2024版高考復(fù)習(xí)A版數(shù)學(xué)考點(diǎn)考法講解：等差數(shù)列

高考

數(shù)學(xué)數(shù)列等差數(shù)列基礎(chǔ)篇考點(diǎn)一等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1.等差數(shù)列相關(guān)概念1)定義:①一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都

等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列

的公差,通常用字母d表示.②an+1-an=d(同一個(gè)常數(shù),n∈N*)或an-an-1=d(同一

個(gè)常數(shù),n∈N*,n≥2).2)等差中項(xiàng):如果a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)且2A=a+b.3)通項(xiàng)公式:an=a1+(n-1)d(n∈N*).2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1)公式:Sn=

=na1+

d.2)與函數(shù)的關(guān)系:Sn=

n2+

n.非零數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件是其前n項(xiàng)和Sn=f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)或一次函數(shù)且不含常數(shù)項(xiàng),即Sn=

An2+Bn(A,B是常數(shù)).3)最值:若a1>0,d<0,則Sn存在最大值;若a1<0,d>0,則Sn存在最小值.考點(diǎn)二等差數(shù)列的性質(zhì)1.等差數(shù)列的常用性質(zhì)1)通項(xiàng)公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).2)若{an}是等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則ak+al=am+an.特別地,若p+q

=2m,則ap+aq=2am(m,p,q∈N*),反之不一定成立.3)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則{a2n}也是等差數(shù)列,公差為2d.4)若{an},{bn}是等差數(shù)列,則{pan+qbn}(p,q是常數(shù))仍是等差數(shù)列.5)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)組成公差為md的

等差數(shù)列.2.與等差數(shù)列各項(xiàng)的和有關(guān)的性質(zhì)1)若{an}是等差數(shù)列,則

也是等差數(shù)列,其首項(xiàng)與{an}的首項(xiàng)相同,公差是{an}的公差的

.2)若Sm,S2m,S3m分別為等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng),前2m項(xiàng),前3m項(xiàng)的和,則Sm,S2m-

Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列.3)非零等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì):①若項(xiàng)數(shù)為2n,則S偶-S奇=nd,

=

.②若項(xiàng)數(shù)為2n-1,則S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,

=

.4)若兩個(gè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn,則

=

.綜合篇考法一等差數(shù)列的判定判定等差數(shù)列的方法:方法解讀適合題型定義法對(duì)于任意自然數(shù)n(n≥2),an-an-1

為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列解答題中的證明問題等差中項(xiàng)法2an-1=an+an-2(n≥3,且n∈N*)成立

?{an}是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法an=pn+q(p,q為常數(shù))對(duì)任意的正

整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列選擇題、填空題中的判定問題前n項(xiàng)和公式法Sn=An2+Bn(A,B是常數(shù))對(duì)任意的

正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)

列例1

(2022河北衡水中學(xué)二模,18)在數(shù)列{an}中,Sn+1=4an+2,a1=1.(1)設(shè)cn=

,求證:數(shù)列{cn}是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解析

(1)證明:由Sn+1=4an+2,得當(dāng)n≥2時(shí),有Sn=4an-1+2,兩式相減得an+1=4an-

4an-1,而cn=

,即an=2ncn,則有2n+1cn+1=4×2ncn-4×2n-1cn-1,整理得cn+1=2cn-cn-1,即cn+1+cn-1=2cn,所以數(shù)列{cn}是等差數(shù)列.(2)由Sn+1=4an+2得a1+a2=4a1+2,因?yàn)閍1=1,所以a2=5,c1=

=

,c2=

=

,因此,等差數(shù)列{cn}的公差為

-

=

,則cn=

+

(n-1)=

n-

,即

=

,則an=(3n-1)·2n-2,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(3n-1)·2n-2.考法二等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問題求等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最值的方法:

例2

已知等差數(shù)列{an}的公差不等于0,其前n項(xiàng)和為Sn.若a5,S3,S9∈{0,1

8},則Sn的最大值為

(

)A.18

B.20

C.22

D.24解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,d≠0.S3=a1+a2+a3=3a2,S9=

·9=9a5,因?yàn)閍5,S3,S9∈{0,18},即a5,3a2,9a5∈{0,18},顯然9a5≠18,否則a5=2,矛盾,于

是得a5=9a5=0,又3a2≠0,否則a2=0,公差d=0,矛盾,因此,3a2=18,解得a2=6,而a5

=0,則公差d=

=-2,an=a2+(n-2)d=-2n+