基于規(guī)范形理論的強非線性振動系統(tǒng)同宿分岔解析判據(jù)

基于規(guī)范形理論的強非線性振動系統(tǒng)同宿分岔解析判據(jù)

1.強非線性振動系統(tǒng)同宿分岔解析方法非線性振動系統(tǒng)的同宿分段對分析系統(tǒng)的整體行為具有重要的理論價值。在現(xiàn)有的分析同宿分段的方法中，最常用的是melnikv方法，通過測量鞍點的穩(wěn)定流和不穩(wěn)定流之間的距離來計算距離函數(shù)的零點，并確定彼此的相鄰分工的邊界值。belhaq和fasi提出，基于系統(tǒng)的振動周期朝外的無窮大和周期方向近似鞍點的確定作為具有相同穿過同宿分段的新決策依據(jù)。由于melnikv函數(shù)的范圍非常小，因此在推深分析過程中采用了傳統(tǒng)的多尺度法。在理論上，它只能用于研究弱非線性振動系統(tǒng)的同宿分段問題?？紤]到強非線性振動問題的重要性和特殊性，為了進一步擴大分析方法的研究范圍，ge和ku通過引入轉(zhuǎn)換參數(shù)來削弱現(xiàn)有系統(tǒng)，并提出了一種分析強非線性振動系統(tǒng)的方法。在之前的研究工作中，采用l-p方法和jacoban橢圓函數(shù)法獲得了該系統(tǒng)的周期解，然后根據(jù)循環(huán)軌跡的距離計算同宿分散值。使用相同想法的方法，使用xu和zang，并使用頻率矩陣法獲得系統(tǒng)的周期解。在本文中，我們使用固定頻率法獲得了強非線性振動系統(tǒng)的平均方程。在文獻中，基于相同的運動偏差法和頻率矩陣法獲得了該系統(tǒng)的周期分布局值的算法。在對同一現(xiàn)象下的研究中，通過對同意器流域下的近似值進行分析，獲得了該系統(tǒng)的動態(tài)差分模型。最后，本文根據(jù)固定頻率回歸理論獲得的分析方法，不僅可以分析強非線性振動系統(tǒng)的同宿分布問題，而且可以有效研究弱非線性振動系統(tǒng)的同宿分布問題，從而顯著提高了計算的質(zhì)量，為深入研究系統(tǒng)的整體分布行動提供了舒適的機會。2.帶能量的同宿軌道考察如下非線性振動系統(tǒng)的同宿分岔臨界值問題:¨u+ω20u=f(μ,u,˙u),(1)u¨+ω20u=f(μ,u,u˙),(1)這里的f含有由u,˙uu,u˙所組成的非線性項.若其中的非線性項系數(shù)為小量,則可以直接應(yīng)用Melnikov方法和Belhaq等人提出的理論進行研究;若不為小量,則需要采用相應(yīng)的強非線性分析方法對原有理論進行改進以拓展其適用范圍.為便于分析,討論如下含有3階和5階強非線性項的Φ6-VanderPol振動系統(tǒng):¨u-ω20u=-αu5+(μ-βu2-γu4)˙u,(2)u¨?ω20u=?αu5+(μ?βu2?γu4)u˙,(2)其中ω0為系統(tǒng)的固有頻率,α,β,γ,μ均大于零,系統(tǒng)的非線性彈性力和阻尼力并非小量.(2)式可表示為如下的一階微分方程組:˙x=y,˙y=ω20x-αx5+(μ-βx2-γx4)y.(3)x˙=y,y˙=ω20x?αx5+(μ?βx2?γx4)y.(3)該系統(tǒng)的平衡點為(x*,y*)=(0,0),(±√ω0α1/4,0).(4)(x?,y?)=(0,0),(±ω0√α1/4,0).(4)系統(tǒng)(3)的保守系統(tǒng)勢能具有Φ6特征V(x)=∫x0-(ω20s-αs5)ds=-12ω20x2+16αx6.(5)V(x)=∫x0?(ω20s?αs5)ds=?12ω20x2+16αx6.(5)由圖1中的勢能曲線可見,在x=0處V(x)具有極大值,在x=±√ω0α1/4x=±ω0√α1/4處V(x)具有極小值,因而平衡點(0,0)是一個鞍點、(±ω0α1/4,0)是兩個中心.因此保守系統(tǒng)的總能量為Η(x,y)=12y2-12ω20x2+16αx6=c.(6)對于過鞍點(0,0)的解,由(6)式可知c=0,從而保守系統(tǒng)的同宿軌道示意圖如圖2所示(其中參數(shù)取值為ω0=1,α=8).由于(2)式的中心不在坐標原點,所以引入如下的坐標變換:U=u-√ω0α1/4.(7)將(7)式代入(2)式,得到中心位于坐標原點的系統(tǒng)振動方程¨U=-α(U+√ω0α1/4)5+(U+√ω0α1/4)ω20+[μ-β(U+√ω0α1/4)2-γ(U+√ω0α1/4)4]˙U.(8)采用改進的復(fù)規(guī)范形方法計算(8)式的周期解.首先引入復(fù)變量ξ,U=ξ+ˉξ,˙U=iω10(ξ-ˉξ),(9)其中ˉξ表示ξ的共軛;ω10為未知的固有頻率,用其取代傳統(tǒng)算法中的固有頻率,可以在得到的漸近解中更有效地體現(xiàn)強非線性項參數(shù)對于系統(tǒng)頻率的影響,從而將過去只能研究弱非線性振動問題的傳統(tǒng)規(guī)范形理論,拓展到了強非線性振動領(lǐng)域.求解方程(9),得ξ=12(U-iω10˙U),ˉξ=12(U+iω10˙U).(10)將(10)式中的第一式對時間t求導(dǎo),同時考慮(8),(9)兩式,可得˙ξ=iω102(ξ-ˉξ)-12ω10{i[-10ω3/20α1/4(ξ+ˉξ)2-5ω1/20α3/4(ξ+ˉξ)4-α(ξ+ˉξ)5-10α1/2(ξ+ˉξ)3ω0-4(ξ+ˉξ)ω20+iμ(ξ-ˉξ)ω10-4iω3/20γ(ξ-ˉξ)(ξ+ˉξ)ω10α3/4-2iω1/20β(ξ-ˉξ)(ξ+ˉξ)ω10α1/4-iβ(ξ-ˉξ)(ξ+ˉξ)2ω10-4iω1/20γ(ξ-ˉξ)(ξ+ˉξ)3ω10α1/4-iγ(ξ-ˉξ)(ξ+ˉξ)4ω10-iβ(ξ-ˉξ)ω0ω10α1/2-6iγ(ξ-ˉξ)(ξ+ˉξ)2ω0ω10α1/2-iγ(ξ-ˉξ)ω20ω10α]}.(11)為得到系統(tǒng)的規(guī)范形,需要引入直至5階的近恒同非線性變換來簡化(11)式,令ξ=η+h1(η,ˉη)+h2(η,ˉη)+h3(η,ˉη)+h4(η,ˉη)+h5(η,ˉη),(12)其中h1(η,ˉη)=1∑j=0Γj,1-jηjˉη1-j,h2(η,ˉη)=2∑j=0Γj,2-jηjˉη2-j,h3(η,ˉη)=3∑j=0Γj,3-jηjˉη3-j,h4(η,ˉη)=4∑j=0Γj,4-jηjˉη4-j,h5(η,ˉη)=5∑j=0Γj,5-jηjˉη5-j.將(12)式代入(11)式,并利用規(guī)范形方法進行化簡,可得系統(tǒng)直至五階的傳統(tǒng)規(guī)范形˙η=α(4ω20+ω210)-α1/2βω0-γω20+α(μ-2iω10)η+iαβω10+6ω0(5α3/2+iα1/2γω10)-α1/2βω0-γω20+α(μ-2iω10)η2ˉη+10α2+2iαγω10-α1/2βω0-γω20+α(μ-2iω10)η3ˉη2.(13)將上式中的變量η和ˉη表示為極坐標η=12aeiω10t,ˉη=12ae-iω10t的形式,分離所得復(fù)數(shù)方程的實部與虛部,并且應(yīng)用系統(tǒng)存在定常解條件˙a=0,可得aα{(5a4α+60a2α1/2ω0+32ω20)×[αμ-ω0(α1/2β+γω0)]-2[α(2a2β+a4γ-4μ)+4ω0(α1/2β+3a2α1/2γ+γω0)]ω210}=0,(14a)aω10={aα1/2ω10{-12a2γ2ω30+α1/2[64α-a2γ(a2γ+14β)]ω20+a2α(120α-2β2-a2βγ+12γμ)ω0+α3/2[a4(10α+γμ)+2a2βμ+16ω210]}}/{8[-αμ+ω0(α1/2β+γω0)]2+32α2ω210}.(14b)求解(14)式中的系統(tǒng)振幅a和待定固有頻率ω10,ω10=√(5a4α+60a2α1/2ω0+32ω20)[αμ-ω0(α1/2β+γω0)]2α(2a2β+a4γ-4μ)+8ω0[(β+3a2γ)α1/2+γω0],(15)a=√-αβ-6α1/2γω0+√α2β2+8α2γμ+4α3/2βγω0+28αγ2ω20α.(16)將(12)式代入(9)式的第一式,可以獲得系統(tǒng)的周期解U=acosψ-5a2ω3/20α1/44ω20-15a4ω1/20α3/432ω20+5∑m=2(Amcosmψ+Bmsinmψ),(17)其中ψ=ω10t,Am和Bm為各高階諧波的系數(shù)(略).3.同宿分岔判據(jù)同宿分岔軌線是系統(tǒng)周期與非周期運動的分界線.因此,有效地獲取各類非線性振動系統(tǒng)的同宿分岔信息,對于分析系統(tǒng)的全局行為具有十分重要的價值.在現(xiàn)有研究低維非線性系統(tǒng)同宿分岔文獻中,文獻提供了兩條不同于Melnikov方法的解析途徑:系統(tǒng)的振動頻率Ω(μ)→0和周期軌道趨近于鞍點XA(xA,yA)→S(as,bs).但是,由于它們是依據(jù)傳統(tǒng)的多尺度法為基礎(chǔ)而獲得的(系統(tǒng)頻率及周期解),因此適用范圍受到方法本身的限制,只能用于分析弱非線性振動問題.這里,通過引用待定固有頻率方法構(gòu)建強非線性振動系統(tǒng)的周期解,使文獻中提出的同宿分岔的判據(jù)的適用范圍得到了拓展,用于研究強非線性振動系統(tǒng)的同宿分岔問題.判據(jù)1系統(tǒng)待定固有頻率ω10→0.由(15)式可得√(5a4α+60a2α1/2ω0+32ω20)[αμ-ω0(α1/2β+γω0)]2α(2a2β+a4γ-4μ)+8ω0[(β+3a2γ)α1/2+γω0]→0.(18)就有臨界狀態(tài)αμc=ω0(α1/2β+γω0),所以μc=ω0(α1/2β+γω0)α.(19)判據(jù)2周期軌道趨近于鞍點XA→(-√ω0α1/4,0).將ω10=0,U=-√ω0α1/4代入系統(tǒng)的周期解表達式(17),有a(3a4α-40a3α3/4√ω0+20a2√αω0-80aα3/4ω2/30-32ω20)32ω20=-√ω0α1/4.(20)將(16)式代入上式,可求得其中所包含的參數(shù)μc,(略).4.計算與分析同宿分岔臨界值的計算適當(dāng)選取系統(tǒng)(2)式中的非線性項參數(shù)α,β,γ,建立如下含有三階和五階非線性項的Φ6-VanderPol強非線性振動方程,同時采用上述兩種判據(jù)計算其同宿分岔的臨界值,¨u-4u=-600u5+(μ-50u2-300u4)˙u.(21)采用本文方法和數(shù)值仿真方法計算出系統(tǒng)同宿分岔的臨界值μc如表1所示,可見本文方法對于確定強非線性振動系統(tǒng)同宿分岔的臨界值具有指導(dǎo)意義.圖3給出了分岔值附近系統(tǒng)的同宿軌道相圖.同宿分岔分岔與其他同宿分岔同宿分岔的分岔比較利用本文方法研究文獻算例中含有立方非線性項的Arnold-Takens-Bogdanov振動系統(tǒng)¨u-ω20u=-u3+(μ-μ2)˙u,(22)確定其發(fā)生同宿分岔的臨界值,并對采用不同方法獲得的臨界值結(jié)果進行比較.應(yīng)用本文方法計算此系統(tǒng)的待定固有頻率和周期解,并得到相應(yīng)的同宿分岔判據(jù):ω10→0:μc=ω20,XA→(-ω0,0):a3+8ω30=4aω0(3a-ω0).表2列出了采用數(shù)值方法、Melnikov函數(shù)法、本文方法,以及文獻方法,在參數(shù)值ω0=0.5和1處,所獲得的系統(tǒng)同宿分岔的臨界值結(jié)果.圖4則顯示了在區(qū)間(0,2)上,不同方法獲得的臨界分岔值μc隨ω0變化的情況.由以上算例可知,應(yīng)用文中的兩類解析判據(jù)可以求解強非線性振動系統(tǒng)同宿分岔的臨界值,而對于弱非線性振動系統(tǒng)可以在獲取分岔值的同時有效地提高結(jié)果的計算