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第頁(yè)人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《冪的運(yùn)算》專項(xiàng)練習(xí)題-附含答案實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練一.同底數(shù)冪的乘法1.已知2m?2m?8=211則m=4.試題分析:將已知中的2m?2m?8化為同底數(shù)的冪然后利用同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計(jì)算再根據(jù)指數(shù)相同列式求解即可.答案詳解:解:2m?2m?8=2m?2m?23=2m+m+3∵2m?2m?8=211∴m+m+3=11解得m=4.所以答案是4.2.已知2x+3y﹣2=0求9x?27y的值.試題分析:直接利用冪的乘方運(yùn)算法則將原式變形進(jìn)而化簡(jiǎn)得出答案.答案詳解:解:∵2x+3y﹣2=0∴2x+3y=2∴9x?27y=32x?33y=32x+3y=32=9.3.已知3x+2=m用含m的代數(shù)式表示3x()A.3x=m﹣9 B.3x=m9 C.3x=m試題分析:根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則解答即可.答案詳解:解:∵3x+2=3x×32=m∴3x所以選:B.二.同底數(shù)冪的除法4.已知:3m=29n=3則3m﹣2n=23試題分析:先利用冪的乘方變?yōu)橥讛?shù)冪再逆用同底數(shù)冪的除法求解.答案詳解:解:∵9n=32n=3∴3m﹣2n=3m÷32n=2所以答案是:235.已知m=154344n=54340試題分析:根據(jù)積的乘方的性質(zhì)將m的分子轉(zhuǎn)化為以3和5為底數(shù)的冪的積然后化簡(jiǎn)從而得到m=n再根據(jù)任何非零數(shù)的零次冪等于1解答.答案詳解:解:∵m=15∴m=n∴2016m﹣n=20160=1.所以答案是:1.6.已知ka=4kb=6kc=92b+c?3b+c=6a﹣2則9a÷27b=9.試題分析:先將9a÷27b變形再由ka=4kb=6kc=92b+c?3b+c=6a﹣2分別得出abc的關(guān)系式然后聯(lián)立得方程組整體求得(2a﹣3b)的值最后代入將9a÷27b變形所得的式子即可得出答案.答案詳解:解:9a÷27b=(32)a÷(33)b=(3)2a﹣3b∵ka=4kb=6kc=9∴ka?kc=kb?kb∴ka+c=k2b∴a+c=2b①;∵2b+c?3b+c=6a﹣2∴(2×3)b+c=6a﹣2∴b+c=a﹣2②;聯(lián)立①②得:a+c=2bb+c=a?2∴c=2b?∴2b﹣a=a﹣2﹣b∴2a﹣3b=2∴9a÷27b=(3)2a﹣3b=32=9.所以答案是:9.三.冪的乘方與積的乘方(注意整體思想的運(yùn)用)7.已知2m=a32n=bmn為正整數(shù)則25m+10n=a5b2.試題分析:根據(jù)積的乘方與冪的乘方及同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算法則解答.答案詳解:解:∵2m=a32n=b∴25m+10n=(2m)5?(25)2n=(2m)5?322n=(2m)5?(32n)2=a5b2所以答案是:a5b2.8.計(jì)算:(﹣0.2)100×5101=5.試題分析:根據(jù)冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則將所求的式子變形為(﹣0.2×5)100×5再求解即可.答案詳解:解:(﹣0.2)100×5101=(﹣0.2)100×5100×5=(﹣0.2×5)100×5=5所以答案是:5.9.若x+3y﹣3=0則2x?8y=8.試題分析:根據(jù)已知條件求得x=3﹣3y然后根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行解答.答案詳解:解:∵x+3y﹣3=0∴x=3﹣3y∴2x?8y=23﹣3y?23y=23=8.所以答案是:8.四.冪的運(yùn)算中的規(guī)律10.閱讀材料:求1+2+22+23+24+…+22017+22018的值.解:設(shè)S=1+2+22+23+24+…+22017+22018①將等式兩邊同時(shí)乘2得2S=2+22+23+24+25+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S=22019﹣1即S=22019﹣1所以1+2+22+23+24+…+22017+22018=22019﹣1.請(qǐng)你仿照此法計(jì)算:(1)1+2+22+23+24+…+29+210;(2)1+3+32+33+34+…+3n﹣1+3n(其中n為正整數(shù)).試題分析:(1)直接利用例題將原式變形進(jìn)而得出答案;(2)直接利用例題將原式變形進(jìn)而得出答案.答案詳解:解:(1)設(shè)S=1+2+22+23+24+…+210①將等式兩邊同時(shí)乘2得:2S=2+22+23+24+…+210+211②②﹣①得2S﹣S=211﹣1即S=211﹣1∴1+2+22+23+24+…+210=211﹣1.(2)設(shè)S=1+3+32+33+34+…+3n①將等式兩邊同時(shí)乘3得:3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1②②﹣①得3S﹣S=3n+1﹣1即S=12(3n+1∴1+3+32+33+34+…+3n=12(3n11.(1)通過(guò)計(jì)算比較下列各式中兩數(shù)的大小:(填“>”、“<”或“=”)①12<21②23<32③34>43④45>54⑤56>65…(2)由(1)可以猜測(cè)nn+1與(n+1)n(n為正整數(shù))的大小關(guān)系:當(dāng)n≤2時(shí)nn+1<(n+1)n;當(dāng)n≥3時(shí)nn+1>(n+1)n;(3)根據(jù)上面的猜想可以知道:20082009>20092008.試題分析:先要正確計(jì)算(1)中的各個(gè)數(shù)根據(jù)計(jì)算的結(jié)果確定所填的符號(hào)觀察所填符號(hào)總結(jié)規(guī)律.答案詳解:解:(1)①∵12=121=2∴12<21②∵23=832=9∴23<32③∵34=8143=64∴34>43④∵45=102454=625∴45>54⑤∵56=1562565=7776∴56>65…(2)由(1)可以猜測(cè)nn+1與(n+1)n(n為正整數(shù))的大小關(guān)系:當(dāng)n≤2時(shí)nn+1<(n+1)n;當(dāng)n≥3時(shí)nn+1>(n+1)n;(3)∵n=2008>3∴20082009>20092008.12.求1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200的值.試題分析:依據(jù)12=1?1212+14=1?1412+14+18=答案詳解:解:∵12=112+112+1…12+1∴1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200=1+=1+1?1=2?113.探究:22﹣21=2×21﹣1×21=2(1)23﹣22=2×22﹣1×22=2(2)24﹣23=2×23﹣1×23=2(3)……(1)請(qǐng)仔細(xì)觀察寫出第4個(gè)等式;(2)請(qǐng)你找規(guī)律寫出第n個(gè)等式;(3)計(jì)算:21+22+23+…+22019﹣22020.試題分析:(1)根據(jù)給出的內(nèi)容直接可以仿寫25﹣24=2×24﹣1×24=24(2)2n+1﹣2n=2×2n﹣1×2n=2n(3)將原式進(jìn)行變形即提出負(fù)號(hào)后就轉(zhuǎn)化為原題中的類型利用(1)(2)的結(jié)論直接得出結(jié)果.答案詳解:解:探究:22﹣21=2×21﹣1×21=2123﹣22=2×22﹣1×22=2224﹣23=2×23﹣1×23=23(1)25﹣24=2×24﹣1×24=24;(2)2n+1﹣2n=2×2n﹣1×2n=2n;(3)原式=﹣(22020﹣22019﹣22018﹣22017﹣……﹣22﹣2)=﹣2.所以答案是:1;2×22﹣1×22;2;2×23﹣1×23;3五.新定義14.定義一種新運(yùn)算(ab)若ac=b則(ab)=c例(28)=3(381)=4.已知(35)+(37)=(3x)則x的值為35.試題分析:設(shè)3m=53n=7根據(jù)新運(yùn)算定義用m、n表示(35)+(37)得方程求出x的值.答案詳解:解:設(shè)3m=53n=7依題意(35)=m(37)=n∴(35)+(37)=m+n.∴(3x)=m+n∴x=3m+n=3m×3n=5×7=35.所以答案是:35.15.規(guī)定兩數(shù)ab之間的一種運(yùn)算記作(ab);如果ac=b那么(ab)=c.例如:因?yàn)?3=8所以(28)=3.(1)根據(jù)上述規(guī)定填空:①(5125)=3(﹣2﹣32)=5;②若(x18)=﹣3則x=2(2)若(45)=a(46)=b(430)=c試探究abc之間存在的數(shù)量關(guān)系;(3)若(m8)+(m3)=(mt)求t的值.試題分析:(1)①根據(jù)新定義的運(yùn)算進(jìn)行求解即可;②根據(jù)新定義的運(yùn)算進(jìn)行求解即可;(2)根據(jù)新定義的運(yùn)算進(jìn)行求解即可;(3)根據(jù)新定義的運(yùn)算進(jìn)行求解即可.答案詳解:解:①∵53=125∴(5125)=3∵(﹣2)5=﹣32∴(﹣2﹣32)=5所以答案是:3;5;②由題意得:x﹣3=1則x﹣3=2﹣3∴x=2所以答案是:2;(2)∵(45)=a(46)=b(430)=c∴4a=54b=64c=30∵5×6=30∴4a?4b=4c∴a+b=c.(3)設(shè)(m8)=p(m3)=q(mt)=r∴mp=8mq=3mr=t∵(m8)+(m3)=(mt)∴p+q=r∴mp+q=mr∴mp?mr=mt即8×3=t∴t=24.16.規(guī)定兩數(shù)ab之間的一種運(yùn)算記作(ab):如果ac=b那么(ab)=c.例如:因?yàn)?3=8所以(28)=3.(1)根據(jù)上述規(guī)定填空:(327)=3(51)=0(214)=﹣2(2)小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象:(3n4n)=(34)小明給出了如下的證明:設(shè)(3n4n)=x則(3n)x=4n即(3x)n=4n所以3x=4即(34)=x所以(3n4n)=(34).請(qǐng)你嘗試運(yùn)用這種方法證明下面這個(gè)等式:(34)+(35)=(320)試題分析:(1)分別計(jì)算左邊與右邊式子即可做出判斷;(2)設(shè)(34)=x(35)=y(tǒng)根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則即可求解.答案詳解:解:(1)∵33=27∴(327)=3;∵50=1∴(51)=0;∵2﹣2=1∴(214(2)設(shè)(34)=x(35)=y(tǒng)則3x=43y=5∴3x+y=3x?3y=20∴(320)=x+y∴(34)+(35)=(320).所以答案是:30﹣2.六.閱讀類緊扣例題化歸思想17.閱讀下列材料:一般地n個(gè)相同的因數(shù)a相乘a?a?a︸n個(gè)記為an.如2×2×2=23=8此時(shí)3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)記為log28(即log28=3).一般地若an=b(a>0且a≠1b>0)則n叫做以a為底b的對(duì)數(shù)記為logab(即logab=n).如34=81則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)(1)計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值:log24=2log216=4log264=6.(2)觀察(1)中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式log24、log216、log264之間又滿足怎樣的關(guān)系式;(3)由(2)的結(jié)果你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論嗎?logaM+logaN=loga(MN);(a>0且a≠1M>0N>0)(4)根據(jù)冪的運(yùn)算法則:an?am=an+m以及對(duì)數(shù)的含義證明上述結(jié)論.試題分析:首先認(rèn)真閱讀題目準(zhǔn)確理解對(duì)數(shù)的定義把握好對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系.(1)根據(jù)對(duì)數(shù)的定義求解;(2)認(rèn)真觀察不難找到規(guī)律:4×16=64log24+log216=log264;(3)由特殊到一般得出結(jié)論:logaM+logaN=loga(MN);(4)首先可設(shè)logaM=b1logaN=b2再根據(jù)冪的運(yùn)算法則:an?am=an+m以及對(duì)數(shù)的含義證明結(jié)論.答案詳解:解:(1)log24=2log216=4log264=6;(2)4×16=64log24+log216=log264;(3)logaM+logaN=loga(MN);(4)證明:設(shè)logaM=b1logaN=b2則ab1=M∴MN=a∴b1+b2=loga(MN)即logaM+logaN=loga(MN).18.閱讀下列材料:若a3=2b5=3則ab的大小關(guān)系是a>b(填“<”或“>”).解:因?yàn)閍15=(a3)5=25=32b15=(b5)3=33=2732>27所以a15>b15所以a>b.解答下列問(wèn)題:(1)上述求解過(guò)程中逆用了哪一條冪的運(yùn)算性質(zhì)CA.同底數(shù)冪的乘法B.同底數(shù)冪的除法C.冪的乘方D.積的乘方(2)已知x7=2y9=3試比較x與y的大小.試題分析:(1)根據(jù)冪的乘方進(jìn)行解答即可;(2)根據(jù)題目所給的求解方法進(jìn)行比較.答案詳解:解:∵a15=(a3)5=25=32b15=(b5)3=33=2732>27所以a15>b15所以a>b所以答案是:>;(1)上述求解過(guò)程中逆用了冪的乘方所以選C;(2)∵x63=(x7)9=29=512y63=(y9)7=37=21872187>512∴x63<y63∴x<y.19.閱讀下面一段話解決后面的問(wèn)題.觀察下面一列數(shù):1248…我們發(fā)現(xiàn)這一列數(shù)從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于2.一般地如果一列數(shù)從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)這一列數(shù)就叫做等比數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的比.(1)等比數(shù)列5﹣1545…的第四項(xiàng)是﹣135.(2)如果一列數(shù)a1a2a3a4…是等比數(shù)列且公比為q那么根據(jù)上述的規(guī)定有a2a1=q,a3a2=q,a4a3=…所以a2=a1qa3=a2q=(a1q)q=a1q2a4=a3q=(a1q2)q=a1q3…an(3)一個(gè)等比數(shù)列的第二項(xiàng)是10第三項(xiàng)是20則它的第一項(xiàng)是5第四項(xiàng)是40.試題分析:(1)由于﹣15÷5=﹣345÷(﹣15)=﹣3所以可以根據(jù)規(guī)律得到第四項(xiàng).(2)通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)第n項(xiàng)是首項(xiàng)a1乘以公比q的(n﹣1)次方這樣就可以推出公式了;(3)由于第二項(xiàng)是10第三項(xiàng)是20由此可以得到公比然后就可以得到第一項(xiàng)和第四項(xiàng).答案詳解:解:(1)∵﹣15÷5=﹣345÷(﹣15)=﹣3∴第四項(xiàng)為45×(﹣3)=﹣135.故填空答案:﹣135;(2)通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)第n項(xiàng)是首項(xiàng)a1乘以公比q的(n﹣1)次方即:an=a1qn﹣1.故填空答案:a1qn﹣1;(3)∵公比等于20÷10=2∴第一項(xiàng)等于:10÷2=5第四項(xiàng)等于20×2=40.a(chǎn)n=a1qn﹣1.故填空答案:它的第一項(xiàng)是5第四項(xiàng)是40.七.整式除法(難點(diǎn))20.我閱讀:類比于兩數(shù)相除可以用豎式運(yùn)算多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式也可以用豎式運(yùn)算其步驟是:(i)把被除式和除式按同一字母的降冪排列(若有缺項(xiàng)用零補(bǔ)齊).(ii)用豎式進(jìn)行運(yùn)算.(ii)當(dāng)余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時(shí)運(yùn)算終止得到商式和余式.我會(huì)做:請(qǐng)把下面解答部分中的填空內(nèi)容補(bǔ)充完整.求(5x4+3x3+2x﹣4)÷(x2+1)的商式和余式.解:答:商式是5x2+3x﹣5余式是﹣x+1;我挑戰(zhàn):已知x4+x3+ax2+x+b能被x2+x+1整除請(qǐng)直接寫出a、b的值.試題分析:我會(huì)做:根據(jù)“我閱讀”的步驟計(jì)算填空即可;我挑戰(zhàn):用豎式計(jì)算令余式為0即可算出ab的值.答案詳解:解:我閱讀:(iii)余式是﹣x+1所以答案是:0x2﹣5x2﹣5x2﹣5x2+0x﹣5﹣x+1;我挑戰(zhàn):∴x4+x3+ax2+x+b=(x2+x+1)(x2+a﹣1)+(2﹣a)x+b﹣a+1∵x4+x3+ax2+x+b能被x2+x+1整除∴(2﹣a)x+b﹣a+1=0∴2﹣a=0且b﹣a+1=0解得a=2b=1.21.計(jì)算:3a3b2÷a2+b?(a2b﹣3ab).試題分析:根據(jù)單項(xiàng)式的除法以及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可.答案詳解:解:原式=3ab2+a2b2﹣3ab2=a2b2.22.計(jì)算:(2a3?3a﹣2a)÷(﹣2a)試題分析:依據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算然后再依據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算即可.答案詳解:解:原式=(6a4﹣2a)÷(﹣2a)=6a4)÷(﹣2a)﹣2a÷(﹣2a)=﹣3a3+1.八.巧妙比大小化相同23.閱讀下列解題過(guò)程試比較2100與375的大?。猓骸?100=(24)25=1625375=(33)25=2725而16<27∴2100<375請(qǐng)根據(jù)上述解答過(guò)程解答:比較255、344、433的大?。囶}分析:根據(jù)冪的乘方的逆運(yùn)算把各數(shù)化為指數(shù)相同、底數(shù)不同的形式再根據(jù)底數(shù)的大小比較即可.答案詳解:解:∵255=3211344=8111433=6411且32<64<81∴255<433<344.24.比較20162017與20172016的大小我們可以采用從“特殊到一般”的思想方法:(1)通過(guò)計(jì)算比較下列各式中兩數(shù)的大?。海ㄌ睢埃尽薄ⅰ埃肌被颉埃健保?2<21②23<32③34>43④45>54⑤56>65…(2)由(1)可以猜測(cè)nn+1與(n+1)n(n為正整數(shù))的大小關(guān)系:當(dāng)n≤2時(shí)nn+1<(n+1)n;當(dāng)n>2時(shí)nn+1>(n+1)n;(3)根據(jù)上面的猜想則有:20162017>20172016(填“>”、“<”或“=”).試題分析:(1)通過(guò)計(jì)算可比較大?。唬?)觀察(1)中的符號(hào)歸納nn+1與(n+1)n(n為正整數(shù))的大小關(guān)系;(3)由(2)中的規(guī)律可直接得到答案;答案詳解:解:(1)①∵12=121=2∴12<21②∵23=832=9∴23<32③∵34=8143=64∴34>43④∵45=102454=625∴45>54⑤∵56=1562565=7776∴56>65(2)通過(guò)觀察可以看出;n≤2時(shí)nn+1<(n+1)n;n>2時(shí)nn+1>(n+1)n;(3)由(2)得到的結(jié)論;2016>2∴20162017>20172016.所以答案是:(1)<<>>;≤2>2;>.25.(1)用“>”、“<”、“=”填空:35<3653<63(2)比較下列各組中三個(gè)數(shù)的大小并用“<”連接:①41086164②255344433.試題分析:(1)根據(jù)底數(shù)為大于1的正數(shù)時(shí)底數(shù)相同指數(shù)越大冪越大和指數(shù)相同時(shí)底數(shù)越小冪越小填空即可;(2)①先把這3個(gè)數(shù)化為底數(shù)都為2的冪比較大??;②根據(jù)(am)n=amn(mn是正整數(shù))的逆運(yùn)算把三個(gè)數(shù)化為指數(shù)相同的數(shù)再比較底數(shù)的大小即可.答案詳解:解:(1)∵3>1∴35<36所以答案是:<;∵1<5<6∴53<63所以答案是:<;(2)①∵410=(42)5=220164=(42)4=21686=218∵220>218>216∴164<86<410;②∵255=(25)11344=(34)11433=(43)11又∵25=32<43=64<34=81∴255<433<344.九.冪的運(yùn)算的綜合提升26.已知5a=2b=10求1a試題分析:想辦法證明ab=a+b即可.答案詳解:解:∵5a=2b=10∴(5a)b=10b(2b)a=10a∴5ab=
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