(guī)律平移下去，點(diǎn)平移至點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．

8．（2023秋·四川達(dá)州·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對稱變換，若原來點(diǎn)的坐標(biāo)是則經(jīng)過第2022次變換后所得的點(diǎn)的坐標(biāo)是．

9．（2023春·內(nèi)蒙古興安盟·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，將順著軸無滑動的滾動．第一次滾動到①的位置，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)記作點(diǎn)；第二次滾動到②的位置，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)記作點(diǎn)；第三次滾動到③的位置，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)記作點(diǎn)；；依次進(jìn)行下去，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)，，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

10．（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，以為直角邊構(gòu)造等腰直角三角形，再以為直角邊構(gòu)造等腰直角三角形，再以為直角邊構(gòu)造等腰直角三角形，…按此規(guī)律進(jìn)行下去．

（1）的長度為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）若的面積為16，則n的值為．三、解答題11．（2023春·河南周口·七年級統(tǒng)考期中）如圖，長方形中，O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為，C點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿著O→A→B→C→O的路線移動（即沿著長方形移動一周）．

(1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P移動了3秒時(shí)，在圖中描出此時(shí)P點(diǎn)的位置，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在移動過程中，當(dāng)點(diǎn)P到x軸距離為4個(gè)單位長度時(shí)，并求點(diǎn)P移動的時(shí)間．12．（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，一只螞蟻從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上、向左、向下、向下、向左、向上的方向依次不斷移動得，，，，，，…，每次移動的距離分別為1，1，1，2，2，2，3，3，3，…，其行走路線如圖所示．

(1)寫出下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：，，，；(2)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)（n為正整數(shù)）；(3)求螞蟻從原點(diǎn)O移動到點(diǎn)的路程．13．（2023秋·八年級單元測試）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，若點(diǎn)Q的坐標(biāo)，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P的“a級關(guān)聯(lián)點(diǎn)”（其中a為常數(shù)，且），例如，點(diǎn)的“2級關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為，即．(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則它的“1級關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo)為______；(2)若點(diǎn)的“3級關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo)為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是點(diǎn)的“級關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，且點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上，求m的值．14．（2