人教版八年級數(shù)學下冊《利用勾股定理解決折疊問題的技巧》練習題附帶答案

第頁人教版八年級數(shù)學下冊《利用勾股定理解決折疊問題的技巧》練習題(附帶答案）類型一利用勾股定理解決三角形的折疊問題1．如圖△ABC中∠ACB＝90°AC＝8BC＝6將△ADE沿DE翻折使點A與點B重合則CE的長為．思路引領：設CE＝x則AE＝BE＝8﹣x在Rt△BCE中由勾股定理可得62+x2＝（8﹣x）2即可解得答案．解：設CE＝x則AE＝BE＝8﹣x在Rt△BCE中BC2+CE2＝BE2∴62+x2＝（8﹣x）2解得x=7故答案為：74總結(jié)提升：本題考查直角三角形中的折疊問題解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)熟練應用勾股定理列方程解決問題．2．（2021秋?介休市期中）如圖所示有一塊直角三角形紙片∠C＝90°AC＝8cmBC＝6cm將斜邊AB翻折使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處折痕為AD則CE的長為cm．思路引領：根據(jù)勾股定理可將斜邊AB的長求出根據(jù)折疊的性質(zhì)知AE＝AB已知AC的長可將CE的長求出．解：在Rt△ABC中∵∠C＝90°AC＝8cmBC＝6cm∴AB=AC2根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：AE＝AB＝10cm∵AC＝8cm∴CE＝AE﹣AC＝2cm即CE的長為2cm故答案為：2．總結(jié)提升：此題考查翻折問題將圖形進行折疊后兩個圖形全等是解決折疊問題的突破口．3．（2020秋?金臺區(qū)校級期末）如圖在△ABC中∠ACB＝90°點EF在邊AB上將邊AC沿CE翻折使點A落在AB上的點D處再將邊BC沿CF翻折使點B落在CD的延長線上的點B′處（1）求∠ECF的度數(shù)；（2）若CE＝4B′F＝1求線段BC的長和△ABC的面積．思路引領：（1）由折疊可得∠ACE＝∠DCE=12∠ACD∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB'再根據(jù)∠ACB＝90°（2）在Rt△BCE中根據(jù)勾股定理可得BC=41設AE＝x則AB＝x+5根據(jù)勾股定理可得AE2+CE2＝AB2﹣BC2即x2+42＝（x+5）2﹣41求得x=165得出AE的長和AB的長再由三角形面積公式即可得出S解：（1）由折疊可得∠ACE＝∠DCE=12∠ACD∠BCF＝∠B'CF=12又∵∠ACB＝90°∴∠ACD+∠BCB'＝90°∴∠ECD+∠FCD=12即∠ECF＝45°；（2）由折疊可得：∠DEC＝∠AEC＝90°BF＝B'F＝1∴∠EFC＝45°＝∠ECF∴CE＝EF＝4∴BE＝4+1＝5在Rt△BCE中由勾股定理得：BC=B設AE＝x則AB＝x+5∵Rt△ACE中AC2＝AE2+CE2Rt△ABC中AC2＝AB2﹣BC2∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2即x2+42＝（x+5）2﹣41解得：x=16∴AE=165AB＝AE+BE=∴S△ABC=12AB×CE=1總結(jié)提升：本題主要考查了折疊變換的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積等知識；熟練掌握折疊變換的性質(zhì)由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?安岳縣期末）如圖在△ABC中∠C＝90°把△ABC沿直線DE折疊使△ADE與△BDE重合．（1）若∠A＝34°則∠CBD的度數(shù)為；（2）當AB＝m（m＞0）△ABC的面積為2m+4時△BCD的周長為（用含m的代數(shù)式表示）；（3）若AC＝8BC＝6求AD的長．思路引領：（1）根據(jù)折疊可得∠1＝∠A＝34°根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以計算出∠ABC＝56°進而得到∠CBD＝22°；（2）根據(jù)三角形ACB的面積可得12AC?BC＝2m+4進而得到AC?BC＝4m+8再在Rt△CAB中CA2+CB2＝BA2再把左邊配成完全平方可得CA+CB的長進而得到△BCD（3）根據(jù)折疊可得AD＝DB設CD＝x則AD＝BD＝8﹣x再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62＝（8﹣x）2再解方程可得x的值進而得到AD的長．解：（1）∵把△ABC沿直線DE折疊使△ADE與△BDE重合∴∠ABD＝∠A＝34°∵∠C＝90°∴∠ABC＝180°﹣90°﹣34°＝56°∴∠CBD＝56°﹣34°＝22°故答案為：22°；（2）∵△ABC的面積為2m+4∴12AC?BC＝2m+4∴AC?BC＝4m+8∵在Rt△CAB中CA2+CB2＝BA2AB＝m∴CA2+CB2+2AC?BC＝BA2+2AC?BC∴（CA+BC）2＝m2+8m+16＝（m+4）2∴CA+CB＝m+4∵AD＝DB∴CD+DB+BC＝m+4．即△BCD的周長為m+4故答案為：m+4；（3）∵把△ABC沿直線DE折疊使△ADE與△BDE重合∴AD＝DB設CD＝x則AD＝BD＝8﹣x在Rt△CDB中CD2+CB2＝BD2x2+62＝（8﹣x）2解得：x=7AD＝8?7總結(jié)提升：此題主要考查了圖形的翻折變換以及勾股定理完全平方公式關(guān)鍵是掌握勾股定理以及折疊后哪些是對應角和對應線段．5．（2021秋?章丘區(qū)期中）（1）如圖①Rt△ABC的斜邊AC比直角邊AB長2cm另一直角邊BC長為6cm求AC的長．（2）拓展：如圖②在圖①的△ABC的邊AB上取一點D連接CD將△ABC沿CD翻折使點B的對稱點E落在邊AC上．①AE的長．②求DE的長．思路引領：（1）在Rt△ABC中由勾股定理可求AB的長即可求解；（2）①由折疊的性質(zhì)可得∠DEC＝∠DBC＝90°DE＝DBEC＝BC＝6cm于是得到答案；②在Rt△ADE中由勾股定理可求DE的長．解：（1）設AB＝xcm則AC＝（x+2）cm∵AC2＝AB2+BC2∴（x+2）2＝x2+62解得x＝8∴AB＝8cm∴AC＝8+2＝10（cm）；（2）①由折疊的性質(zhì)可得∠DEC＝∠DBC＝90°DE＝DBEC＝BC＝6cm∴∠AED＝90°AE＝AC﹣EC＝4（cm）；②設DE＝DB＝y(tǒng)cm則AD＝AB﹣BD＝（8﹣y）cm在Rt△ADE中AD2＝AE2+DE2∴（8﹣y）2＝42+y2解得：y＝3∴DE＝3（cm）．總結(jié)提升：本題考查了翻折變換折疊的性質(zhì)勾股定理利用勾股定理列出方程是本題的關(guān)鍵．類型二利用勾股定理解決長方形的折疊問題6．（2022?納溪區(qū)模擬）如圖在矩形ABCD中AB＝5AD＝3點E為BC上一點把△CDE沿DE翻折點C恰好落在AB邊上的F處則CE的長為．思路引領：利用勾股定理得出AF的長度再利用折疊的性質(zhì)在△BEF中求解BE的長即可得出CE的長度．解：在矩形ABCD中AB＝5AD＝3由折疊的性質(zhì)可得：DF＝DC＝AB＝5∴AF=DF∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1設CE＝x則：EF＝CE＝xBE＝BC﹣CE＝3﹣x在Rt△BEF中由勾股定理可得：12+（3﹣x）2＝x2解得：x=5∴CE=5故答案為：53總結(jié)提升：本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和勾股定理等知識點解題的關(guān)鍵是利用AF求出BF的長度．7．（2021?郯城縣校級模擬）如圖在長方形ABCD中AB＝3cmAD＝9cm將此長方形折疊使點D與點B重合折痕為EF則△ABE的面積為（）cm2．A．12 B．10 C．6 D．15思路引領：由長方形的性質(zhì)得BAE＝90°再由折疊的性質(zhì)得BE＝ED然后在Rt△ABE中由勾股定理得32+AE2＝（9﹣AE）2解得AE＝4（cm）即可求解．解：∵四邊形ABCD是長方形∴∠BAE＝90°∵將此長方形折疊使點B與點D重合∴BE＝ED∵AD＝9＝AE+DE＝AE+BE∴BE＝9﹣AE在Rt△ABE中由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2∴32+AE2＝（9﹣AE）2解得：AE＝4（cm）∴S△ABE=12AB?AE=12×故選：C．總結(jié)提升：本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理等知識；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．8．（2020春?余干縣校級期末）如圖把長方形紙片ABCD沿EF折疊使點B落在邊AD上的點B'處點A落在點A'處．（1）試說明B'E＝BF；（2）設AE＝aAB＝bBF＝c試猜想abc之間的關(guān)系并說明理由．思路引領：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)、平行的性質(zhì)及等角對等邊即可說明；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)將AE、AB、BF都轉(zhuǎn)化到直角三角形△A'B'E中由勾股定理可得abc之間的關(guān)系．（1）證明：由折疊的性質(zhì)得：B'F＝BF∠B'FE＝∠BFE在長方形紙片ABCD中AD∥BC∴∠B'EF＝∠BFE∴∠B'FE＝∠B'EF∴B'F＝B'E∴B'E＝BF．（2）解：abc之間的關(guān)系是a2+b2＝c2．理由如下：由（1）知B'E＝BF＝c由折疊的性質(zhì)得：∠A'＝∠A＝90°A'E＝AE＝aA'B'＝AB＝b．在△A'B'E中∵∠A'＝90°∴A'E2+A'B'2＝B'E2∴a2+b2＝c2．總結(jié)提升：本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理等知識；靈活利用折疊的性質(zhì)進行線段間的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．9．（2020秋?羅湖區(qū)校級期末）如圖把一張長方形紙片ABCD折疊起來使其對角頂點A與C重合D與G重合若長方形的長BC為8寬AB為4求：（1）DE的長；（2）求陰影部分△GED的面積．思路引領：（1）設DE＝EG＝x則AE＝8﹣x在Rt△AEG中根據(jù)AG2+EG2＝AE2構(gòu)建方程即可解決問題；（2）過G點作GM⊥AD于M根據(jù)三角形面積不變性AG×GE＝AE×GM求出GM的長根據(jù)三角形面積公式計算即可．解：（1）設DE＝EG＝x則AE＝8﹣x在Rt△AEG中AG2+EG2＝AE2∴16+x2＝（8﹣x）2解得x＝3∴DE＝3．（2）過G點作GM⊥AD于M則12?AG×GE=12?AE×GMAG＝AB＝4AE＝CF＝5GE＝∴GM=12∴S△GED=12GM×DE總結(jié)提升：本題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積不變性靈活運用折疊的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點來分析、判斷、推理是解題的關(guān)鍵．類型三利用勾股定理解決正方形的折疊問題10．（2019?黔東南州一模）如圖將邊長為6cm的正方形紙片ABCD折疊使點D落在AB邊中點E處點C落在點Q處折痕為FH則線段AF的長為（）A．32 B．3 C．94 思路引領：由正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得EF＝DEAB＝AD＝6cm∠A＝90°由勾股定理可求AF的長．解：∵將邊長為6cm的正方形紙片ABCD折疊使點D落在AB邊中點E處∴EF＝DEAB＝AD＝6cm∠A＝90°∵點E是AB的中點∴AE＝BE＝3cm在Rt△AEF中EF2＝AF2+AE2∴（6﹣AF）2＝AF2+9∴AF=故選：C．總結(jié)提升：本題考查了翻折變換正方形的性質(zhì)勾股定理利用勾股定理求線段的長度是本題的關(guān)鍵．11．如圖將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊使點D落在BC邊的中點E處點A落在點F處折痕為MN則線段CN的長是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm思路引領：由折疊的性質(zhì)可得DN＝NE由中點的性質(zhì)可得EC＝4cm結(jié)合正方形的性質(zhì)可得∠BCD＝90°；設CN的長度為xcm則EN＝DN＝（8﹣x）cm接下來在直角△CEN中運用勾股定理就可以求出CN的長度．解：∵四邊形MNEF是由四邊形ADMN折疊而成的∴DN＝NE．∵E是BC的中點且BC＝8cm∴EC＝4cm．∵四邊形ABCD是正方形∴∠BCD＝90°．設CN的長度為xcm則EN＝DN＝（8﹣x）cm由勾股定理NC2+EC2＝NE2得x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3．故選：A．總結(jié)提升：本題考查翻折變換的問題折疊問題其實質(zhì)是軸對稱對應線段相等對應角相等找到相應的直角三角形利用勾股定理求解是解決本題的關(guān)鍵．第二部分專題提優(yōu)訓練1．（2022秋?慈溪市校級期中）在Rt△ABC中∠B＝90°AB＝4BC＝8D、E分別是邊AC、BC上的點將△ABC沿著DE進行翻折點A和點C重合則EC＝．思路引領：設EC＝x在Rt△ABE中由勾股定理得42+（8﹣x）2＝x2即可解得答案．解：設EC＝x則BE＝8﹣x∵將△ABC沿著DE進行翻折點A和點C重合∴AE＝EC＝x在Rt△ABE中AB2+BE2＝AE242+（8﹣x）2＝x2解得x＝5∴EC＝5故答案為：5．總結(jié)提升：本題考查直角三角形中的翻折問題解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)能應用勾股定理列方程解決問題．2．（2021秋?靖江市期中）如圖在Rt△ABC中∠C＝90°D是AB的中點AD＝5BC＝8E是直線BC上一動點把△BDE沿直線ED翻折后點B落在點F處當FD⊥BC時線段BE的長為．思路引領：分點F在BC下方點F在BC上方兩種情況討論由勾股定理可BC＝4由平行線分線段成比例可得BDAD=BPBC=DPAC解：若點F在BC下方時DF與BC交于點P如圖1所示：∵D是AB的中點∴BD＝AD＝5∴AB＝2AD＝10∵∠C＝90°BC＝8∴AC=AB∵點D是AB的中點∵FD⊥BC∠C＝90°∴FD∥AC∴BDAD∴BP＝PC=12BC＝4DP=1∵△BDE沿直線ED翻折∴FD＝BD＝5FE＝BE∴FP＝FD﹣DP＝5﹣3＝2在Rt△FPE中EF2＝FP2+PE2∴BE2＝22+（4﹣BE）2解得：BE=5若點F在BC上方時FD的延長線交BC于點P如圖2所示：FP＝DP+FD＝3+5＝8在Rt△EFP中EF2＝FP2+EP2∴BE2＝64+（BE﹣4）2解得：BE＝10故答案為：52總結(jié)提升：此題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識熟練掌握翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖在Rt△ABC中AC＝6BC＝8D為BC上一點將Rt△ABC沿AD折磨點C恰好落在AB邊上的E點求BD的長．思路引領：由勾股定理求出AB＝10由折疊的性質(zhì)得出CD＝DE∠C＝∠AED＝90°AE＝AC＝6得出BE＝AB﹣AE＝4∠BED＝90°設CD＝ED＝x則BD＝8﹣x在Rt△BDE中由勾股定理得出方程解方程即可．解：∵Rt△ABC中AC＝6BC＝8∴AB=62由折疊的性質(zhì)得：CD＝DE∠C＝∠AED＝90°AE＝AC＝6∴BE＝AB﹣AE＝4∠BED＝90°設CD＝ED＝x則BD＝8﹣x在Rt△BDE中由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2解得：x＝3∴BD＝8﹣3＝5．總結(jié)提升：本題考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．4．（2018秋?襄汾縣校級月考）如圖在Rt△ABC中∠C＝90°AC＝8BC＝6按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊使點C落在邊AB上的點C'處求AD的長及四邊形BCDC′的面積．思路引領：利用勾股定理列式求出AB根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得BC′＝BCC′D＝CD然后求出AC′設AD＝x表示出C′D、AC′然后利用勾股定理列方程求解即可求出AD；然后根據(jù)三角形的面積公式計算即可求出四邊形BCDC′的面積．解：∵∠C＝90°AC＝8BC＝6∴AB=AC由翻折變換的性質(zhì)得BC′＝BC＝6C′D＝CD∴AC′＝AB﹣BC′＝10﹣6＝4設CD＝x則C′D＝xAD＝8﹣x在Rt△AC′D中由勾股定理得AC′2+C′D2＝AD2即42+x2＝（8﹣x）2解得x＝3即CD＝3∴AD＝8﹣x＝5；由折疊可知：S△BCD＝S△BC′D∴四邊形BCDC′的面積＝2S△BCD＝2×12×CD總結(jié)提升：本題考查了翻折變換的性質(zhì)勾股定理此類題目熟記性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．5．（2021春?廈門期中）在矩形ABCD中AB＝3BC＝4E是AB上一個定點點F是BC上一個動點把矩形ABCD沿直線EF折疊點B的對應點B′落在矩形內(nèi)部．若DB′的最小值為3則AE＝53思路引領：連接DE則DB′+EB′≥DE由EB′＝EB為定值故當DEB′三點共線時DB′最小利用勾股定理建立方程即可求解．解：如圖1連接DE由折疊性質(zhì)可得：EB′＝EB∵DB′+EB′≥DE∴DB′≥DE﹣EB′＝DE﹣EB∵點E為定點∴EB為定值∴當DEB′三點共線時DB′最小且最小值為3∴DB′＝3如圖2∵四邊形ABCD為矩形∴∠A＝90°AD＝BC＝4設AE＝x則：EB′＝EB＝AB﹣AE＝3﹣x∴ED＝EB′+DB′＝3﹣x+3＝6﹣x在Rt△AED中由勾股定理可得：x2+42＝（6﹣x）2解得：x=5∴AE=5故答案為：53總結(jié)提升：本題考查折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識點解題的關(guān)鍵是運用方程思想．6．（2021秋?城陽區(qū)校級月考）把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊使頂點B和點D重合折痕為EF．若AB＝3cmBC＝5cm則重疊部分△DEF的面積是（）cm2．A．2 B．3.4 C．4 D．5.1思路引領：由矩形的性質(zhì)得AD＝BC＝5cmCD＝AB＝3cm∠A＝90°再由折疊的性質(zhì)得A'D＝AB＝3cm∠A'＝∠A＝90°AE'＝AE設AE＝xcm則A′E＝xcmDE＝（5﹣x）cm然后在Rt△A'DE中由勾股定理得出方程解方程進而得出DE的長即可解決問題．解：∵四邊形ABCD是矩形AB＝3cmBC＝5cm∴AD＝BC＝5cmCD＝AB＝3cm∠A＝90°由折疊的性質(zhì)得：A'D＝AB＝3cm∠A'＝∠A＝90°AE'＝AE設AE＝xcm則A′E＝xcmDE＝（5﹣x）cm在Rt△A'DE中由勾股定理得：A′E2+A′D2＝ED2即x2+32＝（5﹣x）2解得：x＝1.6∴DE＝5﹣1.6＝3.4（cm）∴△DEF的面積=12DE?CD=12×故選：D．總結(jié)提升：此題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積等知識熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．7．（2017秋?金牛區(qū)校級月考）如圖在矩形ABCD中E是AD的中點將△ABE沿BE折疊后得到△GBE延長BG交CD于點F結(jié)果發(fā)現(xiàn)F點恰好是DC的中點若BC＝26則AB的長為？思路引領：連接EF由折疊性質(zhì)得AE＝EG∠A＝∠EGB＝90°BG＝AB則∠EGF＝90°易證EG＝DE由矩形的性質(zhì)得AB＝CD∠C＝∠D＝90°推出∠EGF＝∠D＝90°由HL證得Rt△EGF≌Rt△EDF得出FG＝FD求得CF＝DF＝FG=12CD=12ABBF＝BG+FG=32AB由勾股定理得出BC2+CF解：連接EF如圖所示：由折疊性質(zhì)得：AE＝EG∠A＝∠EGB＝90°BG＝AB∴∠EGF＝90°∵點E是AD的中點∴AE＝DE∴EG＝DE∵四邊形ABCD是矩形∴AB＝CD∠C＝∠D＝90°∴∠EGF＝∠D＝90°在Rt△EGF與Rt△EDF中EG=EDEF=EF∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）∴FG＝FD∵F點恰好是DC的中點∴CF＝DF＝FG=12CD=∴BF＝BG+FG＝AB+12AB=在Rt△BCF中BC2+CF2＝BF2即：（26）2+（12AB）2＝（32AB）解得：AB＝23．總結(jié)提升：本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識熟練掌握折疊的性質(zhì)證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．8．（2018春?新?lián)釁^(qū)校級期中）如圖在矩形ABCD中已知AD＝10AB＝8將矩形ABCD沿直線AE折疊頂點D恰好落在BC邊上的F處求CE的長．思路引領：先根據(jù)矩形的性質(zhì)得AD＝BC＝10AB＝CD＝8再根據(jù)折疊的性質(zhì)得AF＝AD＝10EF＝DE在Rt△ABF中利用勾股定理計算出BF＝6則CF＝BC﹣BF＝4設CE＝x則DE＝EF＝8﹣x然后在Rt△ECF中根據(jù)勾股定理得到x2+42＝（8﹣x）2再解方程即可得到CE的長．解：∵四邊形ABCD為矩形∴AD＝BC＝10AB＝CD＝8∵矩形ABCD沿直線AE折疊頂點D恰好落在BC邊上的F處∴AF＝AD＝10EF＝DE在Rt△ABF中∵BF=AF∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4