2023年高考數(shù)學第06章 對稱與對偶的思想方法

第06章對稱與對偶的思想方法

對稱思想的核心是對稱變換，而“對稱變換”是一種在保持一定不變性下的變換，有限次地重

復施行這一變換可以使對象回復到自身。高中數(shù)學中對稱問題主要有中心對稱、軸對稱、平面

對稱、多項式對稱(輪換對稱多項式)等。奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點成中心對稱，偶函數(shù)的圖像

關(guān)于y軸成軸對稱，函數(shù)的周期性也可看成“具有對稱性”，因為周期函數(shù)的圖像是無限延

伸的曲線，在按若干個整周期平移下，可重合于自身，從而表現(xiàn)出整體的不變性。解析幾何

中二次曲線的圖形本身就有某些對稱的特點。

對稱性可以更廣義地解釋為某種相應性。如乘與除，微分與積分，二項展開式中的二項

式系數(shù)，等差數(shù)列的重要性質(zhì)：若m+n-p+q^m,n,p,qeN"),則

am+a?=ap+aq,等比數(shù)列的重要性質(zhì)：若m+n=p+q^m,n,p,qeN*),則

am'an=ap'aq0再如，在一定條件下，有一個關(guān)于極大值的命題，就相應地有-■個關(guān)于極

小值的命題。若原問題為“己知矩形周長為P,求使矩形面積S最大時的邊長”，則其

對稱問題是“已知矩形面積為S,求使矩形周長P為最小值時的邊長”，這樣構(gòu)成的互

相對偶的問題，它們也具有結(jié)構(gòu)上的對稱性。

而對偶這一概念更為廣泛，如問題間的對偶，和差對偶，共朝對偶，倒序?qū)ε?，奇、?/p>

數(shù)對偶等，對偶原理指出：兩個互為對偶的定理，如果其中一個證明成立，那么另一個也必然

成立。

自然界的許多事物不論是在靜止狀態(tài)，還是在運動變化狀態(tài)，往往呈現(xiàn)出各種各樣的對

稱性或?qū)ε夹?，因而為了揭示和掌握這些對稱或?qū)ε际挛锛皩ΨQ、對偶的變化規(guī)律，在數(shù)學

學習中應當提倡對稱性思維方式，由于具有對稱性的物體的形狀、性質(zhì)及其變化規(guī)律各式各

樣，因而呈現(xiàn)出的對稱性也有多種不同的形式，從事物發(fā)展的層次結(jié)構(gòu)來考慮，對稱或?qū)ε?/p>

可分為空間直觀、定性抽象和精確定量3種不同形式，與此相應的就有3種不同對稱或?qū)?/p>

偶考慮方式；即位置對稱考慮、定性對稱考慮、數(shù)式對稱考慮?？傊?，對稱與對偶思想是

數(shù)學中的一種美學思想，在平面解析幾何中顯得尤為突出，每年在高考命題中均有體現(xiàn)，所

以要掌握并運用對稱與對偶的思想方法解題。

第三十五講運用"對稱變換"的思想方法解題

在中學數(shù)學中，對稱的問題主要有以下4種形式：

1.中心對稱：①點關(guān)于點的對稱；②曲線關(guān)于點的對稱。

2.軸對稱：①點關(guān)于直線的對稱；②曲線關(guān)于直線的對稱。

3.平面對稱：①點關(guān)于平面的對稱：②曲線關(guān)于平面的對稱。

4.多項式對稱：①一般輪換對稱；②順序輪換對稱。

幾何中的軸(面)對稱和中心對稱是最直觀的對稱，平面圖形繞其內(nèi)一定點旋轉(zhuǎn),的

變換，也是常見的對稱變換。

例1定理一：函數(shù)y=/(x)滿足/(?+%)=/(?-%)的充要條件是y=/(x)的圖像

關(guān)于直線x=a對稱。

定理二：函數(shù)y=/(x)滿足f(a+x)-b^b-f(a-x)的充要條件是y=/(x)的圖

像關(guān)于點(a,b)成中心對稱。

定理三：函數(shù)y=/(x)滿足尸(x)=/(x+a)—/(a)為奇函數(shù)的充要條件是y=

/(x)的圖像關(guān)于點(a,/(?))成中心對稱(注:若a不屬于x的定義域，貝U/(a)不

存在.

依次解答如下問題：

⑴設(shè)函數(shù)y=f{x}的圖像關(guān)于直線x=\對稱，若%,1時，y=x2+l,求x>l

時y的解析式；

(2)若函數(shù)(二一上：+1的圖像關(guān)于點(0,1)中心對稱，求m的值；

(3)己知函數(shù)/(x)在(y,O)u(O,+8)上的圖像關(guān)于點(0,1)中心對稱，且當

xe(O,+e)時/(x)=%2+x+U根據(jù)定理二求出/(%)在(-60,0)上的解析式；

(4)設(shè)函數(shù)y=/(x),y=g(x)在定義域R上的圖像都是關(guān)于點(a,b)中心對稱,

則對于函數(shù)y=/(x)+g(x),y=/(x)—g(x)，y=/(x)?g(x)及y=指出

其中一個函數(shù)的圖像一定關(guān)于點成中心對稱，再指出其中一個函數(shù)的圖像可以不關(guān)于點中心

對稱，并分別說明理由；

,(5+|x—3|]—2x—g的圖像的對稱性。

(5)討論函數(shù)/(X)=x——x+—

<3八3

【解題策略】

第(1)問，直接利用定理一解；第(2)?第(4)問,直接利用定理二解；第(5)問，直接利用定

理三解。

【解】

(1)/(%)的圖像關(guān)于直線x=i對稱，所以y(i+x)="i—x),即

〃x)=/(2-力。

當%>1時，2—工<1,

因為凡,1時，y=x2+1,所以x>\時，

/(x)=/(2-x)=(2-x)2+1=%2-4X+5。

⑵由函數(shù)/(x)=x+g+m的對稱中心為(0,m),得〃x)+〃一x)=2,即

2m=2>得m=1o

(3)設(shè)x<0,貝ij-x>0,/(-x)=x2—x+lo

因為/(x)+/(—x)=2,所以/(X)+(X2-X+1)=2,得f(x)=-x2+x+\,

即當xe時，/'(%)=—%2+x+lo

(4)對于函數(shù)y=〃x)+g(x),

由于.f(a+x)+g(a+x)+/(a—x)+g(a—x)=4Z?成立。

則y=/(x)+g(x)的圖像關(guān)于點(a,?)中心對稱。

對于函數(shù)y=/(x)-g(x),

由于/(q+x)_g(a+x)+/(a_x)_g(a-x)=0成立，

則函數(shù)y=/(x)—g(x)的圖像關(guān)于點(。,0)中心對稱。

對于函數(shù)y=/(x>g(x),可以不關(guān)于點或中心對稱。

反例：〃x)=g(x)=x,此時y=/(x).g(x)=x2,它的圖像不關(guān)于點或中心對稱。

對于函數(shù)y=44，可以不關(guān)于點或中心對稱。

g(M

反例:/(力=2,g(%)=^此時y==它的圖像不關(guān)于點或中

《）

心對稱。

⑸當X..3時，/(x)=2x2-

57

當用，一§時,/(x)=-2廠+大

<Q<9

當一士<x<3?時，f(x)=-x-—o

3v739

由上可知函數(shù)的圖像中間為一線段，右邊為開口向上的拋物線的一部分，左邊為開口向下的

拋物線的一部分，因而圖像只可能是關(guān)于某點成中心對稱，且此點的橫坐標

277、

又/尤）=/%+=xx+—+x——-2x是奇函數(shù),

tVI3337

、

2即（|,-4］成中心對稱。

故/（X）的圖像關(guān)于點

it-37

例2在平面直角坐標系xOy中,平行于X軸且過點A（3G，2）的人射光線4被直

線l：y=J反射，反射光線1交

2y軸于點B（如圖6-1所示）o圓。過點A

3

且與12相切。

①求乙所在的直線的方程和圓C的方程。

②設(shè)P,Q分別是直線I和圓C上的動點，求PB+PQ的最小值及此時點P的坐

標。

圖6-1

【解題策略】

根據(jù)光學原理，光線的入射、反射問題具有軸對稱的特點.。在解第（2）問時，還應注意運

用點關(guān)于直線對稱的方法.

【解】

⑴直線小＞=2,設(shè)4交/于點D,則。（26,2）,因為I的傾斜角為30,

所以/2的傾斜角為60。所以卜=6

所以反射光線/2所在的直線方程為y-2=V3（x-2V3）,即Gx—y-4=0。

已知圓C與/,切于點4,設(shè)C（?,b）,因為圓心C在過點D且與I垂直的直

線上，

則7所以》=一四+8①

a-2yj3

又因為圓心C在過點A且與/,垂直的直線上，所以a=36②

由①②得|“=3百'?故圓c的半徑r=|C4|=2-（-l）=3

所求圓C的方程為（x-3G）2+（y+l）2=9。

（2）由⑴知點8（0,-4）關(guān)于/的對稱點為8'5,%）,則且

=,聯(lián)立得夕（一26,2）。

由點與圓的位置關(guān)系知當B',P,Q3點共線時，PB+PQ最小，且直線B'Q過圓心C,

故PB+PQ的最小值為忸'C|-3.

y+i2+1

k>=kPC,

BcX—3-^3-2—3-^3

設(shè)P(x,y),由<73得'

卜=丁，V3

y=~yx，

［昱

X~2,ail

解得即1P~T,2

1\/

rr

最小值|附-3=J(-20-3份+(2+_3=2⑨-3.

例3（1）已知直線/過原點，拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上，若點

A（—1,0）和8（0,8）關(guān)于/的對稱點都在C上，求直線I和拋物線C的方程；

（2）是否存在實數(shù)a,使拋物線y=ax2-l上總有關(guān)于直線y=；x對稱的兩個

點？若不存在，說明理由；若存在，求a的取值范圍。

【解題策略】數(shù)學的對稱美充滿了整個數(shù)學世界，利用對稱處理數(shù)學問題的思想方法即對稱思

想方法。在處理解析幾何問題中，充分林拜對敗余件，引入對稱點坐標參數(shù)，從而巧妙解答問

題便是對稱思想方法的靈活運用。第（1）問，A,B兩點坐標已知，對稱軸/過原點，可

引入傾斜角3為參數(shù)，則/的方程為y=tan8x,依次求出A,B兩點關(guān)于直線I對

稱的A,B'坐標，根據(jù)A,ff兩點在拋物線上，將其代入拋物線方程y2=2px,得到

兩個關(guān)于tan。和p的方程組，解方程組即可求得tan。和p的值，則直線/和拋物

線C的方程即可求得。第（2）問，解法有兩種：（1）如果存在對稱的兩點A,B滿足題設(shè)要

求，顯AB的中點”（七,為）在托物線內(nèi)部，構(gòu)成一個含有a的不等式，從而確定a

的取值范囿；（2）按照對稱問題的一般處理方法，即A,B兩點連線與對稱軸＞=gx垂直,

AB的中點M（與,%）在對稱軸上,且直線AB與拋物線y=ax2-\必有兩個交點，消

元后的一元二次方程必有兩個不等的實根,判別式應大于0,進而可求解.

【解】

（1）設(shè)I的傾斜角為0,則/的方程為y=tan"x。設(shè)B,B'關(guān)于/對稱，如圖

6-2所示，BB'與/交于點例，則^BOM=90-0,^B'Ox=-90+20,從而

8'的坐標為(8sin2，,一8cos2夕)。同理點A關(guān)于/的對稱點A的坐標為

(―cos26,-sin26),再將A,B'的坐標分別代人/=2px,得

82cos22。=2p-8sin2電)

濁①②解得tan326=—8,即tan28=—2。

sin22^=2p(-cos26)②

由tan2^=2tan6>=-2解得tane=』(l+后)(6為銳角,

1-tan2^2、八

去)，

則P=g后，故/的方程為y=l(l+V5)x,拋物線方程為了2=半%。

(2)假設(shè)存在拋物線上兩點A(±,y),B&,y2)關(guān)于直線y=gx對稱，記線段

AB

的中點為M(%%),則點M在y=；x上，即%=—%)。

aX

聯(lián)立\'兩式相減，得yx-y2=a(x[+x2](x[-x2)o

y2=ax2-l,

因為直線AB垂直于直線y=-x,所以入二&=一2。

2xl-x2

又因為X1+=2.XQ,所以由。(玉+工2)=”..-得工0=--9%=_“0=----°

x,-x.a22。

①若。>0,則點%）在拋物線y=ax2-\內(nèi)部，得關(guān)系式

%>以oT，

a>0,

由不等式組《

②若a<0,則點A/伍，%）在拋物線y=ax2-I內(nèi)部，得關(guān)系式先<3一1,

?<0,a<0,

由不等式組《整理得

>1,砒時無解。

3

綜上所述，a的取值范圍為?>-.

2

例4在平面直角坐標系xOy中，點P到點F（3,0）的距離的4倍與它到直線x=2的

距離的3倍之和記為d。當點P運動時，d恒等于點P的橫坐標與18之和。

（1）求點尸的軌跡C的方程；

（2）設(shè)過點尸的直線與軌跡C相交于M,N兩點，求線段MN長度的最大值。

【解題策略】

在第（1）問中，求點P的軌跡C的方程，由于涉及點到直線的距離，須用到絕對值符號

,所求方程一般是分段的，解題過程勢必煩瑣，分類討論是不可避免的。第（2）問，過

點F的直線與第（1）問求得的軌跡方程交于M,N兩點，由于軌跡方程是分段的，所

以需要討論交點M,N在哪一段曲線上。若F是軌跡方程的焦點，本題就成了與圓錐曲

線的焦點弦或焦半徑有關(guān)的問題，一般情況下，在平面直角坐標系分析解決問題比較普遍與靈

活，如果圓錐曲線是標準方程，對于橢圓、雙曲線而言，其圖形既關(guān)于坐標軸對稱，又關(guān)于原

點對稱，對于拋物線，總有一條坐標軸為其對稱軸。抓住對稱性會給解題帶來便利，要立足

于學會并善于在平面直角坐標系中分析解決常規(guī)問題，對于圓錐曲線焦點弦的問題，在極坐標

系中是否可能使問題變得容易解？如果直接進行兩種不同坐標系的轉(zhuǎn)換（即極點為直角坐標系

的原點，極軸為x軸的正半軸），則圓錐曲線的極坐標方程形式復雜且不同的圓錐由線方程

又不統(tǒng)一，直接轉(zhuǎn)換沒有優(yōu)勢，只有通過重建極坐標系（即以焦點尸為極點，F(xiàn)x為極軸重

建極坐標系），則圓錐曲線的極坐標方程是統(tǒng)一的，焦點弦長的計算就變得非常方便，問題的

解決會簡捷許多，對稱性的運用可以減少運算過程。特別要強調(diào)的是，這里不是兩種坐標系

的“互化”，而是重新建系，這是一種極其有效的解題策略。

【解】

設(shè)點P的坐標為（x,y）,則4g_3）2+4+3|x—2|=18+x①

_______________.22

當尤>2時，由①式得7u-3）2+y2=6-^x化簡得三+2=1

23627

②__________

當其，2時，由①式得近-3）2+/=3+x化簡得y2=\2x③

22

故點P的軌跡c是橢圓=i在直線尤=2的右側(cè)部分

2

與拋物線C2:y=12x在直線x=2的左側(cè)部分（包括它與直線

x=2的交點）所組成的曲線，如圖6-3所示.

⑵

【解法1】

解法一（在已知平面直角坐標系內(nèi)求解，充分利用圖像的對稱性）如圖6-4所示，易知直線

x=2與C?C2的交點都是A（2,2V6）,B（2,-2V6）,直線AF,BF的斜率分別為

&F=-2>/6,kgp=2\/6.

由于點F是橢圓和拋物線的共同焦點，故可以用焦半徑求解：

當點P在￡上時，由②式知|PF|=6—④

當點P在C2上時，由③式知\PF\=3+x⑤

①當k?kAF或k..kBF,即k,,-2^6或k..2屈時，直線I與軌跡C的兩個交點

”（%,乂）,汽（工2，必）都在G上，此時由⑷式知囚尸|=6-3七,|可司=6-3々，

（、/、y=k（x-3）

從而|MN|=|MF|+|KV卜6Txl+6_g》2=12_；G+Z）?由，/產(chǎn)得

|,36+27-

（3+4F）X2-24Z:2X+36F-108=0,,

則x,,x2是這個方程的兩根，

24k2

所以32=許，

物|=12一亂+々）=12一黑?

JI'Irv

因為當k?-276或k..2屈時，F(xiàn)..24.

…I./“I12k21212100

所以M門2-詆=12-丁^,,12-于^7r

F+4—+4

k224

當且僅當％=±2幾時，等號成立.

圖6-4

②當kAF<k<kKF,即-276<k<2y/6時，直線I與軌跡C的兩個交點

M（x,y,）,N（9%），分別在G，Q上，不妨設(shè)點"在G上，點N在

C,上（根據(jù)對稱性，只需考慮這種情形），則由④⑤兩式知，

町=6-；xjNE|=3+々。

設(shè)直線AF與橢圓C,的另一交點為E（x°,%）,則x2<2,x0<xt,

有阿可=6—<6—!/=|所|，加目=3+々<3+2=a可。

所以|肱7|=|環(huán)'|+|加上|￡耳+|4同=|/1￡|。而點4E都在G上，且％=-2幾，

由①可知|AE|=甲，所以〈與，若直線/的斜率不存在，則%=々=3,

此時|MN|=12—3（可+々）=9（岑

綜上，線段MN長度的最大值為—o

11

【解法二】

以點F為極點，射線Fx為極軸重建極坐標系，則此時曲線G（橢圓部分）和曲線。2

（拋物線部分）的極坐標方程分別為

eP[9（1JP6

p、=-----------=----------e=-,P]=—=9,p?=----------=----------

1一ecos。2-cos6（2c）1+cos。1+cos。

①當arctan2遙領(lǐng)B萬-arctan26時，直線I只與曲線C,相交，此時有

\MN\=p+p

MN2+cos。2-cos04-cos2^

對arctan2通轟^arctan276,有一,領(lǐng)fcos。-,故cos/c0,—

所以\MN\=—生〒

114-cos20

②當0領(lǐng)Barctan276或萬一arctan2而，0<7t時,，直線I與曲線C,和C2都

相交。

根據(jù)對稱性，只考慮其一即可，不妨取噫上arctan2遙，且點N在G上，點

M

在C上，則有|腦”=夕^+月”=-----------------1----------------

22+cos。1+cos。

設(shè)仁cosOe-.1,則|MN|=/(/)=」一+2在上是減函數(shù)

.5J11\'2+t\+t[5_

故有/⑴，/1)=6,當。

由①②可得此時＜9=arctan276或萬一arctan2",直線為AF或

BF.

第三十六講構(gòu)造“對偶式”，巧解數(shù)學問題

在解答某些數(shù)學問題時，針對已知式M的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造一個或幾個與之相關(guān)聯(lián)的式子

N,使M與N經(jīng)過相加、相減、相乘、相除等運算之后，所需解答的問題得到合理的

轉(zhuǎn)化和解決。這種解題方法稱之為構(gòu)造“對偶式”解題，是一種極其巧妙的解題方法。

通過構(gòu)造對偶式可以巧妙地解決多項式求值、恒等式證明、求函數(shù)的最值、解方程（組以及

求解析式等，當然難點在于如何構(gòu)造解題所需要的“對偶式

例1求證：2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4A,,5?

【解題策略】

本例是三角不等式的證明，運用一般的方法證明是困難的，若能運用對稱的方法，構(gòu)造對偶

式，則比較容易證明

【證明】

設(shè)A=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x,B=2cos4x+3cos2xsin2x-i-5sin4x,

貝(JA+8=7(sin4x+cos4x)+6sin2xcos2x=7(sin2x+cos、)-8sin2xcos2x

=7-2sin22X=5+2COS22X,①

A-B=3(cos4x-sin%)=3cos2x,②

①+②，得24=5+2cos-2x+3cos2x=5+2fcos2xH—[-----

)16

?5+2jl+成一斗=10所以A,5,命題得證

I4j16

例2.已知a,P是方程X2-7X+8=0的兩根，且a>4，不解方程，求

*+3/2的值。

a

2?

【解題策略】若要不解方程求一+3/2的值，因為—+3仍是非對稱式，無法化為明及

aa

22

a+p的形式，所以需要構(gòu)造一+3/2相應的對偶式方+3a>兩者結(jié)合就可以化為必及

ap

2

a+(3的形式，然后運用韋達定理，從而求出一+349-的值.

a

【解】

設(shè)A=-+3/32,構(gòu)造對偶式3=—+31。

a0

a,P是方程x2-7x+8=0的兩根，/.a+/=7,a/3=8。

a>P，:,a-P-+0)2_4a0=V17o

:.A+B^2-+—+3(a2+Z?2)=^^^+3[(a+/?)2-2tzy9]=—,①

一撲、3("一分)=2(小一a)/、/、

A-B=2|-—^~^+3(/+a)(￡_a)=_亞②

la4

①+②403-85V17

得A=

28

.2+403-85V17o

a8

例3求下列各式的值：

(1)sin210+cos240+sin10cos40；

(2)sin6sin42sin66sin78。

【解題策略】本例兩小題都可以通過三角恒等變形求值，但解題過程不簡捷。如果

利用正余弦三角函數(shù)的互余對偶，構(gòu)造對偶式求解廁解題過程非常簡捷，此時原問題轉(zhuǎn)化為代

數(shù)方程組，利用加減消元法獲得結(jié)果，或兩對偶式相乘結(jié)合誘導公式直接消去引進的對偶式即得

結(jié)果.

【解】：

(1)設(shè)A=sin210+cos240+sin10cos40,

另設(shè)B=COS210+sin2404-cosl0sin40，:

則A+5=l+l+sinl0cos404-coslOsin40=2+sin50=2+cos40

A-B=cos8()-cos20-sin(4()-10j=-sin50-g=-g-cos40

33

兩式相加，得2A=—,即A=—o

24

3

因此，得sin210+cos240+sin10cos40=一。

4

(2)設(shè)A=sin6sin42sin66sin78,

另設(shè)B=cos6cos42cos66cos78。

貝！JAB=—sinl2sin84sinl32sinl56=—sinl2sin84sin48sin24

1616

=——cos78cos6cos42cos66=——B。

1616

A=—,艮［Jsin6sin42sin66sin78=—

1616

例4(1)若函數(shù)/(尤)滿足af(x)+bf(^\=cx(其中a,b,c是不等