新中考：第二部分-專題五-突破解答題之-4-四邊形

專題五突破解答題之4——四邊形

在近幾年中考中，涌現(xiàn)了大量四邊形為素材或背景或有關(guān)四邊形的性質(zhì)及判定，或借助一定的圖形變換(折疊、平移、旋轉(zhuǎn)、剪拼等)與動態(tài)操作，醞釀與構(gòu)建相關(guān)圖形的某種狀態(tài)與結(jié)論，進行相關(guān)計算、作圖、證明或探究，這對于培養(yǎng)與訓(xùn)練學(xué)生的空間觀念、動手操作、合情推理和探究能力等具有重要的作用.

解決這類問題的關(guān)鍵應(yīng)把握三角形、四邊形的性質(zhì)與特征，加強相關(guān)圖形之間的聯(lián)系，利用所給圖形及圖形之間形狀、大小、位置關(guān)系，進行觀察、實驗、比較、聯(lián)想、類比、分析、綜合.從動態(tài)、變換操作的角度，運用分類討論思想分析與解決有關(guān)兩個三角形(全等或相似)、特殊三角形、特殊四邊形的問題，進一步體會三角形與四邊形之間相互轉(zhuǎn)化、相互依存的內(nèi)在關(guān)系，從而提高學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的能力與素養(yǎng).在解決此類問題時要注意：平移、對稱、旋轉(zhuǎn)等只是改變了圖形的位置，而沒改變圖形的形狀與大小.

平行四邊形的判定與性質(zhì) 例1：(2018年湖南永州)如圖Z5-1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以線段AB為邊向外作等邊三角形ABD，點E是線段AB的中點，連接CE并延長交線段AD于點F. (1)求證：四邊形BCFD為平行四邊形；(2)若AB＝6，求平行四邊形BCFD的面積.圖Z5-1(1)證明：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°.在等邊三角形ABD中，∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠ABC＝60°.∵E為AB的中點，∴AE＝BE.又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC.在△ABC中，∠ACB＝90°，E為AB的中點，∴CE＝AE.∴∠EAC＝∠ECA＝30°.∴∠BCE＝∠EBC＝60°.又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE＝∠BCE＝60°.又∵∠D＝60°，∴∠AFE＝∠D＝60°.∴FC∥BD.又∵∠BAD＝∠ABC＝60°，∴AD∥BC，即FD∥BC.∴四邊形BCFD是平行四邊形.(2)解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝6，

[解題技巧]此題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識，解本題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題.特殊四邊形的判定與性質(zhì)

例2：(2017年上海)已知：如圖Z5-2，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是對角線BD上一點，且EA＝EC.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求證：四邊形ABCD是正方形.圖Z5-2證明：(1)在△ADE與△CDE中，∴∠ADE＝∠CDE.∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD.∴∠CDE＝∠CBD.∴BC＝CD.∵AD＝CD，∴BC＝AD.∴四邊形ABCD為平行四邊形.∵AD＝CD，∴四邊形ABCD是菱形.(2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC.∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，∴∠CBE＝180×

22＋3＋3＝45°.∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABE＝45°.∴∠ABC＝90°.∴四邊形ABCD是正方形.

[名師點評]本題考查了特殊平行四邊形的判定，注意平行四邊形與特殊平行四邊形之間的區(qū)別與聯(lián)系，分別要從四邊形的角、邊和對角線來理解它們的判定與性質(zhì).

四邊形綜合題 例3：(2017年四川南充)如圖Z5-3，在正方形ABCD中，

(1)求證：EF⊥AG；

(2)若點F，G分別在射線AB，BC上同時向右、向上運動，點G運動速度是點F運動速度的2倍，EF⊥AG是否成立(只寫結(jié)果，不需說明理由)?圖Z5-3

(3)正方形ABCD的邊長為4，P是正方形ABCD內(nèi)一點，當(dāng)S△PAB＝S△OAB時，求△PAB周長的最小值.[思路分析](1)由正方形的性質(zhì)得出AD＝AB，∠EAF＝形的性質(zhì)得出∠AEF＝∠BAG，再由角的互余關(guān)系和三角形內(nèi)角和定理證出∠AOE＝90°即可. (2)證明△AEF∽△BAG，得出∠AEF＝∠BAG，再由角的互余關(guān)系和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論.∵∠BAG＋∠EAO＝90°，∴∠AEF＋∠EAO＝90°.∴∠AOE＝90°.∴EF⊥AG.(2)解：成立.理由如下：又∵∠EAF＝∠ABG，∴△AEF∽△BAG.∴∠AEF＝∠BAG.∵∠BAG＋∠EAO＝90°，∴∠AEF＋∠EAO＝90°.∴∠AOE＝90°.∴EF⊥AG.(3)解：過點

O作MN∥AB，交AD于點M，BC于點N，如圖Z5-4.圖Z5-4則MN⊥AD，MN＝AB＝4.∵P是正方形ABCD內(nèi)一點，且S△PAB＝S△OAB，∴點P