2022年考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析

2022年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)真題及解析

已知/(工)滿足lim善=1,則

1［單選題］x“l(fā)nx

AJ⑴=0

limf(x)=0

BL

J⑴=1

limf'(x)=1

D.I

正確答案：B

參考解析：

因?yàn)闃O限存在，所以當(dāng)x趨向于1的時(shí)候，lnx趨向于0,所以lim/(x)=0

土T1

2［單選

遨］

7/AN

已知函數(shù)z=iy/(一),其中/(u)可導(dǎo)，若1(二+y-^-=y^(lny一/nc),則

xoxoy

f⑴⑴=0

A./

/(i)=o,r(i)=I

N)=［j")=l

c.z

/(i)=o,r(i)=i

D.

正確答案：B

參考解析：

己知z=xyf(-),x-^-+y-^-=2zy/(—),帶入x-^-+y-^-=y^{lny-，m),得

xoxoyxoxoy

2xyf(—)—才(Iny—lnx),令z=%即/(z)—^-zlnz

xx2

3［單選題］下列是43x3是可對(duì)角化的充分而非必要條件是

A.A有三個(gè)不相等的特征值

B.A有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

C.A有三個(gè)兩兩無(wú)關(guān)的特征向量

D.A的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交

正確答案B

參考解析：

充分而非必要條件，即選中的答案可以推出矩陣A可對(duì)角化，但是A

可對(duì)角化推不出選項(xiàng)中的答案，A為充要條件，C選項(xiàng)是必要而非充分

條件，D既不充分也不必要，B正確。

n71

設(shè)有數(shù)列Xn,其中Xn滿足一天WXn￡丁，則

M單選題22

若lim存在，則lim5存在.

A.、一/,

若1面5畝(85%”)存在，則Km4存在.

若limcos(sinx.]存在且limsinx”存在，則lim虧不一定存在.

若limsin(cosx)存在且limcosK存在，貝i]lim/不一定存在.

□n->ar.o->9

正確答案：D

參考解析：

舉特1列就行了，取/=(-If或者(-1)^，

因?yàn)閄n正負(fù)交替，cos為偶函數(shù)，一定存在極限，sin為奇函數(shù)不存在

5[單選

遨]

I「x,.f1Zn(l+x)/?*2x,

Il=I――-----------dxI2=I-----------drZ3=/-----：—dx

Jo2(1+cosx)Jo1+coszJ。1+sznc則

Ah<h<h

I2<<I3

B.

I\<I3<A

c.

[3<<A

D.

正確答案■.A

參考解析：

因?yàn)?i,/2都有(1+cosx),所以比較需與ln(x+1)的大小，

另F(x)=/n(x+1)-求導(dǎo)，因?yàn)?<z<1,所以Ff(x)>0,即ln(x+1)>,I\<I?,

已知X>2n（1+工），比較1+cos與絲彳+1的大小，用同樣的做法,

sinx-4-1

取F(x)=cos+1----------,0<x<1時(shí)候，尸'(X)>0,

所以cos+l>W±l,因?yàn)榉肿哟?，分母小，且為正，所?3>12

61卓選題/設(shè)A,B均為n階矩陣，若AX=0與BX=0同解，貝IJ

方相且2）沙=0只有零解

A.

方程組=0只有零解

B\OABJ

了組《如。與仁加。同解

口用工組（AoB>B\=°與「（BoA/A\=°同o&解R

正確答案：C

參考解析：

可以令片（。然后將c中的一肖元得化解得C凱蜀=。與仁:尼）=。同絡(luò)

因?yàn)榱=0與BX=0同解，所以C選項(xiàng)正確，

也可以矩陣的秩判斷，AX=0與BX=0同解，即r（A）=r（B）,不能推出矩陣

得秩為2n,A錯(cuò)誤，也不能推出AB可逆，B錯(cuò)誤，也不能滿足D選項(xiàng)

中方程組得秩相等。

7[單選

邀]

T門(mén)、rr

設(shè)q=1生=2,生=,1.a,=z,若4..生與4%,a；等價(jià)，則

3㈤

入e0

A.{入|入ER}

B.{入|入6R,入#-1}

C.{X|XGR,入#-1,入盧-2}

D.{入|入ER,人聲-2}

正確答案：C

參考解析：

本題可以將a,a,a,a列出來(lái)化簡(jiǎn)，找出對(duì)應(yīng)關(guān)系，也可以將入=-1帶

入，r(a,a,a)=3,r(a,a,a)=2,不等價(jià)，所以入1-1,將入=-2帶入，

r(a,a,a)=2,r(a,a,a)=3,不等于，所以入盧-2。C正確。

8［單選題］設(shè)隨機(jī)變量X~U(0,3)，隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為2的泊松分布,

且X與Y協(xié)方差為-1,則D(2X-Y+1)=()

A.1

B.5

C.9

D.12

正確答案■C.

參考解析：

公式運(yùn)算,由X~U(O,3),Y~P(2)可得，D(X)=3/4,D(Y)=2,故D(2X-

Y+l)=D(2X-Y)=4D(X)+D(Y)-4Cov(X,Y)=3+2+4=9

9［單選

遨］

設(shè)隨機(jī)變量為52,…，X”獨(dú)立同分布，且處的4階矩存在.設(shè)必=E(Xf)(k=

1.2.3.4).則由切比雪夫不等式，對(duì)Ve>0,有尸］：方％2一〃2孑J《()

〃4一嶼

A.

〃4一席

DR.

-2-

C.標(biāo)

〃2-儲(chǔ)

D.、歷M

正確答案.，A

參考解析：

E￡用)=+￡E(X?)=E(X?)="2,

。(岳X；)=《￡。(X?)=4(E(著)-[E(X?)]2)

n一

\1=1/1=11=1

根據(jù)切比雪夫不等式，p{k￡x?一〃2Ne卜"停"I=號(hào)

10［單選題設(shè)隨機(jī)變量X~N(0.1),在X=x條件下隨機(jī)變量Y~N(x,1),

則X與Y的相關(guān)系數(shù)為()

A.1/4

.1/2

造

B.

c3

亭

r

正確答案■.D

參考解析：

EY=1.y)dj-dy=J：：fxMdjrJ：：yfnxiy工)公

力「(丫=工)公=仁

=/.r-?x忘=0

EXY=皮/二工力(ry)dxdy=J：；J/X")小/::〃4］x(y|l)如

f+OC1

=/-^=工一七E{Y|X=x)djc=/：］dr=EX2=1

J-ocy/2r￡

EY2=亡力〃工.y)dxdy-/：二/X(H)公/受y2fr\x(y\i)dx

=/二去ZEHIX=n)di=f：：工才;XAdr=E(X2+1)=2

故Cov(X.V)=l,O(Y)=2

所以。=品袋部=擊，故選(°)，

111填空題

函數(shù)/3，M=?+2y2在點(diǎn)(0,1)最大方向?qū)?shù)為

參考解析：

察人=d0+42=4

f=2x,f=4y,故grad(O,1)=(0,4),有公式可得01

12［填空題

fcInx.

/H=

參考解析：

4

【解析】

/——dx=/2仇然后采用交換法，2\/xlnx|f一4，^|；=4

Jix/XJi

\3［填空題

當(dāng)x三0,y'O時(shí),x+y這ke恒成立，則k的取值范圍是—

參考解析：

化簡(jiǎn)得K2(7+/比-(工+“即求出(/+/)€-("〃)的極大值即可，

2

令尸3,y)=(，+J/)e*+v),對(duì)F(z,y)分別求偏導(dǎo)，|

"=0,"，就=0可得出駐點(diǎn)(0,0),(1,1),通過(guò)4。一^2>0來(lái)判斷，

oxuy

(0,0)為極小建點(diǎn)，(1,1)不是極值點(diǎn)，所以在定義城內(nèi)不存在極大，直，由此可知，極大使在邊界上,

且F(xty)關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，所以令x=0,F(0,y)=逢一匕

令尸'(0,2/)=0可得y=2,帶入x=0,1/=2,F(0,2)即為最大值

14［填空題

已知級(jí)數(shù)y—e-nx的收斂域?yàn)??,+8),則a=___________

Jnn

〃=l

參考解析：

令”式%)=々0-",則

n

（力+1）!

%1(X)3+1產(chǎn)

lim=lim

〃K(X)川.以

--e

x>-l,a=-l

\5［填空題

已知矩陣A和E-A可逆，其中E為單位矩陣，若矩陣B滿足(E-(E-A))B

=A,貝IJB-A=

參考解析：

因?yàn)?可逆，所以B可逆，(E—(E—4)-i)可逆,

所以B=(E-(A-E尸尸4B-A=((E-(A-石尸尸-E)A

\6［填空題

設(shè)43.C為三個(gè)隨機(jī)事件.4與B互不相容.4與C互不相容,3與。相互獨(dú)立.

且P(*=P(B)=P(C)=；,則P(SUC|/lUflUC)=.

參考解析：

由題知P(AB)=O,P(AC)=O,P(BC)=P(B)P(C)=l/9,所求概率由條件概率公

式得

h(BUC)|(<UBUC)]

_P[(BUC)CI(-U3UC)]

P(JU5UC)

P(0U^UC)P(^UC)

-P(JU^UC)-P(JU5UC)

_____________________尸(8)+尸(。)一尸(一C)_____________

-P(A)+P(B)+P?-P(AB)-P(B。-PQ4C)+P(ABC

P(B)+P(C)-P(BC)

一尸(㈤+尸(5)+尸(O--(8C),

P(J)=P(5)=P(Q=1P(5Q=P(5)P(C)=i

將3,9代人得

p((5uc)i(^u^uc)]=^-Ar^=|

i-i8

9

17［簡(jiǎn)答題

1

設(shè)圣數(shù)!/(?是微分方程U+y=2+y/x的滿足1/(1)=3的解，求白線y=y(x)的漸近線:

2V0

參考解析：

[MISSINGIMAGE]

由題可得，y'=--^y+2+y/x,根金=e-，Pa)dx(/Q(x)e^p^dxdx+C)可得,

￡yjX

y=e'——x(J(2+何e'—#'dx+C)=2x+Ce~^,將y(l)=3代入可得

C=e,貝!Jy=2%—e1-",

水平漸近線：lim（2x—e/《）=+8,故曲線沒(méi)有漸近線

X7+8

垂直漸近線：顯然可知，曲線沒(méi)有漸近線

斜漸近線：limax-：1丫）=2,Hm2x-e1-v5?-2x=Q,故曲線斜漸近線為y=

XT+8XT+8

2x.

18[簡(jiǎn)答題

已知平面區(qū)域。=",切睚2二,二G],計(jì)算1”汽

D

參考解析：

首先畫(huà)圖得圓與直線得構(gòu)成得圖形，做一條y=-x+2得輔助線。

輔助線與圓之間得陰影部分為D1,剩下得陰影部分為D2,所以原式得

//(一鼻)…jjujj』

DD

川即//瑪ff2r

由于02關(guān)于j/軸對(duì)稱(chēng)，所以

JJX2+l

原式I=j]lkdy_jj/+y2+11—2rsin0cos0dr

DD\

220

_r/；8sin8cos

原式，=2+冗一/?(?91一二de

?4sin28cos28nsin20

=2+n-2/de=2+口一/de=211-2

JQ1+sin2xJo1+sin0

19[簡(jiǎn)答題

L是曲面￡：4,+，+/=I,120,y>0,z20的邊界,

曲面方向朝上，已知曲線L的方向和曲面的方向符合右手法則,

求—cosz)dx+2xz2dy+(2xyz+xsinz)dz

參考解析:

由斯托克斯公式可得：

d)dzdzdx去力

"dd

d=口(-2丫二辦比+二'小小')

dxdydzV

22

yz-cosz2xz2AJC+XSUI二

22

Z1：4A+y<1.x>0.1'>0,指向z軸負(fù)向,

令:4x2+v2<l.x>0,z>0,指向y軸負(fù)向,

令工3：/+二241,?20,2之0,指向x軸負(fù)向，

則/=目(-2xzd)dz+Jdx分)-J|(-2x2?Azt+z2dxdy)-JJ(-2xrchct+Jdxdy)

2>'+工2+工,工Si

_JJ(-2x二力d二+/dx力)=JjJ(2:r-2二)公力d二-0-0-0=0

2n

20［簡(jiǎn)答題

設(shè)/(-V)在(一8.+8)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù).證明：f"(x)M0的充要條件為對(duì)不同實(shí)數(shù)

彳號(hào))W六「八幻改

參考解析：

r/、//4+b、入,/。+b、/1a+b、2/?人工-i..n+Z?

/(-V)=/(-)+/(-)(.r---)+-/(氯x--廣，(給人與一y-之|nD

「(X)&巾(嶗+r(竽Xx-竽)+#(凰、-竽昨

=/(Y)S—a)+f尸dx

充分性：若存在及使得了"(.”)<(),因?yàn)閒(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，故存在6>0,使

x

得f\)在EX0-8,X0+5］內(nèi)恒小廣零，記a^-6,6=^+8,

而此時(shí)J：/(x)dY=/(笥)(b—a)+J：gr&Xx—公</(9)S—a)

因此矛盾,故/"”(.%)之0,得證;

a

f(x)dxa+b

必要性：若/'"(xo>。.則/*(4)20,有與~->/(^),得證；

(b-a)2

綜上即可證明充要性

21［簡(jiǎn)答題

33

已知二被型f(Xi,X2,工3)二￡￡。?XiXj

工=1y=l

(/)寫(xiě)出f(X1,X2,X3)對(duì)應(yīng)的矩陣

(〃)求正交變換x=Qy,將/(xi,6,工3)化為標(biāo)艇

(/〃)求/(陽(yáng),血,的)=0的解

參考解析：

(1)解:

301

由題可知，二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為A=040\AE—A\=

.103.

2-40=(A-4)I2-3

02-3T

4)(2—4)(A—2)=(A—4)2(4—2),由特征方程可得特征值為4=&=4,%=

10

r

2,當(dāng)入=入2=4時(shí)，|2E—4|x=00=[1,0,l],a2=

.-10

-10

[0,1,0]"獨(dú)3=2時(shí)，|花一川％=0-2=0,戊3=[―l,0,l]r,正

.-10

父單彳“化得=[0,l,0]r,e=五[-即彳^<2=

13

_z1

o-乃

夜1

1+-

nyl

VO21不-

1nV12標(biāo)準(zhǔn)型即為/()4yj及+2yl.

_