2023年內蒙古赤峰市橋北重點中學高考數(shù)學模擬試卷（理科）

2023年內蒙古赤峰市橋北重點中學高考數(shù)學模擬試卷(理科)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.設2=。一4?！??),+為純虛數(shù)，則W=()

A.-1—iB.-1+iC.1—iD.1+i

2.已知集合4={x|log2%<1},B={x\y=2X-4]，則4n(CRB)=()

A.(-oo,2)B.(-00,2]C.(0,2)D.(0,2]

3.某學校共1000人參加數(shù)學測驗，考試成績f近似服從正態(tài)分布NQOO,/),若p(804f4

100)=0.45,則估計成績在120分以上的學生人數(shù)為()

A.25B.50C.75D.100

x+2y<1

4.已知，y滿足約束條件2x+y+l20,則系的最小值為()

,x-y<0

A.1B.C.-2D.-2

5.如圖1,放置在桌面上的直三棱柱容器ABC-6中，灌進一些水，水深為2,水面與

容器底面平行.現(xiàn)將容器底面的一邊4B固定于桌面上，再將容器傾斜，當傾斜到某一位置時,

水面形狀恰好為三角形為B】C,如圖2,則容器的高八為()

圖1圖2

A.4B.47-2C.3D.6

6.己知雙曲線/一]=1的漸近線與拋物線y2=2px(p>0)交于。、力(。是坐標原點)兩點,

F是拋物線的焦點，已知|AF|=7,則p=()

A.2B.3C.7D.6

7.如圖，在四邊形48C。中，皿B=120°,Z.DAC=30°,AB=1,

AC-3,AD=2,~AC=xAB+yAD^則%+y=()

AD

A.2/3

B.2

C.3

D.6

8.定義運算如果^=ad-be,/（x）=siMol+租）1儂＞＜卬＜今，少滿足等

式，？S譏0=COS3,函數(shù)/（x）在（0,今單調遞增，則3取最大值時，函數(shù)八乃的最小正周期為

（）

A.37rB.7rC.D.2兀

9.已知函數(shù)/。）=一丫+/092（4'+4）,若方程/（x）=b有解，則實數(shù)b的取值范圍是（）

A.（-oo,log25）B.（-oo,log25]C.[2,4-00）D.（-8,2）

10.已知四棱錐P—ABC。的底面ABC。是邊長為2的正方形，且NP4B=90。.若四棱錐P-

4BCD的五個頂點在同一球面上，已知棱PA最大值為2/石，則四棱錐P-ABC。的外接球體積

為（）

A.2471B.8y/~6nC.287rD.生丫兀

11.下列結論:①若方程工+￡=1表示橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是（5,8）；②雙曲線y2一

K—DO—K

15/=15與橢圓普+||=1的焦點相同.③M是雙曲線1上一點，點Fi，尸2分別是雙

曲線左右焦點，若|M%|=5,則IMF2I=9或1.④直線丫=依與橢圓C：弓+馬=1交于「，Q

兩點，A是橢圓上任一點（與P,Q不重合），已知直線AP與直線4Q的斜率之積為-g,則橢圓C

的離心率為?.錯誤的個數(shù)是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

12.已知函數(shù)/'（%）=譏3》一coss:（3＞0）的一條對稱軸是x=*若存在m,ceR使

直線》+^?丫+，=0與函數(shù)/（乃的圖像相切，則當3取最小正數(shù)時，實數(shù)m的取值范圍是（）

1111

A.（一十0）u卬+8）B.[-2,0）u弓,+8）

C.（-8,_1QU1（W，+8）D.1U匕1,+8）

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.若鬃=廢，則二項式(C-今產的展開式中，常數(shù)項是

14.函數(shù)/(x)=+卜2-2x+3的極大值點為

15.“康威圓定理”是英國數(shù)學家約翰?康威引以為豪的研究成

果之一，定理的內容是：如圖，ARSr的三條邊長分別為a,b,c(

即S7=a,SR=b,RT=c).延長線段SR至點4,使得R4=a,

以此類推得到如圖所示的點B,C,D,E,F,那么這六點共圓，

此圓稱為康威圓.若b=3,c=4,tan4TSR=%往此康威圓內投

擲一點，該點落在ARSr內的概率為

16.己知不等式e*+等〉等對任意xG(0,+oo)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

設各項都為正數(shù)的數(shù)列｛即｝的前n項和為S“，且的=1,2一六=舟.

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式；

(2)設函數(shù)f(x)=%-2尸1,且g=f(an),求數(shù)列｛%｝的前n項和

18.(本小題12.0分)

如圖，P為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，四邊形ABCD是圓。的內接四邊形，BD為底面

圓的直徑，M在母線PB上，且4B=BC=BM=2,BD=4,MD=2<3.

(1)求證：平面4MC1平面4BCC；

(2)設點E為線段P。上動點，求直線CE與平面2DM所成角的正弦值的最大值.

19.(本小題12.0分)

中國職業(yè)男籃CB4總決賽采用七場四勝制，即若有一隊先勝四場，則此隊為總冠軍，比賽就

此結束.現(xiàn)甲、乙兩支球隊進行總決賽，因兩隊實力相當，每場比賽兩隊獲勝的可能性均為今

據(jù)以往資料統(tǒng)計，第一場比賽可獲得門票收入400萬元，以后每場比賽門票收入比上一場增

加100萬元.

(1)求總決賽中獲得門票總收入恰好為3000萬元的概率；

(2)設總決賽中獲得門票總收入為X,求X的數(shù)學期望E(X).

20.(本小題12.0分)

已知出,尸2為雙曲線E：三一馬=1(&>0*>0)的左、右焦點，E的離心率為仁，M為E上

Qb

一點，且IMF2ITMF1I=2.

(1)求E的方程；

(2)設點M在坐標軸上，直線，與E交于異于M的4B兩點,且點M在以線段48為直徑的圓上，

過M作MC1AB,垂足為C,是否存在點D,使得|CD|為定值？若存在,求出點D的坐標以及|。叫

的長度；若不存在，請說明理由.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=廠；：""(aGR)在x=兀處的切線方程為(兀-2)x+exy+TT-TT2=0.

(1)若a；

(2)證明g(x)=f(x)-表有兩個零點.

22.(本小題10.0分)

在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為匕:；上;鬻。(。為參數(shù))，以坐標原點為極

-j.ILtSUfiu

點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線I的極坐標方程為：S=a(ae[0,7T),PER),已知

直線I與曲線C相交于M,N兩點.

(1)求曲線C的極坐標方程；

(2)記線段MN的中點為P,若|OP|W4恒成立，求實數(shù);I的取值范圍.

23.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=|x+1|+\2x-1|.

(1)若/'(x)>^+^(m>0,n>0)對任意xGR恒成立，求m+n的最小值；

(2)若/(x)2ax-2+a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍;

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：z-(1+i)=(a—I)■(1+i)=a+at—i—i2=(a+1)+(a-l)i,

所以a+l=O,所以a=—1,

所以z=—l—i,所以z=—l+i.

故選：B.

+為純虛數(shù)，根據(jù)復數(shù)的乘法法則，標準代數(shù)形式下實部為0,即可求出a,然后即

可求3

本題主要考查純虛數(shù)和共軌復數(shù)的定義，屬于基礎題.

2.【答案】C

【解析】解：因為集合

4=(x|log2x<1}={x|0<%<2},

集合8=[x\y=V2-4}=(x\x>2},

由補集的定義可得:CRB=[x\x<2},

結合交集的運算可得4n(CRB)=(0,2).

故選：c.

根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性分別求出集合4,B,然后利用交集和補集的運算即可求解.

本題考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性，屬于中檔題.

3.【答案】B

【解析】解：由己知可得，M=100,所以2100)=0.5.

又P(80<f<100)=0.45,根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得P(100<f<120)=0.45,

所以尸(f>120)=P(f>100)-P(100<<<120)=0.5-0.45=0.05.

所以，可估計成績在1(20分)以上的學生人數(shù)為1000x0.05=50.

故選：B.

由已知可得〃=100,根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可推得P(f2120)=0.05,即可得出答案.

本題主要考查正態(tài)分布的對稱性，屬于中檔題.

4.【答案】D

【解析】解：由約束條件作出可行域如圖,

言表示可行域內的點與點(-2,0)連線的斜率，

聯(lián)立方程｛1*+1=0,得交點坐標A(V，V)，

由圖得，當過點4(—g,—3)時,斜率最小為—"，

所以聶的最小值為-今

故選：D.

由約束條件作出可行域，數(shù)形結合求出系的最小值.

本題主要考查了線性規(guī)劃的應用，利用盤表示的幾何意義，通過數(shù)形結合是解決本題的關鍵，屬

于中檔題.

5.【答案】C

【解析】解：設直三棱柱ABC-4&C1的底面積為S,高為九，

由題意可得，2S=S/i—^S/i=：S/i,得無=3.

故選：C.

設直三棱柱的底面積為S,高為忙由兩圖形中水的體積相等列式求解.

本題考查幾何體的體積的求解，化歸轉化思想，是基礎題

6.【答案】D

【解析】解：雙曲線/一1=1的一條漸近線方程為：y=Cx,

仁晨解得｛二朧

聯(lián)立

V3

因為|4尸|=7,

所以由拋物線的定義得%+介與+%7,

解得p=6.

故選：D.

易得雙曲線/一J=1的一條漸近線方程為：y=g,與雙曲線方程聯(lián)立，求得點4的坐標,

再根據(jù)[4F|=7,利用拋物線的定義求解.

本題考查雙曲線的性質，屬于中檔題.

7.【答案】A

【解析】解：以4為坐標原點，以AD為x軸，過點4作4。的垂線為y軸,

建立平面直角坐標系，則4(0,0),B(-g沿,C(9,|),D(2,0)，

故而==(一：,?),同=(2,0)，

則由前=/?+y而可得彳？=(今工9+y(2,0),

J-=-2x+2y,[x=yT3

即打-1尸C

122

故x+y=2c

故選：A.

建立平面直角坐標系，求得相關點坐標，求得相關向量的坐標，根據(jù)冠=x而+y而，結合向量

的坐標運算，即可求得答案.

本題主要考查平面向量的基本定理，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：f(x)=4sin(』+J=期譏觸+*)-10,

因為，3s比9=cos(p，所以tern,=

而0<3<]所以>=（即f（x）=10s譏（3%+勺-10,

ZOO

、i,zzx冗、rt_r7T7T7TTT

當X6（0,弓Z）時，-oV3%+-o<-Zco4-o

衛(wèi)_1_￡々g

2^+652.

｛3>0

解得。<3S|,

當3取最大值|時，/Q）的最小正周期7=丁=3兀.

33

故選：/.

求出函數(shù)/"（X）的解析式，根據(jù)已知條件求出9的值，利用正弦型函數(shù)的單調性可得出關于?的不等

式組，解出3的取值范圍，可得出3的最大值，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得結果.

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質，屬于中檔題.

9.【答案】C

xx

【解析】解:/（x）=-x+log2（4+4）=log22r+iOg2（4+4）

xx

=log2（2+4-2-）

=1。。2（2'+a）

21嗚4=2（當且僅當2工=去，也即x=l時取等號）,

b>2,

故選：C.

利用對數(shù)的運算性質和基本不等式即可求解.

本題主要考查函數(shù)的零點與方程根的關系，屬于中檔題.

10.【答案】B

【解析】解：如圖，由NP4B=90。，則PA14B,因為ABJ.力D,PAOAD=A,

PA,4?！?平面/>4。，所以力Bl平面PAD,即P點在與8月垂直的圓面Oi內運動，

由題意知，當P、6、4三點共線時，P4達到最長，此時，P4是圓。1的直徑，

則NP￡M=90。，所以PD1.4D,又4B_LPD,ABCtAD=A,

AB,ADu平面4BCD,所以PDJ?平面/BCD,

此時可將四棱錐P-4BCD補形為長方體41%前。1-ABCD,

則P與Di重合，且面對角線24=2仁，

所以長方體的體對角線PB=2，石=2R,R=，石

喉=與腔=與x6V-6=8V""而.

故選：B.

根據(jù)題意易知ABJL平面P4D,P點在與BA垂直的圓面。1內運動，顯然P4是圓名的直徑時，PA達

到最長，然后得到PD1平面48CD,將四棱錐P-4BC。補形為長方體48傳［。1-4BCD,進而求

解外接球半徑，即可求出結果.

本題考查四棱錐的外接球問題，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，化歸轉化思想，屬

中檔題.

11.【答案】B

22

【解析】解：①若方程三+?丁=1表示桶圓，

k-58-k

(k-5>0

則,8-k>0,

k—5。8—k

解得5<k<會吟<k<8,故①錯誤；

2

②雙曲線y2—15/=15化成標準方程為左一/=1(焦點坐標為(0,±4),

2?

橢圓卷+標=1的焦點坐標為(±4,0),不相同，故②錯誤；

③雙曲線3—^|=1中a=2,b=2「,c=4,

因為M是雙曲線3—1=1上一點，點居，尸2分別是雙曲線左右焦點，

所以由雙曲線的定義得IIM&I-附411=2a=4,若|M&|=5,則|“尸2|=9或1,

而雙曲線上的點到焦點距離的最小值為c-a=2,

所以舍去|MF2l=l，所以|MFz|=9,故③錯誤；

④設4（xo，yo），因為4是橢圓1上任一點，

ab

所以馬+哮=1,所以加=爐—粵，

a2廿a2

又直線y=依與橢圓C：1+馬=1交于P,Q兩點，設P（%i，%），Q（-%1，-%），

ab

所以4+肖=1,所以資=爐_學，

b八a2

因為直線4P與直線AQ的斜率之積為-"，

訴儀v-yv+vy2-y2廬-年-（廬鳴寫一寫fc21

所以”.k—y0丫1y（）+y】_y（）當_/______。2_—一）一i,

APxxxx

AQXQ-XI%O+X1XQ~X1o~lo~l。23

所以嗎=工，所以e2=g=i—《=2,又0<e<L所以e=?，故④正確；

a'3Q‘a'33

綜上，錯誤的有3個.

故選：B.

根據(jù)橢圓的標準方程可以列出不等式組，解得k的范圍，從而判斷①；直接求出雙曲線和橢圓的

焦點坐標可判斷②；由雙曲線的定義可判斷③；

設出點4P,Q的坐標，用坐標表示出直線4P與直線4Q的斜率之積，然后根據(jù)點在橢圓上化簡,

進而可求出橢圓C的離心率，可判斷④.

本題考查橢圓的幾何性質，雙曲線的幾何性質，點差法的應用，化歸轉化思想，屬中檔題.

12.【答案】D

【解析】解：f(x)=y/~3sina)x-coscox=2sin(a)x—^),

x=百是y(x)的一條對稱軸，

0)71TC7T,.,?

—￡=彳+kn,kEZ9

???3=2+3k,又g>0,

??.3的最小正整數(shù)值為2.

???/(%)=2sin(2x-^),

/z(x)=4cos(2x-^)6[-4,4],

若mm,cCR使x+my+c=0與/'(x)相切,

則小中°,fi-4<--<4,

11

或

得

解><

m-4-m--4-

故選：D.

利用輔助角公式化簡函數(shù)解析式，結合正弦函數(shù)的對稱性求3,再由導數(shù)的幾何意義求小的取值范

圍.

本題主要考查了正弦函數(shù)性質的應用，屬于基礎題.

13.【答案】-y

【解析】解：因為第=碇,所以感碩=薄豆，解得n=9,

1_19_3r

則二項式(C—h)9的展開式的通項公式為圖+1=C5(Q)9-r(一4)r=(-l)r2~rC；X~^

令竽=0,解得r=3,

所以常數(shù)項是(—1)32-3瑤=一色

故答案為：-與

先由鬃=/求出n的值，再用二項式的展開式的通項可求解.

本題考查二項式定理，屬于中檔題.

14.【答案】-2

【解析】解：因為/。)=,/+2/一2%+3,

所以尸(x)=x2+x—2=(%—1)(%+2),

令((%)=0,則(無—1)(%+2)=0,解得％=—2或%=1,

當％<—2或%>1時，ff(x)>0,

當一2V%V1時，f(x)<0,

所以函數(shù)f(x)在(一8,-2),(L+8)上單調遞增，在(一2,1)上單調遞減.

當％=-2時，/(x)取得極大值，

所以函數(shù)/■(%)的極大值點為-2.

故答案為:—2.

利用函數(shù)的極大值的定義及導數(shù)法求函數(shù)的極值的步驟即可求解.

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，極值，考查運算求解能力，屬于中檔題.

15.【答案】2

377r

【解析】解：由^RS7中b=3,c=4,tan/TSR=%則cosFSR=|,

由余弦定理得/=h24-c2—Ibccos^TSR=25,得Q=5,

所以爐+c2=M,故4RST為直角三角形，其面積為6,

設^RST的內切圓半徑為r,圓心為0,貝+b+c)=6,即丁=1,

由已知h4D=CF=BE,所以。也為此康威圓的圓心，

設康威圓半徑為R,結合圖及圓的性質知：R=71+36=，37,故此康威圓面積為377r

故往此康威圓內投擲一點，該點落在^RST內的概率為二.

故答案為：捺/

根據(jù)已知及余弦定理求得a=5,易知△RS7為直角三角形，利用幾何概型的面積比求點落在△RST

內的概率.

本題考查幾何概型相關知識，屬于中檔題.

16.【答案】(；,+8)

【解析】解：因為不等式短+粵>等對?任意x6(0,+8)恒成立,

整理得ae"+Ina>Inx,

即e“+'na+ina+%>inx+x,

不妨設/(%)=e"+》,函數(shù)定義域為(0,+8),

易知+Ina)>/(/nx).

因為/(x)在定義域上單調遞增，

所以％+Ina>Inx,

即mQ>Inx-x在x>0上恒成立，

不妨設g(%)=lnx-x,函數(shù)定義域為(0,+8),

可得“(%)=：-1=一，

當0VxV1時，g'(x)>0,g(X)單調遞增；當％>U寸，g'(%)<0,g(%)單調遞減，

所以gQ)max=g(l)=T，

則》Q>—1,

解得a>

e

故答案為：C，+8).

由題意，將不等式e*+等>(對任意％6(0,+8)恒成立，轉化成婚+Ea_|_1na+%>inx+%,

設/(x)=ex+x,根據(jù)函數(shù)/'(x)的單調性得到Zna>Inx-x在x>0上恒成立，構造函數(shù)g(%)—

lnx-x,對g(x)進行求導，利用導數(shù)得到g(x)的單調性和最值，列出等式即可求出實數(shù)a的取值

范圍.

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了邏輯推理和運算能力.

11211711

17.【答案】解：(1)由^-----=4九21，可得^--a—=(2n1V2n+n=~2n+l,

、1/crux1111

當九22時，-------=z—~一~—T,

ctji2n-327i—1

11_1111_]1

dji—2Qyi—1271—5271-3''。23

以上各式分別相加得:一白=1一/7，又4=1,

所以當nN2時，an=2n-1,

經檢驗組=1符合斯=2n—1,

所以即=271—1,nGN*；

(2泡=/(a“)=f(2n-1)=(2n-1)-4f

7^=1X4°+3X41+5X42+???+(2n-3)-4n-2+(2n-1)-4n-1,

47^=1X41+3x42+???+(2n-3)-4^+(2n-1)-4n,

兩式相減得：-37；=14-2x41+2x42+?-?+2x4"T-(2n-1)-4n,

所以一3〃=1+八六廠i)-(2n-1)-4n-

故—3〃1+1x4n—1—(2n-1)-4n=——(2n—1)14n,

所以〃=(6吁5/4"+5.

【解析】（1）由遞推關系，根據(jù)累加法求數(shù)列｛an｝的通項公式：

（2）由條件可得匕=（2n-1）-4時1,利用錯位相減法求數(shù)列｛3｝的前n項和7；.

本題主要考查數(shù)列遞推式，數(shù)列的求和，考查錯位相減求和法的應用，考查運算求解能力，屬于

中檔題.

18.【答案】證明：（1）如圖，設4c交B。于點N,連接MN,OC,0A,

由已知可得。。=04=2,又AB=BC=2,

所以四邊形4BC。為菱形，所以4C18D,/：\

?:BM=2,BD=4,MD=2V3，ML.金\

BM2+MD2=BD?,：.乙BMD=pJ\

1兀*穌三三二二：Wv

COSAMBD=又4MBD6（0,兀），所以4MBC=:道…

因為N為0B的中點，BN=1,8M=2.A

由余弦定理可得MN=VBN2+BM2-2BN-BMcos^MBN=

???BM2=BN2+MN2,所以MN_LBN,即MN_LBD,

又AC,MNu平面4MC,4CnMN=N,???BD1平面4MC.

又BDu平面ABCC,.?.平面4MC1平面ABC。；

解：（2）由已知P。1平面4BCD,ACu平面4BCD,所以P014C,

又4C1B。，BDCP0=P,BD,P。u平面PBD,

AC_L平面PBD,

又MNu平面PBD,???MN1AC.

由（1）知MN1B。，ACCBD=N,AC,BDu平面4BCD,

所以MN_L平面4BCC,

???P0//MN,又點N為B。的中點，

所以P。=2MN=2/3，

以點N為坐標原點，NA,ND,NM所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐

標系，

則4(/3,0,0),D(0,3,0),F(0,-l,0),M(0,0,C),C(-<3,0,0)，0(0,1,0),

設E(0,l,t)(0WtW2<3),則方=(V3,l,t),

AD=(-C3,0)，AM=(-CoC),

設平面AMD的法向量為五=(x,y,z),

則理/E=°，即廣管”+30。，令y=i,貝h=C,z=q,

UM-n=01-AT3X+yT3z=0

所以元=(U,1,C)為平面4"。的一個法向量，

設直線CE與平面4Mo所成的角為。，

則加”即⑻兩=需=/言=?產需與=需,

構建f⑷=嘿^(0<t<20，

,,,,,,,_8<3-(t2+4)-(4+8<3t)-2t_-8(Ct+4)(t-C)

人"()=而?=oW'

當OSt<C時，f(t)>0,函數(shù)/(t)在［0,C)上單調遞增，

當/耳<t<2/豆時，/'?)<0,函數(shù)/'(t)在(、「谷,2，可上單調遞減，

.?.t=q時,/?)取到最大值4.

此時sin。取到最大值1.

【解析】(1)設AC交BD于點N,證明/C1BD,MN1BD,根據(jù)線面垂直判定定理證明BD，平面

AMC,再由面面垂直判定定理證明平面2MC1平面4BCD.

(2)先證明MNJ_平面ABCD,建立空間直角坐標系，求直線CE的方向向量與平面4DM的法向量，

利用向量夾角公式求線面角的正弦，利用導數(shù)求其最大值.

本題主要考查了面面垂直的判定定理，考查了利用空間向量求直線與平面所成的角，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)依題意，每場比賽獲得的門票收入組成首項為400,公差為100的等差數(shù)列.

設此數(shù)列為｛%｝,則由題意知的=400,an=100n+300,

所以Sn=項%+7。。)=3000.

解得n=5或n=-12(舍去)，所以此決賽共比賽了5場.

則前4場比賽的比分必為1：3,且第5場比賽為領先的球隊獲勝，

其概率為盤?)4=1.

所以總決賽中獲得門票總收入恰好為3000萬元的概率為今

(2)隨機變量X可取的值為S4,55,56,S7,BP2200,3000,3900,4900.

P(X=2200)=2X(1)4=I，P(X=3000)=C嗎尸=

P(X=3900)=C式獷=得,p(x=4900)=C媽＞=親，

所以X的分布列為

X2200300039004900

1

p155

841616

所以E(X)=2200x1+3000x鼻3900x2+4900x盤=3775.

o416lo

【解析】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法，考查等差數(shù)列、

概率性質等基礎知識，考查對立事件概率計算公式運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔

題.

(1)依題意，每場比賽獲得的門票收入組成首項為400,公差為100的等差數(shù)列.設此數(shù)列為｛a"，

則的=400,an=100n+300,求出n=5,此決賽共比賽了5場.前4場比賽的比分必為1：3,

且第5場比賽為領先的球隊獲勝，由此能示出總決賽中獲得門票總收入恰好為3000萬元的概率.

(2)隨機變量X可取的值為2200,3000,3900,4900,分別求出相應的概率，由此能求出X的分布

列和數(shù)學期望.

20.【答案】解：(1)???雙曲線E的離心率為，

???c=5a,

又I[MF]I-11=2a=2,解得a=1,

則c=V-5>

.??b2=c2—a2=4,

故雙曲線E的方程為*2—4=1；

(2)由(1)得在雙曲線E：——1中，附尸2|一附0]=2>0,

則點M在雙曲線E的左支上，點M在坐標軸上，即點M的坐標為

設4(%，為)，8(%2①)，

當4B的斜率存在時，設4B的方程為、=kx+m,

y=fcx+m

聯(lián)立2y2_9整理得(4—1)/—2kznx—(m?+4)=°，

x-T=1

J=(2km)2+4(m2+4)(4-k2)>0,貝Um24-4-fc2>0,

則Xi+x=xx=-

24f4-kr2

???M在以48為直徑的圓上，??.4M_L8M,

則為5-MB=(jq+l)(x2+1)+7172=(%i+1)(%2+1)+(k%+m)(kx2+m)=0,

2m+2

???(攵2+1)%1%2+(km+l)(xi+%2)++1=(/c+1)(->)+(km+1)-+m+1=

4—k4-k

0,

整理得37n2+2km—5k2-0,解得血=k或m=—|/c,

經檢驗均滿足租2+4-左2>0,

當爪=々時，直線48的方程為丫=/c(x+l),則直線AB過點M,不合題意，舍去；

當m=-|k時，直線力B的方程為y=k(x-|),則直線過定點Q(|,0),符合題意.

當直線AB的斜率不存在時，由AMIBM,

y=x+1

可設直線AM的方程為y=x+l,聯(lián)立2y2解得/=—1,x2=

X，一、4=13

二直線4B的方程為x=爾則直線AB過定點Q(|,0),

???MC_L4B,.?.△MCQ是以MQ為斜邊的直角三角形，

???點C在以MQ為直徑的圓上，

則當。為該圓的圓心?,0)時，|CD|為該圓的半徑，即|CD|=%

故存在點端,0),使得|CD|為定值小

【解析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率和雙曲線的定義求出a、c,即可得出答案；

（2）分類討論的斜率存在與不存在兩種情況，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，利用韋達定理和

MC148求出直線方程，求解即可得出答案.

本題考查直線與雙曲線的綜合，考查轉化思想和方程思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于

中檔題.

21.【答案】解：⑴對函數(shù)求導可得/'（X）=l-ss苛+as、x,則［（兀）=號二

因為/（%）在％=〃處的切線方程為（兀-2）x+eny4-7T-7T2=0

證明：(2)由(1)知，。(%)=胃一點

要證g(x)=/(x)-表有兩個零點，即證方程/(x)=表有兩個不等實根，即證函數(shù)

/(x)=t詈與y=右有兩個交點

令九(x)=x—sinxf九'(%)=1—cosx>0,九(%)單調遞增，