廣東省廣州重點(diǎn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

廣州重點(diǎn)學(xué)校2023—2024學(xué)年（上）12月質(zhì)量檢測(cè)高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題注意：1.考試時(shí)間為150分鐘、滿分為150分。2.試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）與第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。3.選擇題答案必須用2B鉛筆在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)答題框內(nèi)填涂，非選擇題需在問(wèn)卷指定位置作答注意事項(xiàng)：一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知數(shù)列滿足，，則（）A. B. C.2 D.12.如圖，在四面體中，是的中點(diǎn).設(shè)，，，用，，表示，則（）A. B.C. D.3.三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為，，，則的中線的長(zhǎng)為（）A.3 B.5 C.9 D.254.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則等于（）A.12 B.8 C.20 D.165.點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為（）A.4 B.3 C.5 D.6.已知圓：，直線：，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.1 D.7.橢圓的兩焦點(diǎn)為，，以為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.8.在長(zhǎng)方體中，，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面平行，則的最小值為（）A. B.9 C. D.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知直線：，：，則下列說(shuō)法正確的是（）A.恒過(guò)點(diǎn) B.若，則C.若，則或 D若不經(jīng)過(guò)第三象限，則10.已知為等差數(shù)列，，則（）A.的公差為 B.的通項(xiàng)公式為C.的前項(xiàng)和為 D.的前50項(xiàng)和為256511.如圖，已知，分別是正方體的棱和的中點(diǎn)，則（）A.與是異面直線B.與所成角的大小為C.與平面所成角的正弦值為D.二面角的余弦值為12.拋物線：的焦點(diǎn)為、為其上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，，直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.拋物線的方程為B.的最小值為4C.當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，以為直徑的圓與軸相切D.存在直線，使得，兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，，，則______.14.已知，，則過(guò)的中點(diǎn)且傾斜角為120°，直線的點(diǎn)斜式方程是______.15.設(shè)雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為和，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過(guò)點(diǎn)作的切線，與的兩支分別交于，兩點(diǎn)，且，則的離心率的值為______.16.已知為不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，，，設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，記，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為______.四、解答題（本大題共6小題，共70分）17.已知等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.已知圓過(guò)點(diǎn)，.（1）求線段的垂直平分線所在的直線方程；（2）若圓的圓心在直線上，求圓的方程.19.已知拋物線：上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6.（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求直線方程.20.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求出的最小值；（3），求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.如圖所示，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，，，，平面，，點(diǎn)在線段上，且，.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最小值，并說(shuō)明此時(shí)點(diǎn)的位置.22.已知橢圓：的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，面積的最大值為1.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，直線，與軸的交點(diǎn)分別為，，證明：以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).12月月考數(shù)學(xué)參考答案1.A由題意，數(shù)列滿足，，可得，，，，…，所以數(shù)列構(gòu)成以3項(xiàng)為周期的周期數(shù)列，則.故選：A.2.D由是的中點(diǎn)，可知，所以3.B設(shè)邊的中點(diǎn)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，即，故的中線的長(zhǎng)為，故選：B4.D因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，則、、為等差數(shù)列，其公差為，因此，.故答案為：16.5.B雙曲線中，，，且焦點(diǎn)在軸上，所以漸近線方程為，即，由對(duì)稱性可知，點(diǎn)到兩條漸近線的距離相等，不妨求點(diǎn)到的距離，得.故選：B.6.B因?yàn)橹本€：，方程可化為，令，解得，故直線過(guò)定點(diǎn)，且在圓：內(nèi)，又，故當(dāng)直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，有，則，解得，故選：B.7.D設(shè)橢圓與正三角形另兩條邊的交點(diǎn)分別是，，易得，，∴，∴，∴8.C如圖，分別以、、方向?yàn)?、、軸建立空間直角坐標(biāo)系可得：，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，得解得：，，，即.由于直線與平面平行，則，得：，即：，，.，，可知，由于，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故選C9.ACA選項(xiàng)，，即，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；B選項(xiàng)：若，則，解得，當(dāng)時(shí)，：，：，兩直線重合，舍去；當(dāng)時(shí)，：，：，兩直線平行，符合題意.所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：若，則，解得或者，故選項(xiàng)C正確；D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，直線：不過(guò)第三象限，滿足題意；當(dāng)時(shí)，直線：不過(guò)第三象限，則，解得，綜上，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC.10.BCD設(shè)該等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以由，所以選項(xiàng)A不正確，由，所以，所以選項(xiàng)B正確；的前項(xiàng)和為，所以選項(xiàng)C正解：設(shè)的前50項(xiàng)和為，由，所以，因此選項(xiàng)D正解11.對(duì)A，因?yàn)樵谄矫嫱?，在平面?nèi)，在平面內(nèi)，所以與是異面直線，故A正確；對(duì)B，由中點(diǎn)知，，又，所以，即為與所成的角，在等邊中，，故B錯(cuò)誤；以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體長(zhǎng)為2，，，，，，由解意可知，平面的法向量可取，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為，故C錯(cuò)誤；又，，設(shè)平面的法向量為，則令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，可得，則，又因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為，故D正解.故選：AD.12.BCD對(duì)于A：當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，，故，即拋物線為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由，故，則，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，設(shè)為，則，故以為直徑的圓的半徑為，又，故以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，有圓心到軸的距離與該圓半徑相等，即該圓與軸相切，故C正確；對(duì)于D：設(shè)存在該直線，則與直線垂直，則該直線的斜率，即可設(shè)該直線為，、分別設(shè)為、，由，消去可得，，則，即，有，，故，，則弦的中點(diǎn)在直線上，即有，解得，故存在直線，使得，兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，故D正確.故選：BCD.13.因?yàn)?，，，所?故答案為：.14.設(shè)的中點(diǎn)為，則，又斜率，所以直線的點(diǎn)斜式方程為.故答案為：15.設(shè)直線與圓的切點(diǎn)為，則，，由，得，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，由為的中點(diǎn)，得，，因?yàn)?，為銳角，所以，有，得，所以，由雙曲線的定義知，，即，解得，又，所以，所以雙曲線的離心率為.故答案為：16.480由題意得，所以，，所以.所以公差，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的前100項(xiàng)和為.故答案為：480.17.【詳解】（1）依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，又，所以公差，所?（2）由（1）知，，所以.18.（1）；（2）.（1）∵線段的斜率，∴的垂直平分線的斜率，∵中點(diǎn)，即為點(diǎn)，∴的垂直平分線的方程為，整理得.（2）∵圓心一定在的垂直平分線上，又在直線上，聯(lián)立直線，解出，即圓心，，∴圓的方程為.19.（1）（2）（1）由題設(shè)，拋物線準(zhǔn)線方程為，∴拋物線定義知：可得，故：（2）由題設(shè)，直線的斜率存在且不為0，設(shè)聯(lián)立方程，得，整理得，則.又是線段的中點(diǎn)，∴，即，故：20.（1）（2），的最小值為（3）（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知條件得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知.所以當(dāng)時(shí)，取最小值；（3）令，得，所以當(dāng)時(shí)，，則，故，當(dāng)時(shí)，，則，所以.21.（1）1；（2）；（3），在的延長(zhǎng)線上且.（1）∵平面，平面，∴，∴∴；（2）在中，，∵，，∴，∴，∴，∴∵四邊形是平行四邊形，∴，選中點(diǎn)，則，∵，∴，∴，，兩兩垂直，∴以，，為，，軸建立直角坐標(biāo)系，則，∵為邊上的高，，∴，，∵，∴為中點(diǎn)，∴，∴，，，設(shè)平面的法向量為，∴，∴，取，設(shè)平面的法向量為，∴，，∴，取，∴，，∴，∴平面與平面夾角余弦值為；（3）設(shè)∴，，，∴，∴∵∴當(dāng)時(shí)，面積取最小值為，此時(shí)，在的延長(zhǎng)線上且，即為的中點(diǎn).22