2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題21 與圓有關(guān)的概念及性質(zhì)（10個高頻考點）（舉一反三）（全國通用）（學(xué)生版）

專題21與圓有關(guān)的概念及性質(zhì)（10個高頻考點）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點1圓的基本概念】 1【考點2垂徑定理及其推論】 3【考點3弧、弦、圓心角的關(guān)系】 5【考點4圓周角】 7【考點5三角形的外接圓】 9【考點6圓內(nèi)接四邊形】 10【考點7相交弦】 12【考點8四點共圓】 12【考點9圓中的定值問題】 14【考點10圓中的最值問題】 16【要點1圓的概念】1.定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．2.連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。疽c2確定圓的條件】不在同一直線上的三點確定一個圓．

注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不能畫一個圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數(shù)個圓，過兩點也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．【考點1圓的基本概念】【例1】（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，弦AC∥半徑OB,∠BOC=40°，則∠AOC的度數(shù)為____________．【答案】100°##100度【變式1-1】（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點，點E是正方形內(nèi)一個動點，且EG＝2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長的最小值為_____．【變式1-2】（2022·山東濰坊·中考真題）《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形ABCD的面積為4，以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形A′B′C′【變式1-3】（2022·河北滄州·統(tǒng)考二模）石家莊市水上公園南側(cè)新建的摩天輪吸引了附近市民的目光．據(jù)工作人員介紹，新建摩天輪直徑為100m，最低點距離地面1m，摩天輪的圓周上均勻地安裝了24個座艙（本題中將座艙視為圓周上的點），游客在距離地面最近的位置進(jìn)艙，運行一圈時間恰好是13分14秒，寓意“一生一世”．小明從摩天輪的底部出發(fā)開始觀光，摩天輪轉(zhuǎn)動1周．(1)小明所在座艙到達(dá)最高點時距離地面的高度為

m；(2)在小明進(jìn)座艙后間隔3個座艙小亮進(jìn)入座艙（如圖，此時小明和小亮分別位于P、Q兩點），①求兩人所在座艙在摩天輪上的距離（弧PQ的長）；②求此時兩人所在座艙距離地面的高度差；(3)受周圍建筑物的影響，當(dāng)乘客與地面的距離不低于76m【要點3垂徑定理及其推論】（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。究键c2垂徑定理及其推論】【例2】（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，A、B、C是⊙O上的點，OC⊥AB，垂足為點D，且D為OC的中點，若OA=7，則BC的長為___________．【變式2-1】（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦AB長20厘米，弓形高CD為2厘米，則鏡面半徑為____________厘米．【變式2-2】（2022·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，⊙O是△ABC的外接圓，點A，B，O在格點上，則cos∠ACB的值是________．【變式2-3】（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐問題情境：我國東周到漢代一些出土實物上反映出一些幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址出土車軎范、芯組成的（如圖1），它的端面是圓形，如圖2是用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法：將“矩”的直角尖端A沿圓周移動，直到AB=AC，在圓上標(biāo)記A，B，C三點；將“矩”向右旋轉(zhuǎn)，使它左側(cè)邊落在A，B點上，“矩”的另一條邊與圓的交點標(biāo)記為D點，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點，連接AD，BC相交于點，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點，鏈接AD，BC相較于點O，即O為圓心．(1)問題解決：請你根據(jù)“問題情境”中提供的方法，用三角板還原我國古代幾何作圖確定圓心O．如圖3，點A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB=AC，請作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)類比遷移：小梅受此問題的啟發(fā)，在研究了用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法后發(fā)現(xiàn)，如果AB和AC不相等，用三角板也可以確定圓心O．如圖4，點A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，請作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）(3)拓展探究：小梅進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)古代由“矩”度量確定圓上等距離點時存在誤差，用平時學(xué)的尺規(guī)作圖的方法確定圓心可以減少誤差．如圖5，點A，B，C是⊙O上任意三點，請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）請寫出你確定圓心的理由：______________________________．【要點4弧、弦、角、距的概念】（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．

說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧．

（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．【考點3弧、弦、圓心角的關(guān)系】【例3】（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，AB,CD是⊙O的兩條直徑，E是劣弧BC的中點，連接BC，DE．若∠ABC=22°，則∠CDE的度數(shù)為（

）A．22° B．32° C．34° D．44°【變式3-1】（2022·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點，BM＝4，BN＝2．若點P是這個網(wǎng)格圖形中的格點，連接PM，PN，則所有滿足∠MPN＝45°的△PMN中，邊PM的長的最大值是（

）A．42 B．6 C．210 【變式3-2】（2022·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD．求證：(1)AC＝BD；(2)△ABE∽△DCE．【變式3-3】（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）已知：⊙O兩條弦AC與BD相交于點E，AC=BD．(1)如圖1，求證：CE=BE；(2)如圖2，直徑BF⊥AC于點N，連接DF，求證：DF=2ON；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接AD交BF于點G，若AD=11，BN=5，求ON【要點5圓周角定理及其推論】圓周角定理定理：圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的圓心角度數(shù)的一半是所對的圓心角，是所對的圓周角，推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等和都是所對的圓周角推論2：直徑所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑是的直徑是所對的圓周角是所對的圓周角是的直徑【考點4圓周角】【例4】（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝13，則AD【變式4-1】（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，P為⊙O外一點，PA、PB為⊙O的切線，切點分別為A、B，直線PO交⊙O于點D、E，交AB于點C．(1)求證：∠ADE=∠PAE．(2)若∠ADE=30°，求證：AE=PE．(3)若PE=4，CD=6，求CE的長．【變式4-2】（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知CH是⊙O的直徑，點A，點B是⊙O上的兩個點，連接OA,OB，點D，點E分別是半徑OA,OB的中點，連接CD,CE,BH，且∠AOC=2∠CHB．(1)如圖1，求證：∠ODC=∠OEC；(2)如圖2，延長CE交BH于點F，若CD⊥OA，求證：FC=FH；(3)如圖3，在（2）的條件下，點G是BH上一點，連接AG,BG,HG,OF，若AG:BG=5:3，HG=2，求OF的長．【變式4-3】（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在⊙O的內(nèi)接△AMN中，∠MAN=90°，AM=2AN，作AB⊥MN于點P，交⊙O于另一點B，C是AM上的一個動點（不與A，M重合），射線MC交線段BA的延長線于點D，分別連接AC和BC，BC交MN于點E．(1)求證：△CMA∽△CBD．(2)若MN=10，MC=NC，求(3)在點C運動過程中，當(dāng)tan∠MDB=34【考點5三角形的外接圓】【例5】（2022·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB=3，則⊙O的半徑是（

）A．32 B．32 C．3 【變式5-1】（2022·浙江寧波·?？寄M預(yù)測）如圖，已知點A4，0,B0，3，直線l經(jīng)過A、B兩點，點Cx,y為直線l在第一象限的動點，作△AOC的外接圓⊙MA．4 B．4.5 C．245 D．【變式5-2】（2022·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在5×7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1，點O，A，B，C，D，E均在格點上，點O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△ABC外把你認(rèn)為外心也是O的三角形都寫出來__________________________．【變式5-3】（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，已知△ABC外接圓的圓心O在高AD上，點E在BC延長線上，EC=AB．(1)求證：∠B=2∠AEC；(2)當(dāng)OA=2，cos∠BAO=32【要點6圓內(nèi)接四邊形】圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)四邊形是的內(nèi)接四邊形【考點6圓內(nèi)接四邊形】【例6】（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠AOC=160°，則∠ABC的度數(shù)是（

）A．80° B．100° C．140° D．160°【變式6-1】（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形．若∠BCD=121°，則∠BOD的度數(shù)為（

）A．138° B．121° C．118° D．112°【變式6-2】（2022·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，AC=CD，連接AD，延長DB交過點C的切線于點E．(1)求證：∠ABC=∠CAD；(2)求證：BE⊥CE；(3)若AC=4，BC=3，求【變式6-3】（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC為直徑作⊙O，交AB邊于點D，在CD上取一點E，使BE=CD，連接DE，作射線CE交AB(1)求證：∠A=∠ACF；(2)若AC=8，cos∠ACF=45，求BF【考點7相交弦】【例7】（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，中，弦，相交于點，，，則的大小是()A． B． C． D．【變式7-1】（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，圓內(nèi)一條弦CD與直徑AB相交成30°角，且分直徑成1cm和5cm兩部分，則這條弦的弦心距是_____．【變式7-2】（2022·四川巴中·?？家荒＃﹫A內(nèi)一條弦與直徑相交成30°的角，且分直徑1cm和5cm兩段，則這條弦的長為_____．【變式7-3】（2022秋·浙江杭州·九年級校聯(lián)考期中）一條弦AB把圓的直徑分成3和11兩部分，弦和直徑相交成300角，則AB的長為_____________．【考點8四點共圓】【例8】（2022秋·湖南長沙·九年級長沙縣湘郡未來實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∠CPB=∠A，過點C作CP的垂線，與BP的延長線交于點Q，則CQ的最大值為（

）A．4 B．5 C．154 D．【變式8-1】（2023秋·浙江溫州·九年級期末）如圖，Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，O為AC的中點，K為BC上一點，NC⊥BC，且NC＝BK，AK分別交BN、OB于M、F，AC交BN于E，連接OM，下列結(jié)論：①AK⊥BN；②OE＝OF；③∠OMN＝45°；④若∠OAF＝∠BAF，則OMAF=1A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式8-2】（2023春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點D為BC上一點，∠ADC=60°，點E在線段AD上，∠BEC=120°，若BC=33，AE=23，則【變式8-3】（2023春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）問題提出

如圖1，點E為等腰△ABC內(nèi)一點，AB=AC，∠BAC=α，將AE繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)α得到AD，求證：△ABE≌△ACD．嘗試應(yīng)用

如圖2，點D為等腰Rt△ABC外一點，AB=AC，BD⊥CD，過點A的直線分別交DB的延長線和CD的延長線于點N，M，求證：S問題拓展

如圖3，△ABC中，AB=AC，點D，E分別在邊AC，BC上，∠BDA=∠BEA=60°，AE，BD交于點H．若CE=a，AH=b，直接寫出BE的長度（用含a，b的式子）．【考點9圓中的定值問題】【例9】（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）ΔABC內(nèi)接于⊙O，過點O作OH⊥BC于點H，延長OH交⊙O于點D連接AD(1)如圖1，求證：∠BAD=∠CAD；(2)如圖2，若OH=DH，求∠BAC的度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，過點B作BK⊥AD于點K，連接HK，若HK=32，試說明線段AB與【變式9-1】（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）已知，如圖：正方形ABCD，AB=4，動點E以2個單位每秒的速度從點A出發(fā)向終點C運動，同時動點F以2個單位每秒的速度從點B出發(fā)，沿射線BC向右運動．當(dāng)點E到達(dá)點C時，點E、點F同時停止運動．連接EF，以EF為直徑作⊙O，該圓與直線AC的另一個交點為點G．設(shè)運動時間為t(1)當(dāng)點F在BC邊上運動時，如圖①，①填空：FC=_____，AE=_____（用含有②連接DE，DF，求證：△DEF是等腰直角三角形．(2)在運動的過程中，線段EG的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出這個定值．(3)在運動的過程中，要使得圓心O始終在正方形ABCD的內(nèi)部（不含邊界），請直接寫出點t的取值范圍．【變式9-2】（2022·福建·九年級專題練習(xí)）已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC⊥BD，垂足為E，CF⊥AB，垂足為F，交BD于點G，連接AG．(1)求證：CG=CD；(2)如圖1，若AG=4，BC=10，求⊙O的半徑；(3)如圖2，連接DF，交AC于點