第01講 探索勾股定理（原卷版）

第01講探索勾股定理1.熟練掌握勾股定理，能夠運(yùn)用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題.2.掌握勾股定理的證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理解決弦圖等相關(guān)問題．3.熟練掌握重要的數(shù)學(xué)思想：方程思想.知識點(diǎn)01勾股定理勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.【微點(diǎn)撥】1）僅直角三角形中存在勾股定理（若要使用勾股定理則需要有直角三角形或通過輔助線構(gòu)造直角三角形）；2）由于直角三角形的斜邊最長，故運(yùn)用勾股定理時，一定要抓住直角三角形最長邊（斜邊）的平方等于兩短邊（兩直角邊）的平方和，只有c是斜邊時才有a2+b2=c2，切不可死搬硬套公式.3）利用勾股定理，若無法直接找出其中的兩條邊，則可設(shè)定一條邊長為未知數(shù)，根據(jù)題目已知的條件能表示其他的邊（可以是設(shè)定的未知數(shù)表示，也可以是具體的數(shù)字），再建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的.知識點(diǎn)02勾股定理的驗(yàn)證據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，勾股定理的證明方法已經(jīng)多達(dá)400多種了.由于篇幅有限，我們就重點(diǎn)介紹最具代表性的“勾股圓方圖”（即趙爽弦圖）的證法.方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.（趙爽的證法）圖（1）中，所以.圖（1）圖（2）方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.（畢達(dá)哥拉斯的證法）圖（2）中，所以.【微點(diǎn)撥】趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識.他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹立了一個典范.尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義.以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且有發(fā)展,只是具體圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已.題型01用勾股定理解三角形【典例1】（2023秋·河北石家莊·八年級校考期末）如圖，長方形中，，，，則______．

【變式1】（2023春·湖南郴州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，，求BC邊上的高AD的長．

【變式2】（2023春·廣東云浮·八年級校考期中）如圖，在中，，，，于．求：

(1)的長和的面積；(2)的長．題型02已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離【典例1】（2023春·廣東湛江·八年級?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是，則的長為（

）A． B．8 C．9 D．10【變式1】（2023春·廣東中山·八年級中山市華僑中學(xué)?？计谥校┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是（

）A．4 B．3 C．7 D．5【變式2】（2022秋·廣東茂名·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為______

題型03以直角三角形三邊為邊長的圖形面積【典例1】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，以直角三角形的三邊為邊向外作正方形A，B，C，若正方形B，C的面積分別為6，18，則正方形A的面積是（

）

A． B． C．12 D．24【變式1】（2022秋·廣東茂名·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，以的三邊為邊向外作正方形，其面積分別是，，，且，，則（

）

A．20 B．12 C． D．【變式2】（2023春·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，字母B所代表的正方形的面積是（

）

A．12 B．15 C．144 D．306題型04勾股定理與網(wǎng)格問題【典例1】（2023·云南楚雄·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A，B，C在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，則邊上的高為（

）

A． B． C． D．【變式1】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，由單位長度為1的4個小正方形拼成的一個大正方形網(wǎng)格，連接三個小格點(diǎn)，可得，則邊上的高是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·全國·八年級期中）如圖，在的方格中，小正方形的邊長是1，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，求：(1)的長；(2)邊上的高．題型05勾股定理與折疊問題【典例1】（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，一張直角三角形紙片ABC中，，將它沿折痕折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則___________．

【變式1】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）如圖所示，把矩形紙條沿，同時折疊，，兩點(diǎn)恰好落在邊的點(diǎn)處，若的度數(shù)恰好為，，，則矩形的邊的長為_____．【變式2】（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，，將斜邊翻折，使點(diǎn)B落在直角邊的延長線上的點(diǎn)E處，折痕為，則的長是____________________．題型06勾股定理的證明方法【典例1】（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）（1）如圖1是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式；在推得這個公式的過程中，主要運(yùn)用了A．分類討論思想

B．整體思想

C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想

D．轉(zhuǎn)化思想（2）如圖2，，，且在同一直線上．求證：；（3）伽菲爾德（1881年任美國第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（發(fā)表在1876年4月1日的《新英格蘭教育日志》上），請你嘗試該證明過程．

【變式1】（2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足的有______個；(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為、，直角三角形面積為，請判斷、、的關(guān)系______．一、選擇題1．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為（

）A．3 B． C．5 D．42．（2023春·廣東惠州·八年級?？计谥校┤糁苯侨切沃?，斜邊的長為13，一條直角邊長為5，則這個三角形的面積是（

）A．30 B．60 C． D．403．（2023春·湖南湘西·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）若直角三角形兩邊長為12和5，則第三邊長為（

）A．13 B．13或 C．13或15 D．154．（2023春·廣東云浮·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，將折疊，使點(diǎn)C與的中點(diǎn)D重合，折痕交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，則線段的長為（）

A． B． C．4 D．5．（2022秋·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會的會徽圖案，它是由一串有公共頂點(diǎn)O的直角三角形(如圖2所示)演化而成的．如果圖2中，那么的長為(

)

A． B． C． D．3二、填空題6．（2023春·吉林·八年級期中）如圖，在中，，以和為邊向兩邊分別作正方形，面積分別為和，已知，則的長為______．

7．（2023春·貴州黔東南·八年級校聯(lián)考期中）如圖，以的三邊為直徑分別向外作半圓，若斜邊，則圖中陰影部分的面積為______．

8．（2022秋·廣東梅州·八年級校考階段練習(xí)）若直角三角形的兩條邊長為，，且滿足，則該直角三角形的第三條邊長為_____．9．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，垂足為D，，，則______．10．（2023·遼寧大連·校聯(lián)考二模）如圖，三角形紙片中，，，．沿過點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)D處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，若折痕與的交點(diǎn)為E，則的長是______．三、解答題11．（2023春·黑龍江大慶·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，折疊長方形紙片的一邊，使點(diǎn)D落在邊的處，是折痕．已知，，求的長．12．（2023春·廣東湛江·八年級?？计谥校┰谥校?，

(1)求的長；(2)求的長．13．（2023春·安徽淮北·八年級淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）．

(1)＝___；(2)求的面積．14．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，．

(1)如圖（1），把沿直線折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，求的長；(2)如圖（2），把沿直線折疊，使點(diǎn)C落在邊上G點(diǎn)處，請直接寫出的長．15．（2023春·廣東惠州·八年級校考期中）如圖，在中，，，，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線以的速度移動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．

(1)用含t的代數(shù)式表示①當(dāng)點(diǎn)P在線段上時，________．②當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長線上時，________．(2)當(dāng)為直角三角形時，求t的值；16．（2023春·全國·八年級期中）勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①請敘述勾股定理．②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理．（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）(2)①如圖4，5，6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足的有___________個．②