2023年高考數(shù)學(xué)大招6等比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

大招6等比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

大招總結(jié)

結(jié)論1：S“=Aan+B,貝眩an｝是等比數(shù)列

結(jié)論2：=當(dāng)且僅當(dāng)C=-D時(shí)，｛%｝是等比數(shù)列

當(dāng)且僅當(dāng)'*-￡＞時(shí)，｛4｝從第二項(xiàng)?2開始為等比數(shù)列

證明：

是等比數(shù)列，貝5“=業(yè)乂2=忙"=二^%+2，

結(jié)論1：a?

]_g\-q\-q\-q

A=&人井，

i-qi-q

結(jié)論2,a,是等比數(shù)列，則s?="'"一力=二工+,

'\-q\-q"\-q

。=衛(wèi)

i-q

典型例題

n

例1.（2021秋?浦東新區(qū)期末）若等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和Sn=3+a,則a的值

為（）

A.3B.0C._]D.一3

解：方法1：根據(jù)題意，等比數(shù)列｛%｝的前?項(xiàng)和Sn=3"+a,

則q=3'+4=3+4,4=S2—S|=（3?+a）—（3+a）=6,

8=53-邑=&+@-（32+力=18,則有（3+a）xl8=36,解可得q=—1；故選C.

方法2：利用結(jié)論，等比數(shù)列｛〃“｝中，S?=Cqn+D,C=-D,可以直接得到a=-l,

故選C.

例2.若等比數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和S“=3（2"+的，則”；+d++片=（）

A.與」B.4"-1C.3（4n-l）D.無法確定

解：方法1：因?yàn)榈缺葦?shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和5“=3（2"+利），

所以4=，=3（2+m）=6+3m,a2=S2—S]=3（2?+時(shí)—3（2+㈤=6,

32

=S3-S2=3（2+m）-3（24-m）=12,因?yàn)閝,a2,%是等比數(shù)列,

所以所以36=12（6+3帆），解得m=-l,

所以4=3x2〃、所以d=9x4〃7,

則/+G++d=9（；：）=3（4"-1）.故選c.

方法2:根據(jù)結(jié)論2,m=-l,所以%=3x2"，所以片=9、4"-,，

則a：+a；++@=9（：1）=3（甲-1）.故選C.

例3.（2021春?思明區(qū)校級期中）已知等比數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為

S“=2/l+（2-3A2"Q為常數(shù)），則A=（）

A.-2B.-1C.1D.2

解：方法1因?yàn)榈缺葦?shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S“=22+（/l-3A2”（幾為常數(shù)），

所以q=5i=22+（2-3）x2=42-6,02=52—51=22+（2-3）-22-（42-6）=22-6

32

a,=5,-52=2/1+(2-3)-2-[2/1+(/1-3)-2]=4/1-12,

因?yàn)?,%,4成等比數(shù)列，所以W=qg，所以(22-6)2=(42-6)(42-12),

解得A=1或2=3,因?yàn)?=3時(shí)，S?=22是常數(shù)，不成立，故舍去2=3,

所以2=1.故選C.

方法2:利用結(jié)論，等比數(shù)列｛4｝中，S“=Cq"+O,C=-D2；l+(2-3)=(M=l故選

C.

例4.已知等比數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S,,,且S“=]+G3",則乎=__________.

2%

解：方法1因?yàn)榈缺葦?shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S〃，且\=-+?-3\

-3

所以q=S]=：+3a,%=S2—￥=9。—3a=6。，％=邑—S=27a—9o=18a

因?yàn)?，%生成等比數(shù)列，所以(6af=(|+3a)xl8a,解得?=-|,

方法2：利用結(jié)論，等比數(shù)列｛a,,｝中，Sn=Cq"+D,C=-D可以直接得到?=-|,

故答案為：28.

例5.首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列｛《,｝的前n項(xiàng)和為｛S,,｝,則（）

A.3a“=2S”-2B.3a?=25?+2C.an=25?-2D.an-3Sn-4

解：方法1：因?yàn)?=2,q=3,所以￡,=與組=:當(dāng)，

\-q1-3

所以3a〃=2Sn+2,故選B.

方法2:$=q_q。，，=4)=」“+4,A=-p-,e=-^-

l-q\-q\-q\-qjj

33

所以A=5,B=-\,s?

故選B.

自我檢測

1.(2021秋.南陽期末)已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和5“=4"+”，則?的值等于()

A.-4B.-1C.0D.1

解：方法1:因?yàn)榈缺葦?shù)列的前〃項(xiàng)和S?=4"+a,所以q=d=4+a,

0.2=52—Sj=(16+67)—(4+^)=12,a3=S^—S2=(64+Q)—(16+Q)=48,

所以122=48(4+“)，解得。=-1.故選B.

方法2：利用結(jié)論，等比數(shù)列｛““｝中，S?=Cqn+D,C=-O可以直接得到。=-1.故選B.

2.(2021秋?濟(jì)南期末)已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5?,且

S"=2"”+M〃eN,),則為-4=()

A.12B.8C.6D.4

解：方法1：等比數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和S"=2""+底當(dāng)幾.2時(shí)，

a“=S“-S,i=2"”-2"=2",當(dāng)〃=1時(shí)，q=SI=4+k適合上式，故4+左=2,即％=-2,

貝心-4=8-2=6.故選C.

方法2：利用結(jié)論，等比數(shù)列｛4｝中，5?=Cqn+D,C=-D,S“=2"“+&=2x2"+&可以直

接得到k=-2.%=S,-S,T=2""-2"=2",則6-4=8-2=6.故選C.

3.(2021秋?綿陽月考)等比數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S,,,若5?=r2-'-l,則”

()

A.-2B.1C.2D.3

解：方法1：因?yàn)镾,,=f-2"TT(〃eN)所以Ei=？"—

所以4,=5.-S,i=f-2-2,(”..2,〃eN)因?yàn)閿?shù)列｛%｝是等比數(shù)列，當(dāng)”..2時(shí)，號旦=2,所

以等比數(shù)列｛q｝的公比為2,因?yàn)?=4=LlM2=f"-2=f,所以r=2(f-l),

解得r=2.故選C.

方法2：利用結(jié)論，等比數(shù)列｛4｝中，S?=Cq"+D,C=-D,若S,=J2"T-1=；2"—1.

則！=1,t=2,故選C.

2

4.(2021秋?鄂爾多斯期末)已知等比數(shù)列｛??｝的前〃項(xiàng)和$“=手，則”

()

A.-3B.-2C.-1D.1

解：方法1：因?yàn)榈缺葦?shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和5,=芝/,所以4=5=辭，

電=邑一，=等—-=3,4=S3-S2=W=9,因?yàn)榍魡?生成等比數(shù)列，所

以3、券日解得一.故選C.

方法2：利用結(jié)論，等比數(shù)列｛4｝中，S?=Cqn+D,C=-D,若S,,=手小叫，則

-,r=-1,故選C.

22

5.設(shè)首項(xiàng)為1,公比為1的等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為5?,則下列結(jié)論正確的是

)

A.S,=4-3q,B.Sn=3-2anC.Sn=3冊—2D.S?=2an-1

解：方法1：由題意可得=《)”‘，S“2=3-2電=3-2%,所以

=31-

3

1---

3

S〃=3-2%,故選B.

4(j")_-q.,a,

方法2:S“=a「q4A=言‘B=言,

--------=----an-----?

i-q\-q1-q\-q

所以4=一2,6=3,S“=3—2〃“，選B.

6.(2021春?浙江期中)已知數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和S“=3〃+l,則首項(xiàng)

,通項(xiàng)式cin=

解：因?yàn)镾“=3"+l,當(dāng)w=l時(shí)，4=4=4,

當(dāng)〃..2時(shí)，a“=S“-S“T=3"-3'T=2-3"T,當(dāng)〃=1時(shí)，不適合上式,

/|幾I4,〃=1

2-3"-',n..21故答案為-4,。“=

7.(2021秋?新吳區(qū)校級月考)已知等比數(shù)列｛??｝的前〃項(xiàng)和Sn=ax3"-2,則

a-.

解：方法1：根據(jù)題意，等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S"=aX3"-2,

貝(]q=S[=3a_2,a,=5,-5,=(9a—2)—(34—2)—6a,

a；,=S3-S2=(27a-2)-(9a-2)=18a,則有(3a-2)x18〃=(6。))解可得a=2或a=0

(舍)，故a=2,故答案為：2.

方法2：利用結(jié)論，等比數(shù)列｛4｝中，S?=Cq"+D,C=-D,若S.=ax3"-2,貝lja=2.

B

8.(2021?達(dá)州模擬)等比數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S?,若5n=3-'+m,則實(shí)數(shù)，"的

值是.

解：方法1：由5,=3"T+/n⑴,可得S向=3"+制2),由(2)—⑴可得.=2*3二.

又因?yàn)閿?shù)列｛4｝是等比數(shù)列，所以4=2x3T.

當(dāng)〃=1時(shí)，

211

有Si=]+機(jī)=q=,，所以"=_；.故填一；.

333

方法2：5“=3"T+〃z=gx3"+機(jī)，所以機(jī)=-g.

9.(2021秋?城中區(qū)校級期末)已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S?=3n+,+/

為,則數(shù)列的通項(xiàng)公式??=.

解：方法1：因?yàn)榈缺葦?shù)列｛4｝中，前〃項(xiàng)和S“=3"”+r,所以4=E=9+f,

a2=S2=18,a3=5,-S2=54,所以18?=54(9+f),解得/=一3,

所以q=9+t=6,公比q=3,所以a“=63一=24".故答案為：2-3".

方法2:5“=3"+'+￡=3-3"+￡,貝IJt=-3,所以4=S,,-S“